空间向量专题复习

空间向量

本节重点：掌握空间直角坐标系，平面、空间向量相关知识点及用法 空间直角坐标系学习结论：

(1) 空间中两点P1(Ｘ1，Ｙ1，Ｚ1)、Ｐ2(Ｘ2，Ｙ2，Ｚ2),则P1Ｐ2的中点P

（

x1x22,y1y22,z1z22）

(2) 熟记坐标轴上点的坐标和坐标平面上点的坐标表示的特征。

（3）空间中两点P1(Ｘ1，Ｙ1，Ｚ1)、Ｐ2(Ｘ2，Ｙ2，Ｚ2)之间的距离为

P1P2（x1x2)2(y1y2)2(z1z2)

2例题1、如图，长方体

'D'中A'OABC'，OA3，

z D' C' OC4，OD'3，A'C'于B'D'相

A' P 交于点P．分别写出C，B'，P的坐标．

O

A x

B' C y B 练习1、在xOy平面内的直线xy1上确定一点M，使M到点N(6，5，1)的距离最小．

平面向量

一、向量的相关概念：

1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量

注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小 2、向量的表示方法：几何表示法：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；坐标表示法：axiyj(x,y) 3、向量的模：向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.

心在哪里，新的希望就在哪里 1

新希望培训学校资料 MATHEMATICS

4、特殊的向量：①长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的②长度

为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.

5、相反向量：与a长度相同、方向相反的向量记作 a

6、相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量a与b相等，记作

ab；

7、平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a//b平行向量也称为共线向量规定零向量与任意向量平行。

8、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则

AOB0叫a与b的夹角 说明：（1）当0时，a与b同向；（2）当时，a与b反向；（3）当2时，a与b垂直，记a⊥b；规定零向量和任意向量都垂直。（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤180

9、实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）aa； （Ⅱ）当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当010、两个向量的数量积：

时，a0，方向是任意的 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则ab|a||b|cos 叫做a与b的数量积（或内积） 规定0a0

11、向量的投影：定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直

心在哪里，新的希望就在哪里 2

新希望培训学校资料 MATHEMATICS

角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b| bcosabR，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射影 |a|二、重要定理、公式：

1、平面向量基本定理：e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数1,2，使a（1）．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、

1e12e2

jy，作为基底任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、

使得

axiyj1 …………○

我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

a(x,y)2 …………○

2式叫做向量的坐标其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○表示 a与．相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y) 特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0) （2） 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 2、两个向量平行的充要条件

向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使ba 设a(x1,y1)，b(x2,y2)，则a//babx1y2x2y10



3、两个向量垂直的充要条件 设a(x1,y1)，b(x2,y2)，则

abab0x1x2y1y20

心在哪里，新的希望就在哪里 3

新希望培训学校资料 MATHEMATICS

4、平面内两点间的距离公式 （1）设a2(x,y)，则|a|xy22或|a|xy22 （2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，那么|AB|x1x2y1y2(平面内两点间的距离公式)

225、两向量夹角的余弦（0） cosabx1x2y1y2x1y122

2|a||b|x2y22三、向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质

a(x1,y1)，b(x2,y2)

运算 类型 向 量 的 加 法 向 量 的 减 法 几何方法 坐标方法 运算性质 1平行四边形法则 2三角形法则（首尾相接，首ab(x1x2,y1尾连） abba(ab)ca(bc) y2) ABBCAC 三角形法则（首首相接，尾尾相连，指向被减） aba(b) ab(x1x2,y1y2) ABBA OBOAAB实数λ与向量a的积是一个向量，记作：向 量 的 乘 法 （1）aa (a)a aa(x,y aaa （2）0时，a与a同向； 当0时，a与a异向； 当0时，a(ab)ab a//bab 0。任意方向 心在哪里，新的希望就在哪里 4

新希望培训学校资料 MATHEMATICS abba ab|a||b|cos，abx1x2y1y2 (a)ba(b)(ab) 向 量 的 数 量 积 01 向量的数量积的几何意义： 数量积ab等于a(ab)cacbc 22a0或b0时, |a|a22或|a|xy ab0 的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积 |ab||a||b| 2a0且b0时, abab0ab|a||b|cosa,b cosab |a||b| 线段的定比分点公式: 设点P分有向线段P1P2所成的比为λ，即P1P＝λPP2，则

x1x2x,1 (线段定比分点的坐标公式) yy1y2.1x1x2x,12当λ＝1时，得中点公式：OP＝（OP1＋OP2）或2yy1y2.2

平移公式： 设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′），

则OP＝OP+a或xxh,yyk.

曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：y－ｋ＝f（x－ｈ)

三角形的四个“心”； 重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 非零向量a与

aa有关系是：aa是a方向上的单位向量

心在哪里，新的希望就在哪里 5

新希望培训学校资料 MATHEMATICS

例题2、已知ABC的三个内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设向量

m(ac,ab)，n(ab,c)，且m//n

3（1）求B （2）若a1,b

，求ABC的面积

练习2-1、已知三个点A(2,1),B(1,4),D(4,3)，点C在AB上，且2AC并延长至E，使CE14DECB，连结DC

，则E点的坐标为（ ）

51133) A．（0，1） B．（-8，） C．（0，1）或(2, D．（83，

113）

练习2-2、已知点A(x,5)关于P(1,y)R 对称点是B(2,3)，则点(x,y)到原点的距离是（ ） A．

13 B．

15 C．4 D．

17

空间向量及其运算 本节知识点是：

1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积； (1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ． (3) 向量加法法则： ． (4) 向量减法法则： ． (5) 数乘向量法则： ． 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a＋b＝ ． (2) 加法结合律：(a＋b)＋c＝ ． (3) 数乘分配律：(a＋b)＝ ． 3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ． (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，a∥b等价于存在实数，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l过定点A且平行于非零向量a，则对于空间中任意一点O，点P在l上等价于存在tR，使 ． 4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． (2) 共面向量定理：两个向量a、b不共线，则向量P与向量a、b共面的充要条件是存在实数对(x,y)，使P ． 心在哪里，新的希望就在哪里 6

新希望培训学校资料 MATHEMATICS

共面向量定理的推论： ． 5．空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底： 的三个向量． (2) 空间向量基本定理：如果a，b，c三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使 ． 空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C是不共面的的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x,y,z，使 ． 6．空间向量的数量积 (1) 空间向量的夹角： ． (2) 空间向量的长度或模： ． (3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a、b，则a·b＝ ． 空间向量的数量积的常用结论： (a) cos〈a、b〉＝ ； (b) a2＝ ； (c) ab ． (4) 空间向量的数量积的运算律： (a) 交换律a·b＝ ； (b) 分配律a·(b＋c)＝ ． 例题3已知两个非零向量e1、e2不共线，如果AB=e1+e2，AC=2e1+8e2，AD=3e1-3e2.求证：A、B、C、D共面.

练习3 某人骑车以每小时α公里的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2α时，感到风从东北方向吹来.试求实际风速和风向

例题4 如图9-5-3(1)，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.

心在哪里，新的希望就在哪里 7

新希望培训学校资料 MATHEMATICS

（1）用向量法证明E、F、G、H四点共面；（2）用向量法证明BD∥平面EFGH.

练习4-1 如图9-5-4，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为D1C1的中点，试求A1C1与DE所成角.

练习4-2（2000，全国，12分）如图9-5-5，已知平行六面体ABCD一A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.

(1)求证：C1C⊥BD；

(2)当

CDCC1的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明.

（课外思考题） 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点，且互相平分.（此点称为四面体的重心） 一、选择题

1.点O、A、B、C为空间四个点，又OA、OB、OC为空间一个基底，则下列结论不正确的是（ ）

A.O、A、B、C四点不共线 B. O、A、B、C四点共面，但不共线

C. O、A、B、C四点中任三点不共线 D. O、A、B、C四点不共面

心在哪里，新的希望就在哪里 8

新希望培训学校资料 MATHEMATICS

2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,下列各式中运算的结果为的共有( )

①（AB+BC）+CC1 ②（AA1+A1D1）+D1C1 ③（AB+BB1）+B1C1 ④（AA1+A1B1）+B1C1

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3.设命题p：a、b、c是三个非零向量;命题q：{a,b,c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB·AC=0，AC·AD=0，AB·AD=0,则△BCD是（ ）

A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 5.下列命题中，正确的是（ ）

A.若a与b共线，则a与b所在直线平行

B.若a∥平面β，a所在直线为a，则a∥β

C.若｛a,b,c｝为空间的一个基底，则{a-b,b-c,c-a}构成空间的另一个基底

D.若OP=

12OA+

12OB,则P、A、B三点共线

6.若a=e1+e2+e3，b=e1-e2-e3，c=e1+e2，d=e1+2e2＋3e3，且d=xa+yb+zc，则x、y、z分别为（ ）

A.,-,-1 B.,,1

22225151C.-,,1 D.,-,1

222251517.O为空间任意一点,A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足OP=OA+(AB|AB|AC|AC|),∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

8.（2002,上海,5分）若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是( )

A.(a+b)+c=a+(b+c) B.(a+b)·c=a·c+b·c C.m(a+b)=ma+mb D.(a·b)·c=a·(b·c) 二、填空题

9.设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60°，且|a|=5，|b|=3，|c|=8，

2

那么（a+3c）·（3b-2a） ；（2a+b-3c）= . 10.已知向量A1An=2a，a与b的夹角为30°，且|a|=

3，则A1A2+A2A3+…+An1An在向量b的方向上的射影的模为 .

11.如图9-5-8，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M是边OA的中点,G是

心在哪里，新的希望就在哪里 9

新希望培训学校资料 MATHEMATICS

△ABC的重心，则用基向量OA、OB、OC表示向量MG的表达式为 .

12.已知P、A、B、C四点共面且对于空间任一点O都有OP=2OA+43OB+OC,则= .

三、解答题

13.如图9-5-9，已知点O是平行六面体ABCD—A1B1C1D1体对角线的交点，点P是空间任意一点.求证：PA+PB+PC+PD+PA1+PB1+PC1+PD1=8PO.

14.如图9-5-10，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB,且与α所成角是30°.如果AB=a,AC=BD=b,求C、D间的距离.

15如图9-5-11所示，已知□ABCD，O是平面AC外一点，OA1=2OA,OB1=2OB,OC1=2OC,OD1=2OD.求证：A1、B1、C1、D1四点共面.

16.在△ABC中，∠C=60°,CD为∠C的平分线,AC=4，BC=2，过B作BN⊥CD于N

心在哪里，新的希望就在哪里

10

新希望培训学校资料 MATHEMATICS

延长交CA于E，将△BDC沿CD折起，使∠BNE=120°，求折起后线段AB的长度.

17.如图9-5-13，正方形ABCD和正方形ABEF交于AB，M、N分别是BD、AE上的点，且AN=DM，试用向量证明MN∥平面EBC.

18证明：

abab22

+

acac22＞

bcbc22(a，b，c为正实数).

心在哪里，新的希望就在哪里

11