2018版高考数学考点30异面直线所成的角试题解读与变式

【考纲要求】

1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题. 2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 【命题规律】

异面直线的知识是高考的热点问题，选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计2018年的高考对本知识的考查空间向量的应用，仍然是以简单几何体为载体解决线线问题． 【典型高考试题变式】

（一）空间直线与直线夹角的问题

例1.【2017全国3卷（理）】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC

所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60角时，AB与b成30角； ②当直线AB与a成60角时，AB与b成60角； ③直线AB与a所称角的最小值为45； ④直线AB与a所称角的最小值为60；

其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 【答案】② ③

【解析】由题意知，a，b，AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图．

不妨设图中所示正方体边长为1，故AC1，AB2，

边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．以C为坐标原点，以CD为x轴正方向，CB为y轴正方向， CA为z轴正方向建立空间直角坐标系．则D(1,0,0)，A(0,0,1)，

直线a的方向单位向量a(0,1,0)，a1．B点起始坐标为(0,1,0)，

直线b的方向单位向量b(1,0,0)，b1．设B点在运动过程中的坐标Bcos,sin,0，

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其中为BC与CD的夹角，[0,2π)．

那么AB'在运动过程中的向量AB(cos,sin,1)，AB2．

当AB与a夹角为60时，即sin2cos2cosπ， 3

3212． 22221cos． ．所以cos222因为cos2sin21，所以cosππ因为0,．所以=，此时AB与b夹角为60．所以②正确，①错误．故填② ③.

32【方法技巧归纳】求空间两条直线的夹角，可以先考察两条直线是否异面垂直，若垂直，则化为线面垂直问题或用平移法转化为共面垂直，结合勾股定理加以证明.一般情形，可通过平移后通过解斜三角形求两条异面直线所成的角.

【变式1】【改编例题中条件，求两直线的夹角】【2016浙江（文）】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=5，∠ADC=90°.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD' 所成角的余弦的最大值是______.

【答案】

6 6【解析】试题分析：如图，连接BD′，设直线AC与BD'所成的角为．

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O是AC的中点.由已知得AC6，以OB为x轴，OA为y轴，过O与平面ABC垂直的

直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,6306,0)，B(,0,0)，C(0,,0).作222CD216DHAC于H，连接D′H翻折过程中， 则CH，D'H始终与AC垂直，CA66则OH15306306，DH，因此D'(cos,6636330,s（in设)6∠DHD′=α）， 则BD'(uur3030630cos,,sin)，与CA平行的单位向量为n(0,1,0)， 6236zDD'CHOAy

Bx6所以coscosBD',n＝，所以cos1时，cos取得最3BD'n95cosBD'n大值，为6． 6【变式二】【改编例题中结论，求解动态问题】【2017浙江嵊州市二模】在四棱柱

ABCDA1B1C1D1中，AA1平面A1B1C1D1，底面A1B1C1D1是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，E为侧棱BB1上的动点（包括端点），则（ ）

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A．对任意的a，b，存在点E，使得B1DEC1 B．当且仅当ab时，存在点E，使得B1DEC1 C．当且仅当ab时，存在点E，使得B1DEC1 D．当且仅当ab时，存在点E，使得B1DEC1 【答案】C

（二）异面直线的夹角

例2.【2017全国2卷（理）】已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，

BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）.

A．

315 B． 25 - 4 -

C．

310 D．

35【答案】C

【解析】M，N，P分别为AB，BB1，B1C1中点，则AB1，BC1夹角为MN和NP夹角或其1512π补角（异面线所成角为0，），可知MNAB1，NPBC1，

22222作BC中点Q，则可知△PQM为直角三角形．PQ1，MQ1AC 21△ABC中，AC2AB2BC22ABBCcosABC412217，AC7 2则MQ711，则△MQP中，MPMQ2PQ2， 222225211222222MNNPPM10则△PMN中，cosPNM.

52MHNP5222210π又异面线所成角为0，，则余弦值为．故选C.

52

【方法技巧归纳】1.利用向量法求异面直线所成角的步骤

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2．注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围．

【变式1】【改编题目条件和结论，利用向量法求解】【2017届东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学四模】已知正四棱锥PABCD中， PAAB2,E,F分别是PB,PC的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（ ）

A. 1136 B. C. D.

6233【答案】C

【解析】建立如图所示空间直角坐标系，可知

A22222,0,0,E0,2.2,B0,2,0,F2,0,2．

则AE2,2222,,BF,2,， 22221AEBF１2则cosAE,BF．故本题答案选C．

1111６AEBF22222211 - 6 -

【变式2】【改编题目条件和结论，利用普通方法求解】【2018届河北省邢台市高三上学期第二次月考】如图，在四棱锥PABCD中， PO平面ABCD， E为线段AP的中点，底面ABCD为菱形，若BD2a， PC4a，则异面直线DE与PC所成角的正弦值为（ ）

A. 12553 B. C. D.

2552【答案】B 【解析】如图，

DBAC,DBPO,DB平面PAC 从而DOOE ，又

EO11PC2a,DODBa 所以DE4a2a25a 22故sinDEOODa5 ，故选B. DE55a

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【数学思想】

1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决(当然包括解题)都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂.

2. 转化包括等价转化和非等价转化，非等价转化又分为强化转化和弱化转化

等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，非等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，非等价变形要对所得结论进行必要的修改. 非等价转化（强化转化和弱化转化）在思维上带有跳跃性，是难点，在压轴题的解答中常常用到，一定要特别重视！ 3.转化与化归的原则

（1）熟悉化原则：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题； （2）直观化原则：将抽象的问题转化为具体的直观的问题；

（3）简单化原则：将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决.

（4）正难则反原则：若过正面问题难以解决，可考虑问题的反面，从问题的反面寻求突破的途径；

（5）低维度原则：将高维度问题转化成低维度问题. 4.转化与化归的基本类型

（1） 正与反、一般与特殊的转化； （2） 常量与变量的转化； （3） 数与形的转化； （4） 数学各分支之间的转化； （5） 相等与不相等之间的转化； （6） 实际问题与数学模型的转化. 5．常见的转化方法

（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；

（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；

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（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化； （4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；

（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径； （6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；

（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题； （8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；

（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；

（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集获得原问题的解决. 立体几何中的转化与化归，主要利用直接转化法或坐标法，将空间问题转化成平面问题、将几何问题转化成代数问题加以解决. 【空间角的范围处理错误注意点】

解决此类问题，要注意各种空间角的给定范围，容易在范围上出现问题. 【典例试题演练】

1．【2017届河北省武邑中学五模】正四面体ABCD中， M是棱AD的中点， O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为（ ） A. 2222 B. C. D. 6345【答案】B

【解析】

22336如图，设正四面体的棱长是1，则BM，高AO1，设点M在3223

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底面内的射影是N，则MN16，所以BMN即为所求异面直线所成角，则AO26cosBMNNM2，应选答案B。 BM32．【2017届河南省六市高三下学期第二次联考】如图， G， H， M， N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH， MN是异面直线的图形的序号为（ ）

A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】D

3．【2017届四川省广元市高三第三次高考适应性统考】对于四面体若

,

,则点,则点

在底面在底面

内的射影是内的射影是

,有以下命题:①的外心；②若

的内心；③四面体

的6条棱长都为1,则它的内切球的

的四个面中最多有四个直角三角形；④若四面体表面积为

.其中正确的命题是( )

A. ①③ B. ③④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】D

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【解析】

由题设ABACAD，故顶点A在底面内的射影是底面中心，故命题①是正确的；四面体中的四个面中最多有四个直角三角形，如图，故命题③是正确的；对于命题②，如图，尽管

,

,点

在底面

内的射影不是

的内心，即命题②是错误的；

2213232若四面体的6条棱都为1，则它的体积为V，又设内切11341232613262球的半径为r，则V4，则S4r4，即rr634121212命题④也是正确的。应选答案D。

4．【2017届山西省临汾市高三考前适应性训练】已知平面，及直线a,b下列说法正确的是（ ）

A. 若直线a,b与平面 所成角都是30，则这两条直线平行 B. 若直线a,b与平面 所成角都是30，则这两条直线不可能垂直 C. 若直线a,b平行，则这两条直线中至少有一条与平面平行 D. 若直线a,b垂直，则这两条直线与平面 不可能都垂直 【答案】D

【解析】解：由题意逐一分析所给的选项：

若直线a,b与平面 所成角都是30，则这两条直线不一定平行； 若直线a,b与平面 所成角都是30，则这两条直线可能垂直； 若直线a,b平行，则这两条直线中可能两条都与平面不平行； 若直线a,b垂直，则这两条直线与平面 不可能都垂直； 本题选择D选项.

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25．【2017届河北省张家口市高三上学期期末考试】三棱柱

平面

，

，，分别是

，

的中点，则

与

中，为等边三角形，

所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. 【答案】C

D.

【解析】

三棱柱中，

，所以四边形

为等边三角形，如图： 的中点为，连结为平行四边形，所以

，在

，则有 ， ，则

或其补角即为所求，不妨设

有 中，由余弦定理可得：

，故选C.

6．【2018届吉林省百校联盟高三TOP20九月联考】如图，在长方体ABCDA1BC11D1中，

AB2， BB1BC1，点P是长方体外的一点，过点P作直线l，记直线l与直线AC1，

BC的夹角分别为1， 2，若sin1 50 cos1402，则满足条件的直线l（ ）

A. 有1条 B. 有2条 C. 有3条 D. 有4条 【答案】D

【解析】由题意有： sin150

cos90502sin502，

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即： sin150sin250，则12，考虑与直线AC1,B1C1所成的角相同的直线，

其在平面ADC1B1内的射影应该平分AC1B1，这样的直线只有1条， 同理其补角也存在1条满足题意的直线，这样找到2条满足题意的直线， 同理，在DAC1处也可以找到2条满足题意的直线； 综上可得：满足条件的直线l有4条。 本题选择D选项.

7．【2017届陕西省西安市西北工业大学附属中学高三下学期第六次模拟】在正三棱柱

ABCA1B1C1中， AB2BB1，则AB1与BC1所成角的大小为( )

A.

5 B. C. D. 63122【答案】D

【解析】以A为原点,在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴,以AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系如图所示，

设BB1=2,则A(0,0,0), B13,1,2，

C10,2,2, BAB13,1,0，

3,1,2,C1B3,1,2,

AB1C1B3120，

∴AB1与C1B所成角的大小为本题选择D选项.

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. 28．【2017届陕西省西安市长安区第一中学高三4月模拟】如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且ABBC1，则异面直线PB与CD所成角的正切值是（ ）

A. 1 B. 2 C. 【答案】C

12 D.

22【解析】

如图，取AD的中点E，连接BE,PE,CE，依题意得， BE//CD，所以PBE为异面直

线PB与CD所成角，因为PE1,BE2,PEBE，所以tanPBEC.

PE2，故选BE29．【2017年福建泉州新世纪中学模考】在四面体ABCD中，若ABCD3，

ACBD2， ADBC5，则直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）

A. 1111 B.  C. D. 3443【答案】D

【解析】如图所示，该四面体为长方体的 四个顶点，设 长方体的长宽高分别为a,b,c，则：

a1a2b23{a2c24，解得： {b2， b2c25c3问题等价于求解线段AB与线段C'D'夹角的余弦值，

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结合边长和余弦定理可得：直线AB与CD所成角的余弦值为 本题选择D选项.

1。 3

10．【2017届四川省成都市高中毕业班第三次诊断检测】在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑

，则异面直线

与

所成角的余弦值为（ ）

中，

平面

，且

A. B. C. 【答案】A

D.

【解析】由题意，可补形成正方体如下图：

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所以异面直线与所成角就是与所以角，而为直角三角形，所以所成角为，

。选A.

11．【2017届山西省孝义市高三下学期考前热身训练】【在长方体ABCDA1BC11D1中,

AA1A1D1a,A1B12a,点P在线段AD1上运动,当异面直线CP与BA1所成的角最大时,

则三棱锥CPA1D1的体积为( )

a3a3a33A. B. C. D. a

432【答案】B

【解析】如图所示，连结CD1，则DCP为锐角， DCP即为异面直线CP与BA1所成的11角，很明显，当点P位于点A处时异面直线CP与BA1所成的角最大,此时

VCP1A1DVCa3.本题选择B选项. AA11D3 - 16 -

12．【2018届广西柳州市高三毕业班上学期摸底联考】如图所示，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则下列命题中正确的是__________．(将所有正确答案序号填写到横线上)

①ACBD；②AC//截面PQMN；③ACBD；④异面直线PM与BD所成的角为45．

【答案】①②④

13．【2017届河北省衡水中学高三下学期第三次摸底考试】已知两平行平面、间的距离为

23，点A、B，点C、D，且AB4,CD3，若异面直线AB与CD所成角为

60°，则四面体ABCD的体积为__________． 【答案】6

0【解析】设平面ABC与平面交线为CE，取CEAB ,则AB//CE,CE4,ECD60

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11VABCDVACDE2343sin6006.

32

14．【2017届安徽省江淮十校高三下学期第三次联考】如图，矩形ABCD中， AB2BC4，

E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻转成A1DE.若M为线段AC的中点，则在1ADE翻折过程中：

①BM是定值；②点M在某个球面上运动；

③存在某个位置，使DEAC1；④存在某个位置，使MB平面A1DE. 其中正确的命题是_________. 【答案】①②④

假设③正确，即在某个位置，使得DE⊥A1C， 又矩形ABCD中， DECE22,DC4，

满足DECEDC,DEEC ，从而DE⊥平面A1EC，则DE⊥A1E，这与DA1⊥A1E矛盾.所以存在某个位置，使得DE⊥A1C不正确，即③不正确.

222 - 18 -

综上，正确的命题是①②④

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