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经济数学基础月期末考试复习资料共四部分

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经济数学基础2012年12月期末考试复习资料（共四部分，77题）
第一部分单项选择（1—5题）、填空（2—10题）.（每小题3分，共52题考10题）

第1、6小题试题知识点范围 第一编微分学第1章函数（重点考试类型四个，共9题）类型一：利用函数三要素判断两个函数相等

函数的两要素：1、定义域：使函数（解析式）有意义的自变量x 的范围2、对应关系：

y

f

(x

)

x

)

sin

2

x

cos

2

x ,

g

(

x

)

1

1.下列各函数对中，（D ）中的两个函数相等.

D.

f

(

A.

f

(

x

)

(

x

)

2

,

g

(

x

)

x

B.

f

(

x

)

x

2

1

,

g

(


)

x

1

C.

y

ln

x

2

,

g

(

x

)

2

ln

x










x

1










































1 解答：D.

f

(

x

)

sin

2

x

cos

2

x

1

三角恒等式所以选D

类型二：利用三种基本形式求函数的定义域及间断点的判定

三种基本形式（①

1

f

(

x

)

0

②

f

(x

)

f

(

x

)

0

③

ln

f

(

x

)


f

(

x

)

0

）







f

(

x

)





















,






C.

(,

4 )

D. ,



2、函数

y

ln(

x

2 )

1

x

的定义域是（A ） A.（-2，4）

B.

2 ,

4

4 ,



4

2解答.根据定义域的基本类型：

x

2

0

x

2

x

（-2，4） 选A








4

x

0

x

4

3.函数

f

(

x

)



x

2 ,

5

x

0

的定义域是

5 ,

2

x

2

1 , 0

x

2

3.解答：

5

x

0

0

x

2

5

x

2

即

5 ,

2

4、函数

f

(

x

)

x

2

x

3

2

的间断点是

x

1 ;

x

2

。

3

x

2

∴ 间断点是

x 1

1

x

2

2

4 解答：

x

2

x

2

0

(

x

1 )(

x

2 )

0

x 1

1

x

2

类型三：求函数值的两种方法

1、已知

f

(x

)

求f(x

)

（代入法）

5.设

f

(

x

)

1

，则

f

(

f

(

x

))

=（C）

x








1
A. x

B.

1

C. x

D.

x

2

x

2








5 解答.

f

(

x

)

1

f



1


f

f

(

x



1


f

1

)

1

x

选C

x

)










(

x

1








x

6.生产某产品的成本函数为

C

(

q

)

80

2

q

，则当产量

q

50

单位时，该产品的平均成本为 3.6

.

6 解答：

C

(

q

)

C

(

q

)

C

( 50 )

C

( 50 )

80

2

50

3 . 6

q

50

50

2、已知f(x

)

求

f

(x

)

（变量替换法）

7.若函数

f

(

x

1 )

x

2

2

x

6

，则

f

(

x

)

x

2

5





































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































第2、7小题试题知识点范围 第一编微分学第2章极限与导数微分（重点考试类型七个，共14题）

类型一：利用极限的运算性质、重要极限公式和无穷小量与有界量的关系求极限

1、和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商

2、

lim

sin

x

1



x

0


x







3、无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量 4、常函数的极限等于常函数

10 已知

f

(

x

)

x

x

1

，当（A）时

f

(x

)

为无穷小量。

A.

x

0

B.

x

1

C.

x



D.

x








sin






10 解答：

lim

x0

x

x

1

l

im
x0

x

x

l

im
x0

1

1

1

0

（

lim x0

x

x

1 ,

重要极限公式；常数的极限等于本身） ∴ 选A

sin

sin

sin


11. 当时，变量（D）是无穷小量． A.

1

B.

sin

x

C.

ln(

2 )

D.

x

sin

1

3

x

x

x

∴ 选D

11 解答：

lim x0

x

sin

1

0

∵当

x

0

时x 是无穷小量

sin

1

是有界量，利用无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量

x

x


12.求极限

lim

x

sin

x

x

= 1 .

x

∴

x

,

1

是无穷小量；x是有界函数

）


12 解答：

lim

x



sin

x

1

l

im

x

sin

x

l

im

x

1

0

1

1

（

1 lim

xx

0

x

x



x


类型二：应用极限值等于函数值判断函数的连续性

f

(

x

0

)

lim xx 0

f

(

x

)



x

1

，若在




内连续，则



2 .















13、 已知

f

(

x

)





x

2

1

x

1

(

x

(

,

)

a

∵ 在1 处连续 ∴

f

( 1 )

lim

f

(

x

)

2

a

2

x

1

l

im (

x

1 )

1

1

2

f

( 1 )

a

a

13 解答：

l

im
x1

x

2

1

l

im
x1

1 )(

x

1 )

x

1




x

1





x1

















x1










类型三：利用极限的定义及常函数的导数为零求导

14.若f（x）=cos 4,则

lim
x0

f

(

x

x

)

f

(

x

)

=（A） A.0


B.

C.-sin

D. si


x


0 )















2

2

4

4

14 解答：

l

im

x0

f

(

x

x

)

f

(

x

)

f

(

x

)

∵



x



cos

是常函数，常函数的导数为零 ∴ 选A


x




f

(

)


2


4

15. 已知

f

(

x

)

cos

2

x

，则

f

(

0 )



0 .


(

cos

1

0



15.解答：

f

(

0 )

cos

2

0

cos

1

则

f

类型四：利用导数的几何意义求切线斜率或切线方程

1.导数的几何意义：函数

y

f

(x

)

在某点处的导数，就是曲线在该处的切线切线斜率。


1




D.



1



2、切线方程：

y

y

0

y

(

x

0

)(

x

x

0

)

16.曲线

y

1

1

在点（0，1）处的切线斜率为（A）. A.

1

1 B. 2

C.

2


x

2

(

x

1 )

3

3



2

(

x

1 )

3

16.解答：






1

1





x

1

1





1




3




1


1




3

y




1

0

1


1

选 A

y


2



x



x


x


(



2





x




2





2





2




2




2


2



2


17.曲线y=sinx在点（，0）的切线斜率是（-1）

17 解答：

y

sin

x

cos

x

y

()

cos

1

0












y





4 ,


18. 曲线

y

x

在点(4, 2)处的切线方程为

x

4

y

4

18 解答：

y


x



x

1



1

x

1

1

2

1

x

y

(

4 )



1



1










2

2


1




(

x


,


)

(

2 )


2



2


4



4



0


0





∴

y

y

0

y

(

x

0

)(

x

x


)

y

2

1

(

x

4 )

整理得：

x

4

y

4

0


0

4












类型五：利用导数判断函数的单调性

单调性：

f(

x

)

0

正值，

f

(x

)

单调递增 ；

f(

x

)

0

负值，

f

(x

)

单调递增




D.1-

x

3






19.下列函数在区间（-

+

上单调增加的是（C） A.sinx

B.

1

C.

3

X


2

X

3

0

y



,



是单调增加的函数 ∴选C

19、解答：对C 来讲 

3

x

ln

3

ln3

0

3 在

,



永远大于0 ∴

3

x

ln

3

x

在

2



20.下列函数在区间

(

,



)

上是单调下降的是（D） A.

sin

x

B.

3

x

1

C.

x

2

D.

5

x

在

,



上是单调下降的函数 ∴选D

0

1

1

1

0

∴

y

5

x

0

y

5

x

20 解答:对D 来讲 5

x

类型六：利用导数求函数的驻点
驻点：导数值等于零的点

21.函数y=(x-2)3 的驻点是

x

2
































21 解答：

y

x

2

3

3

x

2

2

x

2

3

x

2

2

令

y

0

3

x

2

2

0

x

2

是驻点

类型七：利用导数求需求量弹性

弹性公式：

E p

q

p


q

(

p

)

2

p

C.

3

2

p

D.





(

p

)



2

p

p

22.设需求量q 对价格p 的函数为

q

(

p

)

3

2

p

，则需求弹性为

E p

(D

)

。 A.

3

p

p

B.

3

2

p

p

3

22.解答：


(

p

)

3

2

p

0

2



p

1



2

1

p

1

1

E p

q

p

)

q

(

p


3

p

p





1





3

p

p

选 D

q

2


2

)





2



p

(

p

)

2

p

2




23 需求量q 对价格p 的函数为

q

(

p

)

100 e

p

，则需求弹性

E p

(A ) .

. A.

p

p
B. 2

2

C.

50

p

D.

50

p




2




23、解答：

q


p

)

100 e

p

q

(

p

)

100 e

p

(

p

)


50 e

p

E

p


q

p


q

(

p

)

p

p


50 e


p

)

1

p

(

2

2

2




选 A




(



(


2





2



(

p

)

100 e

(


2









2






第3、8小题试题知识点范围 第二编第1章不定积分、第2章定积分部分第3章积分应用（重点考试类型六个，共9题）

类型一：利用不定积分的定于求原函数

24.下列函数中，（D）是

x

sin x

2

的原函数。 A.

1

cos

x B. 2

2

cos

x

2

C.

cos x

2

D.


1

cos

x

2





2



1


2


2




sin

x

2

所以选D

24 解答方法1：对于答案D：

y



1

cos

x

2

1

cos

x

2

1

sin

x

2



sin

x

2

x

x


2

2



2



2













选 D

24 解答方法2：


x

sin

x

2

dx

1
2

sin

x

2

dx

2

1

cos

x

2

c






2

















类型二：不定积分的基本性质

基本性质积分的基本性质:1)

f

(

x

)

dx

)

f

(

x

)

2

4

x

1

d

(

f

(

x

)

dx

)

f

(

x

)

dx

2)

f

(

x

)

dx

f

(

x

)

c

2

df

(

x

)

f

(

x

)

c

25.若

f

(

x

)

dx

2

x

2

x

2

c

，则

f

(

x

)

2

x

ln

25解答：根据不定积分的性质，两边同时求导

f

(

x

)

dx

2

x

2

x

2

c

2

x

ln

2

4

x



f

(

x

)

dx

f

(

x

)

f

(

x

)

2

x

ln

2

4

x

存在且连续，则

df

(x

)

=

f(x

)

26.若

f(x

)

26 解答：

df

(

x

)

f

(

x

)

c



df

(

x

)

f

(

x

)

c

f

(

x

)


















类型三：利用凑微分法求不定积分
所有的微分公式左右倒置都是凑微分公式 但常用的有五类

①对数函数

1

dx

d

ln

x

②指数函数

e

x

dx

de

x

ax

b


d



1











x


)













③三角函数

cos

xdx

d

sin

x

sin

xdx

d

cos

x

④幂函数

xdx

1 dx 2

2

1

dx

d

1

adx

d

(

x

2

x














27. 若

f

(

x

)

d x

F

(

x

)

c

，则

x

f

(1

-

x

2

)d x

=

1

F

1

x

2

c

2

x

2

x

2

f

1

x

2

1

x

2

27 解答：

xf

1

x

2

dx

1

f

1

x

2

2

xdx

1

f

1

x

2

dx

2

1

f

1

2

2


2



2











令

1

x

u

1
2

f

1

x

2

1

x

2

=

1

f

( u

)

du

2

1

x

2

1

F

1

x

2

c








∵

f

(

x

)

dx

F

(

x

)

c

∴

f

( u

)

du

F

( u

)

c

1
2

f

1

x

2





2












类型四：利用牛--莱公式计算定积分

牛顿－莱布尼茨公式：F(x)是f(x)d 一个原函数则

ba

f

(

x

)

dx

F

( b

)

F

(

a

)

F

(

x

)

b

a

3



28.若

F

(x

)

是

f

(x

)

的一个原函数，则下列等式成立的是（B）.

)

x

C.

ba

F

(

x

)

dx

f

( b

)

f

(

a

)

x D. a

f

(

x

)

dx

F

(

x

)

A.

ba

f

(

x

)

dx

F

( b

)

F

(

a

)

B.

xa

f

(

x

)

dx

F

(

x

)

F

(

a

)

28 解答：

F

(x

)是

f

(x

)

的一个原函

xa

f

(

x

)

dx

F

(

x

F

(

x

)

F

(

a

)

选 B

a

类型五：利用奇偶函数在对称区间上的积分性质计算定积分

a奇偶函数在对称区间上的积分性质a

f

(

x

)

dx





2

a0

0

f

(

x

)是奇函数








D．


2

(

x

3

cos

x

) d x



f

(

x

)

dx

f

(

x

)是偶函数

29.下列定积分中积分值为0 的是（B）．

C．

1

e

x

e

x

d x

A．



x

sin

x d x

B．

1
1

2

x

2

x

d x





2



1

2























(



































)

2

x

2

x

2



x

)



f

(

x

)在

1

1是奇函数

29 解答：对于B 答案中的被积函数

f

(

x

)

2

x

2

x

则

f

(

x

)

2

x

2

(

x

f

2









2



















2



























根据奇函数在对称区间上的积分值为0 选 B

1
30.1

(

x

cos

x

1 )

dx

2

cos

xdx

1
1 dx

x 是奇函数

cos

x

是偶函数

xcos

x

1是奇函数 故 1 x

cos xdx

0

30 解答：

1
1

x

cos

x

1dx

1
1 x

1
1

dx

x

1

1

(

1 )

2

1
1

x

cos

x

1dx

2

1

类型六：计算无穷积分

无穷积分：1、

a

f

(

x

)

dx

lim
b

ba

f

(

x

)

dx

2、

b

f

(

x

)

dx

lim

a

ba

f

(

x

)

dx

1

选C 无穷积分收敛

31. 1

1 dx

（ C ）.

A.0

B.

1

1
C. 2

D.

x 3

2

31 解答方法1:

1

1

dx


1




2

x

2


1



0

1

1



x

3

2

2

31 解答方法2：

lim

b

b

1

dx

1

b
lim

1

b



x

2



=

1

lim

b

(

1

1 )

1

(

0

1 )

x

3



2

2

b

2



2

2

32.下列无穷积分中收敛的是（B ） A. 1

ex

dx

 B. 1

x 1 dx 2

C. 1

3

1 dx x

D. 1

1 dx
x

32 解答：根据定理对幂函数

x 1 当a

a

1

时 无穷积分1

1 dx xa

收敛； 当

a

1

时 无穷积分1

1 dx xa

发散 选 B

第4、9小题试题知识点范围 线性代数第2章矩阵（重点考试类型四个共10题）

类型一：利用矩阵相加和相乘的条件判断积矩阵的结构

矩阵相乘的条件：1前面矩阵（左边）的列数与后面矩阵（右边）的行数相等时才能相乘

33.设A为

m

n

矩阵，B 为

s

t

矩阵，且乘积矩阵

ACT

B

有意义,则C 为（D）矩阵．

s

n

矩阵 选 D

A．

m

t

A

n

B．

t

m

C．

n

s

D．

s

n

B 由于

AC ； T

CT

B

有意义

C

T

为

n

s

矩阵

C 为

33 解答：

34.两个矩阵A、B既可相加又可相乘的充分必要条件是同阶方阵.

34 解答：① A ，B 可相加，则 A ，B 为同形矩阵 即若

A则

B

n

②A ，B 可相乘 则

n

m

AB

为同阶方阵

类型二：矩阵乘法的特性、对称矩阵的性质、可逆矩阵的性质、可交换矩阵的性质

1、对称矩阵：若称矩A 满足

A

A

T

则A 为对称矩阵。特点

aij

a

ji

2、可交换矩阵：若

A

B

B

A

则称A 与B 可交换

35.以下结论或等式正确的是（C）

A.若A，B均为零矩阵，则有A=B B.若AB=AC，且AO，则B=C

C.对角矩阵是对称矩阵D.若AO，BO，则ABO

4



35 解答：对于答案C 对角矩阵：主对角线上的元素不全为零，其它的元素全为零，所以满足

aij

a

ji

是对称矩阵 选 C

36.设A=



1

2

3

1

0

，当= 1 时，A 是对称矩阵.

2

5

3

36 解答：A 是对称矩阵.

aij

a

ji

a

32

a

23

a

23

1

1

37.设

A,

B

均为n 阶矩阵，则等式

(

A

B

)

2

A

2

2

AB

B

2

成立的充分必要条件是

AB

BA





37 解答：

A

B

2

A

2

AB

BA

B

2

由题目所给条件

(

A

B

)

2

A

2

2

AB

B

2

AB

BA

即A 、B 是可交换矩阵

类型三：可逆矩阵的性质及转置矩阵的性质

1、转置矩阵（矩阵的转置）将矩阵的行列互换叫转置矩阵记为

A

T

B

转置矩阵的性质：

(

A

T

)

T

A

)

(

A

B

) T

B

T

A T

2、若A、B 为方阵且AB=BA=I 则称A 为B 的逆矩阵，记为

A

1

逆矩阵的性质：

(

A

1)

1

A

(

AB

B

1

A

1

38.设A，B为同阶方阵，则下列命题正确的是（D）

A.若

AB

O

，则必有

A

O

或

B

O

B. 若

AB

O

，则必有

A

O

或

)

1

C.

B

O

C.若秩

(

A )

0

，秩

(

B

)

0

，则秩

(

AB

)

0

D.

(

AB

)

A

1

B

1

38 解答：由逆矩阵的运算性质知

AB

1

B

1

A

1

即

AB

A

1

B

1

选D

39. 设A 是可逆矩阵，且A+AB=I，则A

=（C）. A. B

B. 1+B

C. I+B

D.

(

I

AB

39 解答：

A

AB

A

I

B

I

根据逆矩阵性质

AA

1

I

A

1

I

B

选 C

40．设A，B为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D）.

A.

AB

T

A

1

B

1

T

B.

AB

T

A

T

B

T

C.

ABT

B

1

A

1

D.

AB

T

B

T

A

T

2









40 解答：由转置矩阵的性质知

AB

T

B

T

A

T

选 D

41.设矩阵A=



1

2



，I 为单位矩阵，则（I-A）

T =



0

4



4

3

2

2




2



（I-A）

T =



0



T



0

4



41 解：I-A=

1

0

0





1

2





1

1

0

2



0

1

4

3

0

4

1

3

4

2

4

2

2

2

类型四：运用矩阵的初等变换求矩阵的秩
1、矩阵的秩：就是运用矩阵的初等变换所化成的阶梯型矩阵非零行的行数。

42.矩阵



1

1

1

1

4

的秩为 2

。

1

1

3

3



1

0

0

1

1

3

0

阶梯型矩阵有两个非零行∴

r

(

A )

2

2

0

1

3

42 解：A

1

2

1

1

1

1

4

2

1

(

2

)

1

0

0

1

2

2

0

3

2

0

第5、10小题试题知识点范围 线性代数第3章线性方程组矩阵（重点考试类型五个，共11题）

类型一：消元法解线性方程组

43.用消元法解线性方程组



x 1

2

x

2

4

x

3

1

，得到的解为（C）

代入方程 （2）得

x

2

2

0

x

2

2

将

x

2

2

x

3

2

代入方程

x

2

x

3

0

x

3

2

A.



x 1

1

B.



x 1

7

C.





x 1

11

D.





x 1

11

0

2

x

2

2

x

2

2

x

2

x

2

2

2

x

3

2

x

3

2

x

3

x

3

43 解答：





x 1

2

x

2

4

x

3

1

( 1 )

由方程（3）得

x

3

2

x

2

x

3

0

2

(

2 )

x

3

( 3 )

（3）得

x 1

2

2

4

(

2 )

1

x 1

11





x 1

11

为方程组的解 选 C

x

2

2

x

3

2

5



类型二：线性方程组解的判定

1、若齐次线性方程组

AX

O

则

秩（A )

秩（A )

n是方程组有唯一解（零解）

n时方程组有无穷多解（非零解）

2、若非齐次线性方程组

AX

b

则


秩







(

A )

秩

(

A

秩( A

)时.有解

秩( A )

)

n时.有唯一解.

n时.有无穷多解.

秩

(

A )

秩

(

A

)时

无解

44.设线性方程组

AX

b

有唯一解，则相应的齐次方程组

AX

O

（C） A.无解 B. 有非零解 C. 只有零解 D.解不能确定

44 解答：

AX

b

有唯一解

r

(

A )

r

(

A )

n

(n 代表未知量的个数)

则

AX

0

r

(

A )

n

齐次线性方程组只有零解 选 C

45.若线性方程组



x 1

x

2

0

有非0 解，则=

-1

.

x 1

x

2

0

45 解答：

A

1

1

1



1

0

1

1

方程组有非零解须

r

(

A )

n

2

r

(

A )

1

1

0

1

46.已知齐次线性方程组

AX

O

中的A 为3×5 矩阵，且该方程组有非0 解，则

r

(A )

3 .

46 解答：A 是3×5 矩阵 未知量的个数n=5

有定理知

r

(

A )

min3、5

r

(

A )

3

。

0

A

m1

只有零解

(A )

48.若线性方程组的增广矩阵为

A

1

2

1

0

，则当=（ B ）时线性方程组无解.

6

A.3

B.-3

C.1

D.-1

48 解答：

A

1

2

1

0

1

2



21

1

1

3

0

1



1

0

3

3

0

1

6

方程组无解

r

(

A )

r

(

A )

r

(

A )

2

r

(

A )

1

3

0

3

选 B

49 线性方程组

1

1

1

1



x 1



=

1

0



解的情况是（D）

x

2

A. 有唯一解

B.有无穷多解

C. 只有零解

D. 无解

49 解答：

A

1

1

1

1





1

0

1

1

1

r

(

A )

2

r

(

A )

1

r

(

A )

r

(

A )

方程组无解 选D

1

0

0

类型三：线性方程组解的结构
方程组解未知量的个数=r(A),自由未知量的个数=n-r(A)

50.齐次线性方程组

AX

0

的系数矩阵为A =

1

0

0

1

2

3



，则此方程组的一般解为



x 1

2

x

3

x

4

(

x

3

,

x

4

为自由未知量）

1

0

2

x

2

2

x

4

0

0

0

50 解答：

A

1

0

0

1

2

3








1

0

0

0

2

1








x 1

2

x

3

x

4

(

x

3

,

x

4

为自由未知量）

1

0

2

x

2

2

x

4

1

0

2

0

0

0

0

0

0

51.设齐次线性方程组

A m

n

X

n1

O

，且

r

(

A )

r

n

，则其一般解中的自由未知量的个数等于

n

r

.




51 解答：

r

(

A )

r

根据齐次方程组解的结构定理： 自由未知量的个数=未知量的个数—系数矩阵的秩=

n

r

(

A )

n

r

52 设线性方程组

AX

b

的增广矩阵为

1

0

0

0

3

2

1

4



，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ B ）

1

1

2

6

1

1

2

6

2

2

4

12

A.1

B.2

C.3

D.4

6



1

0

3

2

1


4






1

0

3

2

1

4




1

3

2

1

4















1

1

2

6

1

1

2

6

52 解答：

A



0 0


4





0 0






422



0 0 0


1

1

2

6





r

(

A )

r

(

A )

2

n

4

1

1

2

6

1

1

2

6

0

0

0

0

2

2

4

12

2

2

4

12

0

0

0

0

自由未知量的个数=

n

r

(

A )

2

2

选 B

第二部分微积分计算（11、12题每题10分 共9题考2题）

第11小题试题知识点范围微积分第2章导数微分（重点考试类型三个，共5题）类型一：求导数

53. 设y=cos

2 -sin x

x , 求y

2

x

sin

x

2

x

sin

2

x



cos

x

2



2

x

ln

2

sin

2

x

2

x

cos

x

2

cos

x

2

53 解答：

y

cos

2

x

sin

x

2

cos

54. 设y=

2

x

2

2

x

ln

2

cos

x

2

2

x

2

x

ln

2

sin

x

2

2

x

2

x

sin

x

2

，

求y

sin

x

2



2

sin

x

2

2

x

sin

x

2



sin

x

54 解答：

y

类型二：求导数值

55．设y=

1

ln( 1

x

)

,

求


y(0)


1




1


ln

1






0

1

1

x

1





1x0

1x2


11


ln





1

x











x

1

x


y

1

ln

1


ln

1


1

x

1

x

x

x

x











55 解答：

1

x





1

x
1

1

ln

1

x

2








0
1

1

ln

1

0




0







1

x

1










1


0

1

1

ln

1

x


1

x



1




y

1


1

1

ln

1

0

0





1

x

x

2

0


2






2















1






1






类型三：求微分

56. 已知

y

cos

x

xe

x

， 求dy

x

xe

x

sin

x

x





e

x



x



sin

x

e

x

xe

x



dx

56 解答：

y

cos

x

xe

x

cos

sin

x

e

x

xe

x

(

(

x

)

(

x

2

)

1

x

1

2

2

1

x

) ∴

dy

y

dx



2

x

2

2

x

57.设

y

ln

x

e

2

x

，

求dy

2 1



e

2

x

1

ln


1

ln

x



2

x

2



1



1




y


ln

x

e


x



ln

x

57 解答：


2

x

2

e

x

ln

x

2 e

2

x







2






2

x








∴

dy

y

dx



1

ln


1

2 e

2

x

dx

x

2













2

x
















第12小题试题知识点范围 第二编积分学第2章定积分、第2章定积分部分第3章积分应用（重点考试类型三个，共4题）类型一：利用第一换元法求不定积分

58.计算

x

1

1

ln

x

dx

.



1



























原式

( 1

ln

x

)


2








1












1




58 解答：






dx

（1

ln

x

)


2

d

( 1

ln

x

)

2 1

ln

x

2

c

（c 为积分常数）


x





























类型二：利用第一换元法求定积分

ln 59. 计算0

2

e

x

( 1

e

x

)

2

dx

.

1

e

x

de

x

ln

2

1

e

x

1

e

x

1

1

e

x

2

ln

2

1

1

e

ln2

2

1

e

0

2

1

1

2

2

1

12

1

9

4

5

59 解

ln

2

e

x

1

e

x

dx

ln

2


0






0









0












2






0



2

















2











2






2

类型三：利用分部积分法求定积分

e 60. 计算1

x

ln

xdx

7



60 解答：原式=

e1

x

ln

x

dx

1

e1

ln

x

dx

2

1



x

2

ln

x

e

e1

x

2

d

ln

x



=

1



e

2

ln

e

1 2

ln

1

e1

x

2

1

dx

1

e

2

0

e

xdx









2

2



1


2











x




2






1






=

1



e

2

1

x

2

e



1

e

2

1

e

2

1 2



1



e

2

1

e

2

1

1

e

2

1

2




2

1

2




2

2


2

2

4
















cos

0





0







61.计算0 2



x

cos

xdx

.


0 2

xd

sin

x

x

sin


0 2

sin

xdx

=



sin

2
























0 2

x

cos

xdx

61 解答：原式=

x

2 0



0

sin

0



cos

x



cos



=

1

1

2 0



2






2


2

2





2



第三部分线性代数计算（13、14题每题15分。共10题考2题）

第13小题试题知识点范围 线性代数第2章矩阵（重点考试类型2个，共5题）类型一：求逆矩阵

62. 设矩阵A=



1

5



，B=



1

1

，求

(

A

I

)

1

B

.

1 0



A

I



1

5



1

0

0





2

5



3

6

62 解

答

：

3

6

1

3

7

A

I

:

I



2

5

1

0







2

5

1

0







1

2

1

3

7

0

1

1

2

1

1

2

5

1

A

I

1B

7

3

5





1

1



2





1

0

2

1

1





1

0

0

7

5



A

I

1

7

3

5



1

3

2

1

3

2

2

2

1

63. 设矩阵A=



1

1

3

5

1

，求逆矩阵

(

I

A )

1

0

1



1

1



1

0

0

2

0

0

0

1

1

0

1

2

63 解：

I

A

0

1

1

1

3



I

A

: I

0

1

1

1

3

1

0

0





1

1

0

2

0

0

0

5

0

5

0

1

0

0

5

0

1

0

2

5

0

1

6

5

3

1

2

0

2

0

0

0

1

1

3

1

0

0

1

3

1

0

(

I

A )

1



10



1

0

0

2

0

0

0

1

1

0

1

2



2

1

0

0

0

4

2

2

1

1

1

1

3



4

1

0

0

0

0

10

6

5

3

1

∴

5

3





1

2

1

1

1

2

1

1

1

0

5

3

1

3

1

0

0

1

2

1

2

1

0

1

2

1

64.设：

A



1

1






B

1

0

2

3

2

计算：

BA

1

0

2

1

1

1

1

1

(

214

2

0

64 解：

BA

1

0

2

3

2



1

1





5

3

2

BA

:

I



5

3

1

0









1

0

2

4

2

0

1

4

2

0

1

4

2

0

1

0

1

1

1

5

21



12

1


0

0

1

3





BA

1

=



1

3





2
5
2

2
5
2




2




2

4

1

2

类型二：求解矩阵方程

65.设矩阵A =

1

3

2



，B =



1

2



，求解矩阵方程

XA

B

BA

1

0

1

1

0

0

5

2

1

5

2

3

65 解：方程两边右乘

A

1

XAA

BA

1

XI

BA

1

X

A :

I

=

1

3

2

1

0





1

0

2

1

0





1

0

2

1

5

0

1

1

3

1

1

3

1

3

∴

A

1



5

2

1

∴

X

BA

1

=



1

2





5

2

1

=



1

0



3

2

3

3

1

1

B

X

A

1

B

66.已知AX=B,其中A=



1

2

2



,B=



2

1

0

,求X

1

1

0

1

3

5

66 解：方程两边左乘

A

1

A

1

AX

A

1

B

IX

A

1

8

A :

I

=



1

2

2



1

0

0 0 1



2

1

1

0

0

2

2

1



0

0 0 1



1

2



2

1

0

0

0

2

1

2

0



1

3

2

1

0

0

0

0

5

4

2






∴







1

1

0

0

1

1

2

1

1

0

1

0

5

3

2

1

2

1

1

A

1

1

3

5

0

0

A

1

B

=



6

7

3

0

1

2

1

1

0

1

2

1

1

1

3

1

0



5

4

2

∴

X



5

4

2



2

1

0

2

5

3

5

3

2

2

1

1

2

1

1

第14小题试题知识点范围 线性代数第3章线性方程组（重点考试类型二个，共5题）

类型一：求解齐次线性方程组

x1x22x3x40

67.求齐次线性方程组

x1 3x32x40 的一般解.

2x1x25x33x40

11 21 1 1 21 1 0 32

67解：A

103 2



3




12


0111




3

2

01 11


r(A)2n4方程组有非零解

21 5 3 0 1 11 0 0 0 0

x13x32x4

一般解为

x2x3x4
（x，3 x为自由未知量）4

x13x22x30

68．设齐次线性方程组

2x15x23x30，问取何值时方程组有非0解，并求一般解.

3x18x2x30

13 221213 2 123 1 0 1

68解：A

25 3



011



0 1 1

当50时(A)3n方程组有唯一解。

3801 6 0 05

∴方程组有非零解，须50，5 一般解为

x
x1

2


x

x
3

3
即x1x2x3 （x为自由未知量）3

类型二：求解非齐次线性方程组

69．求线性方程组





2

x 1

x 1

x

2

x

4

2

的一般解.

x

4

3

2

x

2

x

3

x 1

3

x

2

x

3

5

x

4

5

69 解：

A

1

1

2

1

0

1

2



2

1

1

0

0

1

0

1

2



1

0

0

1

0

1

2

1

1



2

1

1

3

1

1

0

1

1

1

0

3

1

5

5

1

1

3

1

1

1

3

1

2

1

0

0

0

1

1

1

1

0

1
3


1

0

0

0

1

1

1

1

0



1

0

0

0

1

0

1

1

0

∴一般解为





x 1

1

x

3

3

（

x 为自由未知量）3



x

2

1

x

1

1

0

1

1

0

1

1

0

x

4

0

0

0

3

0

0

1

0

0

1

70.求当取何值时，线性方程组





2

x 1

x

2

x

4

2

3

2

有解，并求一般解.

4

x

4

x 1

2

x

2

x

3

x 1

3

x

2

x

3

5

x

4

70 解：

A

A

:

b



1

1

0

1

2

2






2

1

1

0

0

1

0

1

2

2



1

0

0

1

0

1

2



1

2

1

0

1

2

1

1

3





1

3

1

1

2

1

4

3

1

1

3

1

1



0 0


1

1

3

2

3

1

5

1

1

3

1

1

3

2

0

0

0

∵方程组有解，须

r

(

A )

2

r

(

A )

3

0

，

3

一般解为



x 1

1

x

3

2

x

4

4

（

x , 3

x 为自由未知量4

x

2

1

x

3

3

x

71.讨论当a ，b 为何值时，线性方程组



x 1

x

2

2

0

无解，有唯一解，有无穷多解

x 1

2

x

2

x

3

2

x 1

x

2

ax

3

b

71 解：

A



1

1

0

2





312

1

0

0

1

0

2





32

1

0

0

0

1

1

4






1

2

1

0

1

1

2

1

1

2

2

1

a

b

1

a

b

4

0

a

b

6

分析：①当

a

1

0

b

6

0

时 即



a

1

时

A

1

0

0

0

1

4



r

(

A )

2

r

(

A )

3

r

(

A )

r

(

A )

方程组无解

b

6

1

1

2

0

0

非零

9



76 解：① 根据题目要求，求相应边际经济函数

R





10

q

1

q

2





L

(

q

)

R

(

q

)

C

(

q

)

10

q

(

4

q

)

6

2

q

10

q



2


5











② 令边际经济函数等于零求出驻点

令

L

q

)

0

6

q

0

q

3百台

③ 检验知

q

3百台

时利润最大

④ 利用增量积分公式求改变量

L

(

q

)

q 1q 0

L

(

q

)

dq

53

6

2

q

dq

6

q

q

2

6

5

5

2

6

3

3

2

5

8

4万元

3

答：利润最大时的产量为3百台，在最大利润的基础上再增加生产2百台利润将减少4万元。

77.设生产某产品的总成本函数为

C

(

x

)

5

x

（万元），其中x 为产量，单位：百吨.销售x 百吨时的边际收入为

R

(

x

)

11

2

x

（万元/百吨），

求：（1）利润最大时的产量；（2）在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？

77、解：

C

(

x

)

( 5

x

)

1

L

(

x

)

R

(

x

)

C

(

x

)

11

2

x

1

10

2

x

令

L

x

)

0

10

2

x

5百吨

检验知

x

5百吨

时利润最大

L

(

x

)

65

L

(

x

)

dx

65

10

2

x

dx

10

x

x

2

6

6

10

6

2

5

5

24

25

1万元

5

答：利润最大时的产量为3百吨，在最大利润的基础上再增加生产1百吨利润将减少1万元。

11

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