因式分解

分解因式是什么：

因式分解（分解因式）Factorization，把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。在数学求根作图方面有很广泛的应用。 简单的来说，因式分解其实就是整式的化简的逆过程，所以在接下来的一些因式分解所需要的公式其实就是把一些乘法公式反过来写而已。

因式分解几种常用方法：

1. 2. 3. 4. 5. 6.

提公因式 应用公式 分组分解法 拆项与添项 十字相乘 待定系数法

一、 提公因式法

·“提”是指“提取公因式”.在因式分解时，首先应当想到有没有公因式可提.

·公因式：几个整式都含有的因式称为他们的公因式.

·例如：ma、mb、mc、-mx都含有因式m，m就是他们的公因式. ·例如：ma+mb-mc=m(a+b-c)

例题：

例1： 12a²x³+6abx²y-15acx².

解：它们的公因式是3ax²,所以就把3ax²提取出来 原式= 3ax（4ax+2by-5c）

例2： （2x+y）³-(2x+y)²+（2x+y）.

解： 在这题当中他们的公因式不是一个字母而是一个多项式2x+y.所以我们就要把

2X+Y整个多项式提取出来

原式= (2x+y)[(2x+y)²-（2x+y）+1]

这道题目的难点就是最后一项的系数是1，很容易漏掉，所以一定要多加小心！ 例3： (2x-3y)(3x-2y)+(2y-3x)(2x+3y)

解： 在这道题目当中第一眼看去并没有公因式，但是仔细观察会发现只要在某个多

项式前面加上负号就可以解决问题，找出公因式！ 原式=-6y(3x-2y)

二、 应用公式

主要会用到的公式:

（1） a²-b²=（a+b）(a-b)

（2） a³+b³=（a+b）(a²-ab+b²) （3） a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²） （4） a²+2ab+b²=（a+b）² （5） a²-2ab+b²=（a-b）²

（6） a³+3a²b+3ab²+b³=（a+b）³ （7） a³-3a²b+3ab²-b³=（a-b）³

这些公式是最经常用到的，当然有的时候可能也会用到一些其他的公式，在此不一一列举。这些公式必须牢记并且掌握他们的特点。

例题：

例1：a^6-b^6

解：在这道题目当中我们就需要综合应用两种公式——平方差公式和立方差公式在这

时候我们局需要考虑应用这两种公式的顺序，这个顺序的选择十分的重要，因为如果顺序不正确就会导致接下来的分解不太方便，浪费宝贵的时间。 我们应当从立方差公式下手！ 原式=（a²）³-（b²）³

= （a+b）（a-b）（a²+ab+b²）(a²-ab+b²)

三、 分组分解

一般的，分组分解大致分为三步：

1. 将原式的项适当的分组 2. 对每一组进行处理（“提”或“代”）

3. 将经过处理后的每一组当做一项，在采用“提”或“代”进行分解。

例1： ax-by-bx+ay

原式=(ax-by)+(ay-by) 【分为两组】

=x(a-b)+y(a-b) 【提】 =(x+y)(a-b) 【再提】

四、 拆项与添项

在这类题目当中我们就是需要添加或者删减掉某一项来凑出某个公式以分解因式，我

们所删掉或者减少的项往往又能巧妙的在下一步当中再分解到式子当中。 例题：a^4+a^2b^2+b^4

解：看到这个式子能使我们想到的公式是完全平方和公式，但是中间那项却只

有一个，所以我们就得往式子当中再添加一个。

原式= [a^4+2（a^2b^2）+b^4]-a²b²

=(a²+ab+b²)（a²-ab+b²）

五、十字相乘

十字相乘是一类分解因式的方法的总称，具体分为两种：①十字相乘法 ②双十字相

乘法 其中十字相乘法较为常见，但是掌握双十字相乘法也十分的重要，那可以为一类题目的解答节省大量的时间。

例题： 十字相乘法

例题2：双十字相乘法

分解ax^2＋bxy＋cy^2＋dx＋ey＋f 二次六项式

解：在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy＋k）

六、 待定系数法

待定系数法， 一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形

式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等式同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。

例1： 2x²+xy-3y²+x+14y-15

解：看到这个式子之后我们就可以猜测这个式子的分解式应该是形如：（x-y+m）

（2x+3y+n）的。

所以我们可以设2x²+xy-3y²+x+14y-15=（x-y+m）（2x+3y+n）

在化简了式子之后再进行比较系数就可以得出一个方程组，在解方程组就能计

算出我们所设的那些数具体是几了。

在这道题中： m=3;n=-5 ∴原式=(x-y+3)(2x+3y-5)