大学物理课后习题(第五章)

第五章 静电场

选择题

5－1 关于电场强度定义式EF,下列说法中正确的是 （ B ） q0(A) 电场强度E的大小与检验电荷的电荷量q0成反比;

(B) 对电场中某点,检验电荷所受的力F与其电荷量q0的比值不因q0的改变而变化; (C) 检验电荷在电场中某点所受电场力F的方向就是该处电场强度E的方向; (D) 若电场中某点不放检验电荷,则F0,因而E0.

5－2 下述关于某点的电势正负的陈述,正确的是 （ C ） (A) 电势的正负决定于检验电荷的正负;

(B) 电势的正负决定于外力对检验电荷所做的功的正负; (C) 在电场中,空间某点的电势的正负,决定于电势零点的选取;

(D) 电势的正负决定于带电体所带电荷的正负,带正电的物体周围的电势一定是正的,带负电的物体的周围的电势一定为负.

5－3 在正六边形的顶角上,相间放置电荷相等的正负点电荷,则中心处 （ C ） (A) 电势为零,电场强度不为零; (B) 电势不为零,电场强度为零; (C) 电势为零,电场强度也为零; (D) 电势不为零,电场强度也不为零.

5－4 一电子逆着电场线进入匀强电场,在前进过程中,其动能 （ B ） (A) 先增大后减小; (B) 越来越大; (C) 越来越小; (D) 先减小后增大.

5－5 处于静电场中的平面S1和曲面S2有共同的边界,则 （ B ） (A) 穿过平面S1的电场强度通量比穿过曲面S2的电场强度通量大; (B) 穿过平面S1的电场强度通量与穿过曲面S2的电场强度通量相等;

49

(C) 穿过平面S1的电场强度通量比穿过曲面S2的电场强度通量小;

(D) 若电场是匀强的,穿过平面S1的电场强度通量与穿过曲面S2的电场强度通量相等,否则不相等.

5－6 下列叙述中,正确的是 （ D ） (A) 在匀强电场中,两点之间的电势差为零; (B) 电场强度等于零的地方,电势也为零; (C) 电场强度较大的地方,电势也较高; (D) 在电场强度为零的空间,电势处处相等.

5－7 无限长均匀带电的直线的电荷线密度为.在距离该直线为r处,电场强度的大小为 （ D ）

(A)

; (B) ; (C) ; (D) .

4π0r24π0r2π0r22π0r5－8 若两块无限大均匀带电平行平板的电荷面密度分别为和,则两平板之间的电场强度和两平板之外的电场强度大小分别为 （ A ）

(A)

, 0 ; (B) , ; (C) , ; (D) , 0 . 0202000205－9 在电荷面密度分别为和的两块无限大均匀带电平行平板之间的电场中,在任一条电场线上的不同点 （ B ）

(A) 电场强度E相同,电势U相同; (B) 电场强度E相同,电势U不同; (C) 电场强度E不同,电势U相同; (D) 电场强度E不同,电势U不同.

5－10 如图所示,负的点电荷q的电场中有A、B两点.下面的说法正确的是 （ C ） (A) 点B场强的大小比点A的小, 点B的电势比点A的高; (B) 点B场强的大小比点A的小, 点B的电势比点A的低; (C) 点B场强的大小比点A的大, 点B的电势比点A的低; (D) 点B场强的大小比点A的大, 点B的电势比点A的高.

50

5－11 半径为R的球面上均匀分布电荷q,球心处的电势为 （ C ） (A) 0; (B)

qqq; (C) ; (D) .

4π0R4π0R2π0R5－12 两块相互平行的无限大均匀带电平板，它们的电荷面密度分别为,若平板之间距离为d,则两平板之间的电势差为 （ B ）

(A)

dd2dd; (B) ; (C) ; (D) . 2000405－13 一半径为R的均匀带电圆环,所带电荷为q,环心处的电场强度大小和电势分别为 （ D ）

(A) Eq4π0R2q4π0R2, Vq; (B) E0, V0;

4π0Rq.

4π0R(C) E, V0; (D) E0, V5－14 关于真空平行板电容器,下面说法正确的是 （ C ） (A) 极板上的电荷增加一倍,其电容也增加一倍; (B) 极板之间的电压增加一倍,其电容也增加一倍; (C) 极板的面积增加一倍,其电容也增加一倍; (D) 极板之间的距离增加一倍,其电容也增加一倍.

5－15 一真空平行板电容器的电容为C0,充电至极板间电势差为U0时和电源断开,保持极板上的电荷不变.若在其极板间充满相对电容率为r的电介质,则其电容C和极板间电势差U分别为 （ B ）

(A) CrC0, UrU0; (B) CrC0, UU0r;

(C) CC0r, UU0r; (D) CC0r, UrU0;

5－16 平行板电容器充电后仍与电源连接.若用绝缘手柄将两极板的间距拉大,则极板上电荷Q,极板间的电场强度E的大小和电场能量We的变化为 （ B ）

(A) Q增大, E增大, We增大; (B) Q减小, E减小, We减小;

51

(C) Q增大, E减小, We增大; (D) Q减小, E增大, We增大.

计算题

5－17 电荷为q12.0106C和q24.0106C的两个点电荷,相距10cm,求两

点电荷连线上电场强度为零的点的位置.

解 设场强为零的点到q1的距离为x,则

q1q20

4π0x24π0(dx)2式中d10cm.解方程,可得

xdq21q1104.01012.01066cm4.14cm

5－18 如图所示,两个等量异号的点电荷q,相距为l.求两点电荷的连线上距离中点

O为x的点P的电场强度.若xl,这两个点电荷组成的系统可看成电偶极子,求此情况下,

点P处的电场强度表达式.

解 以OP为Ox轴正向，q在点P的电场强度为

E1ql4π0x22

q在点P的电场强度为

E2ql4π0x22

点P的电场强度为

EE1E2ql4π0x22ql4π0x22qxl

2π02l22x4 52

E0,说明其方向沿OP.若xl,则

Eqlp 332π0x2π0x式中pql,为偶极子的电矩p的大小;若写成矢量式,则为Ep2π0x3.

5－19 一半径为R,圆心角为

2π的圆环上均匀分布电荷q.求圆心处的电场强度E. 3解 取坐标如图.圆环上单位长度电荷绝对值为q2πR33q.如图所示,在处取2πRdqRd,其在环心O处的电场强度dE方向如图,

大小为

dEdqRdd 224π0R4π0R4π0R由于对称, 圆环上的电荷在环心O处的电场强度沿

Ox方向的分量ExdEx0.在Oy方向上

dEydEcoscosd

4π0R圆环上的电荷在环心O处的电场强度沿Oy方向的分量为

Eyπ3π3cosd333q2

4π0R4π0R8π0R2圆环上的电荷在环心O处的电场强度为

EEyj33qj 228π0R5－20 正电荷q均匀地分布在长度为L的细棒上.求证在棒的延长线上,距离棒中心为

r处的电场强度的大小为

E1q

π04r2L2证 取坐标如图所示.在棒上x处取微元dx,其上的电荷为dqdx

qdx.dq在棒L53

的延长线上距中心r处的点C的电场强度沿Ox轴正向,为

dEdx4π0(rx)2

整个棒上的电荷在点C的电场强度为

dx11E4π0(rx)24π0rLrL

224Lq1 4π04r2L2π04r2L2L2L25－21 如图所示,一细线被弯成半径为R的半圆形,其上部均匀分布有电荷q,下部均匀分布电荷q.求圆心O处的电场强度E.

解 半圆细线关于Ox轴对称.取对称的大小相等的正负电荷微元,它们在圆心O处的电场强度之和沿Oy轴负向.由此可见,所有电荷在圆心O处的电场强度,也一定沿Oy轴负向.

上半部分带正电荷,电荷线密度为q2q.πRπR2在圆弧上取微元dlRd,其上所带电量为dqdlRd.dq在圆心处产生的电场强度dE1的大小为

dE1dE1沿Oy方向的分量为

Rdd 24π0R4π0RdE1ydcos

4π0R式中为dq到Oy轴的角距离.对上面的四分之一圆弧积分,即得所有正电荷在圆心O处的电场强度沿Oy方向的分量为

π2E1ycosd 04π0R4π0R同样的方法,可求得所有负电荷在圆心O处的电场强度沿Oy方向的分量为

E2y

4π0R整个半圆环上的电荷在圆心O处的电场强度为

EE1yE2yjqj2j

2π0Rπ0R25－22 边长为a的正方体的中心,放置一点电荷Q.求穿过正方体各个侧面的电场强度通量.若点电荷Q放在正方体的顶点A上,如图所示,则穿过侧面BCDE的电场强度通量为多少?

解 若点电荷放置在正方体的中心,则正方体表面包围的电荷为Q,穿过表面的电场强度通量为

eQ0

穿过各侧面的电场强度通量相等,为

e1Q 60若点电荷放在正方体的顶点A上,则可设想点电荷处于另一个大正方体的中心,这个大正方体是原来的小正方体的8倍.穿过这个大正方体表面的电场强度通量为eQ0,穿过大

正方体一个侧面的电场强度通量为

e6.每个侧面都是由4个BCDF这样的正方形对称地拼

铺而成.因此, 穿过BCDF的电场强度通量是穿过一个侧面的电场强度通量的

1,为 4e211eeQ

46242405－23 电场强度大小为300Vm的匀强电场中,有一半径为20.0cm的圆周,电场强

55

度与圆平面的夹角为30.求穿过以该圆周为边界的曲面的电场强度通量Φe.

解 电场穿过以圆周为边界的任何曲面的电场强度通量都与穿过圆平面的电场强度通量相等.电场强度与圆平面的法线间的夹角为(9030)60,因此

ooooΦeESEScosEπR2cos60o 300π2.01012

cos60o Vm18.85 Vm5－24 相互平行的两条无限长直线,相距为a,其上均匀带电,电荷线密度分别为和

.求距离两直线均为a的点P的电场强度.

解 二带电直线在点P的电场强度E1和E2如图所示.二者大小相等,为

E1E2.总电场强度E是E1和E2的矢量和,方

2π0a向如图,垂直于二直线且与二直线组成的平面平行;由几何关系可知,E大小与E1和E2相同,亦为

E2π0a

5－25 如图所示,相互平行的两条无限长直线,相距为d,其上均匀带电,电荷线密度分别为和.求在两直线所决定的平面上的电场强度分布.

解 取坐标如图所示.在两条带电直线所在的平面上, 两条带电直线的电场强度E1和E2的方向均沿Ox轴.

左边的均匀带电无限长直线在x处的电场强度为

E1 x0 2π0x右边的均匀带电无限长直线在x处的电场强度为

E2 xd

2π0xd两条带电直线决定的的平面上的电场强度为

EE1E211  x0,xd 2π0x2π0xd2π0xxd56

5－26 如图所示,两块相互平行的无限大均匀带电平面上,电荷面密度分别为和

2.求图中三个区域的电场强度.

解 两块电荷均匀分布的无限大平板的电场均为匀强场.如图所示,左边平板的电场方向如图上实箭头所指,大小为

,右边平板的电场方向如图上虚箭头所指,大小为.如图200所示,取Ox轴与平面垂直,则三个区域的电场强度均沿Ox轴.由叠加原理,各区域的场强为:

Ⅰ区域

E1 02020Ⅱ区域

3E2 22000Ⅲ区域

E3 020205－27 如图所示,两个电偶极矩大小均为pql的电偶极子在一条直线上,方向相反,且负电荷重合.求在它们的延长线上距离负电荷为r(rl)的点P的电势.

解 从左到右三个点电荷的电场在点P的电势分别为

V1q4π0rl

V22q4π0r

57

V3点P的电势为

q

4π0rlVV1V2V3 q2qq 4π0rl4π0r4π0rlql2 2π0rr2l2因为rl,所以可近似为

ql2plV

2π0r32π0r35－28 如图所示,电荷为q的两个点电荷分别位于点D和点O,DO2R.若将带电

ABC移至点C,求电场力对它粒子q0从DO的中点A,沿以点O为圆心,R为半径的圆弧所做的功.

解 q和q的电场中,点A的电势VA0,点C的电势为

VCq11q 4π0R3R6π0R将q0从点A经点B沿圆弧移至点C,电场力对它所做的功为

Aq0VAVCq0q

6π0R5－29 一均匀带电的半圆环,半径为R,所带电荷为Q,求环心处的电势. 解 半圆环上的电荷元dq的电场中,圆心O处的电势为

dV带电半圆环的电场中,圆心O处的电势为

dq

4π0RVdVLdqQ

4π0R4π0R58

5－30 电荷q均匀地分布在半径为R的细圆环上.求细圆环轴线上,距中心为x的点P的电势.

解 取坐标如图所示.在园环上取电荷元dq,其电场在Ox轴上x处的点P处的电势为

dVdqdq 224π0r4π0xR整个园环上的电荷的电场在点P处的电势为

V1圆环4π0dqxRP2214π01xR22圆环dq14π0qxR22

也可以用电势定义VPLEdl来求.在例5－4中,已经求得带电圆环轴线上距中心为

Eqx4π0x2R322x处的场强为

若选积分路径为从点P沿轴线延伸到的直线,则dldxi,于是

Edl点P处的电势为

qxdx4π0x2Rqxdx322

1VEdlxP4πPPL0x2R32214π0qxR2P2

点P是任意的,因此

V14π0qxR22

5－31 如图所示,平面曲线ABMCD上均匀带电,电荷线密度为.BMC是半径为R的半圆弧,AB、CD和圆心O在同一条直线上,ABCDR.求圆心O处的电场强度和电势.

解 AB和CD上的电荷,在圆心O处产生的电场强度,大小相等方向相反,相互抵消.因此圆心O处

BMC上的电荷在此产生的电总的电场强度与半圆弧场强度相等,方向垂直AD向下.如题5—19,可求得

59

该电场强度的大小为E.

2π0R在AB上距离A为x出取dx,其上电荷为dqdx.dq的电场中,圆心O处的电势为

dVdx4π0(2Rx).AB上的电荷的电场中,圆心O处的电势为

U1Rdx4π0(2Rx)0ln2 4π0同样的方法可求得CD上的电荷的电场中,圆心O处的电势为

V2ln2 4π0BMC上电荷的电场中,圆心O处的电势为 半圆弧V3圆心O处的总电势为

πR 4π0R40VV1V2V322ln2ln21 4π04040π5－32 无限长直线均匀带电,电荷线密度为.求其电场中距离直线分别为a和b的两点之间的电势差.

解 均匀带电线密度为的无限长直线周围的电场,沿以该直线为轴的柱坐标的径向,到带电直线的距离为r的点上,电场强度的大小为

E 2π0r到带电直线的距离为a和b的两点之间的电势差为

UabEdlEdraabbbabdrln 2π0r2π0a5－33 在平行板电容器极板之间充填两种电容率分别为1和2的电介质,每一种电介质各占一半体积.若电介质如图(a)分布,两种电介质中的电场能量密度之比是多少?若电介质按图(b)分布,则两种电介质中电场能量密度之比又是多少?

60

解 (a) 极板间的电势差相同,因此板间的电场强度相等,E1E2.由we得两种介质中的电场的能量密度之比为

12E,可2we1:we21:2

(b) 电介质中的电场强度为E,因此两种介质中的电场强度之比为E1:E2112:1.由we12E,可得两种介质中的电场的能量密度之比为 21:12:1

2we1:we21E12:2E2125－34 一个标有“10μF,450V”的电容器,当充电到电势差U400V时,它所储存的电场能为多少?若是平行板电容器,极板之间的距离为d2.0010的相对电容率为r5.20,则极板之间电场的能量密度为多大?

解 电容器储存的电场能为

3cm,充填的电介质

11WeCU2101064002J0.8 J

22极板之间的电场强度为EU,电场的能量密度为 d211Uwer0E2r022d

21400333 5.208.851012Jm9.2010Jm522.0010 61