9.4-2 二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳

2axbxc0根的分布情况 1、一元二次方程

设方程axbxc0a0的不等两根为x1,x2且x1x2，相应的二次函数为fxax2bxc0，方程的

2根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）

表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

分布情况两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0x10x2 x10,x20 x10,x20 a0） a0） 大致图象（得出的结论0b0 2af000b0 2af00f00 大致图象（得出的结论0b0 2af000b0 2af00f00 综合结论（不讨论a0b0 2aaf000b0 2aaf00af00 ）

1

表二：（两根与k的大小比较）

分布情况两根都小于k即 两根都大于k即 一个根小于k，一个大于k即 x1k,x2k x1k,x2k x1kx2 a0） a0） 大致图象（kkk 得出的结论0bk 2afk00bk 2afk0fk0 大致图象（得出的结论0bk 2afk00bk 2afk0fk0 综合结论（不讨论a0bk 2aafk00bk 2aafk0afk0 ）

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表三：（根在区间上的分布）

分布情况两根都在m,n内 两根有且仅有一根在m,n内 一根在m,n内，另一根在p,q（图象有两种情况，只画了一种） 内，mnpq a0） a0） 足的条件是

大致图象（得出的结论0fm0fn0 bmn2afmfn0 fm0fmfn0fn0或 fpfq0fp0fq0 大致图象（得出的结论0fm0fn0 bmn2afmfn0 fm0fmfn0fn0或 fpfq0fp0fq0 综合结论（不讨论—————— fmfn0 fmfn0 fpfq0a） 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m,n外，即在区间两侧x1m,x2n，（图形分别如下）需满

3

（1）a0时，

fm0fm0； （2）a0时，

fn0fn0

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在m,n内有以下特殊情况：

1 若fm0或fn0，则此时fmfn0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可

以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间m,n内，从而可以求出参数的值。如方程mx2m2x20在区间1,3上有一根，因为f10，所以mxm2x2x1mx2，另一根为

2222，由13得m2m3m即为所求；

2 方程有且只有一根，且这个根在区间m,n内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带

入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程x4mx2m60有且一根在区间3,0内，求m的取值范围。分析：①由f3f00即14m15m30得出3m2②由0即16m42m60得出m1或m215；143，当m1时，根x23,0，即m1满足题意；23315当m时，根x33,0，故m不满足题意；综上分析，得出3m或m1

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根的分布练习题

例1、已知二次方程2m1x2mxm10有一正根和一负根，求实数m的取值范围。

2解：由 2m1f00 即 2m1，从而得m10

1m1即为所求的范围。 2例2、已知方程2xm1xm0有两个不等正实根，求实数m的取值范围。

2解：由

4

02m18m0m1m322或m3220  m122m0m0f000m322或m322即为所求的范围。

例3、已知二次函数ym2x22m4x3m3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。

解：由 m2f10 即 m22m10  2m

例4、已知二次方程mx22m3x40只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。 解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则f0f10  43m10  m1即为所求的范围。 21即为所求范围。 3（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内，由0计算检验，均不复合题意，计

算量稍大）

例1、当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围： （1）方程xaxa70的两个根一个大于2，另一个小于2；

（2）方程7x2(a13)xa2a20的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上； （3）方程xax20的两根都小于0； 变题：方程xax20的两根都小于1．

（4）方程x2(a4)x2a25a30的两根都在区间[1,3]上； （5）方程xax40在区间（1，1）上有且只有一解；

例2、已知方程xmx40在区间[1，1]上有解，求实数m的取值范围．

例3、已知函数f (x)mx(m3)x1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围．

2222222

检测反馈：

122222．若、是关于x的方程x2kxk60的两个实根, 则(1)(1)的最小值为 ．

21．若二次函数f(x)x(a1)x5在区间(,1)上是增函数，则f(2)的取值范围是___________．

3．若关于x的方程x(m2)x2m10只有一根在(0,1)内，则m_ _． 4．对于关于x的方程x2+(2m1)x+4 2m=0 求满足下列条件的m的取值范围：

（1）有两个负根 （2） 两个根都小于1 （3）一个根大于2，一个根小于2 （4） 两个根都在（0 ，2）内 （5）一个根在(2，0)内，另一个根在(1，3)内 （6）一个根小于2，一个根大于4 （7） 在（0， 2）内 有根 （8） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大

5．已知函数f(x)mxx1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。

5

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2、二次函数在闭区间m,n上的最大、最小值问题探讨

设fxax2bxc0a0，则二次函数在闭区间m,n上的最大、最小值有如下的分布情况：

mnb 2ambbn即m,n 2a2abmn 2a（1）若（2）若另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越小。

二次函数在闭区间上的最值练习

二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。

例1、函数fxax2ax2ba0在2,3上有最大值5和最小值2，求a,b的值。

2解：对称轴x012,3，故函数fx在区间2,3上单调。 （1）当a0时，函数fx在区间2,3上是增函数，故b25fxmaxf2（2）当a0时，函数fx在区间2,3上是减函数，故   fxf33ab22min例2、求函数fxx2ax1,x1,3的最小值。

2解：对称轴x0a

2（1）当a1时，yminf122a（2）当1a3时，yminfa1a；（3）当a3时，yminf3106a

图象

最大、最小值fxmaxfm fxmaxmaxfn,fm fxmaxfn fxminfnbfxminf2afxminfm 对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：

bm,n，则fxmaxmaxfm,2abf,fn，fxminminfm,2abf,fn； 2abm,n，则fxmaxmaxfm,fn，fxminminfm,fn 2afxmaxf33ab25a1    ；

fxf22b2b0mina1 b36

改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？

解：（1）当a2时，fxmaxf3106a； （2）当a2时，fxmaxf122a。

2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？

解：（1）当a1时，fxmaxf3106a，fxminf122a；

（2）当1a2时， fxmaxf3106a，fxminfa1a2； （3）当2a3时，fxmaxf122a，fxminfa1a2； （4）当a3时， fxmaxf122a，fxminf3106a。

例3、求函数yx24x3在区间t,t1上的最小值。 解：对称轴x02

（1）当2t即t2时，yminftt24t3；（2）当t2t1即1t2时，yminf21； （3）当2t1即t1时，yminft1t22t 例4、讨论函数fxx2xa1的最小值。

x2xa1,xa解：fxxxa12，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线

xxa1,xa2111111x，x，当a，a，a时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）

222222

因此，（1）当a111132时，fxminfa； （2）当a时，fxminfaa1； 22224 （3）当a113时，fxminfa 224以上内容是自己研究整理，有什么错误的地方，欢迎各位指正，不胜感激！

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