允许缺货的经济订货批量模型精编版

允许缺货的经济订货批量模型

在有些情况下，存贮系统允许缺货现象存在。在存贮水平变为零以后，还要等一段时间后再去订货，此时，由于缺货就要带来一定的缺货损失费。但是，该存贮系统库存量比不允许缺货时要少，从而存贮费相对就可节省，同时，不必经常地去订货，也会使订购费用减少。当降低的成本大于造成的缺货经损失时，存贮系统自然就采取缺货的策略了。

这个存贮模型的基本假设前提是：

（1）当库存量减少到零时，延迟一段时问再进行补充。但一旦进行补充，瞬时就能到货，补充一次性完成；

（2）需求均匀连续，需求速率u为常数，在订货周期t内的需求量为ut，每次订购批量Q，Qut；

（3）每次订购费a相同，单位时间内单位货物的存贮费b不变，单位货物的缺货费c不变。

该模型的存贮状态变化如图10—3所示。 库存量

时间

t t t

图10—3

如图所设，每一个订货周期t内的最大缺货量为Q2，实际进库量为Q1，当进货时，每批的订购批量为

QQ1Q2

在这里，我们假定采用“缺货预约”的办法：未能满足的需求量作为缺货予以登记，待进货后立即进行补偿。或者在实际问题中也可以如此处理：该存贮系统有一个安全库存量Q2（支付超存贮费，也即缺货损失费），一旦缺货就动用安全库存量Q2。当进货时，被动用的安全库存量Q2应该得到补偿。

同前面一个模型一样，我们设单位时间内存贮货物的总费用的平均值为函数

f。在订货周期t内总费用为订货费、存贮费与缺货费之和。

根据假设，单位时间的订货费为eu + (a/t) 。

由图10—3可知，在订货周期t内的存储量为一个三角形的面积：Q1t1/2，因此，单位时间内的存贮费为bQ1t1/2t。

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在订货周期t内的缺货量为一个三角形的面积：Q2(tt1)/2，因此，单位时间内的缺货费为cQ2(tt1)/2t。

根据相似三角形对应边关系，有(tt1)/tQ2/Q，又Qut，Q2QQ1，故单位时间内的缺货费为c(utQ1)2/2ut。

综上所述，单位时间内存贮货物的平均总费用函数为

bQ12c(utQ1)21f(aeut)。

2u2ut 我们将f对t和Q1分别求一阶偏导数，并令其为零，即此方程组，可得： 最佳订货周期t*ff0，解0和Q1t2a(bc)， （10—4） bcuQ1*2acu。 （10—5）

b(bc)2au(bc)， （10—6） bc由Qut可得，最佳订购批量Q**由Q1ut1得，t12ac， （10—7）

bu(bc)2abcueu。 （10—8） bc最小平均费用f*例10—3 若在例10—1中，其他条件不变，现可以考虑允许缺货，每月的缺货损失费c为1.5元/件。试计算这时的最佳订购批量、最佳订货周期、最小平均费用。

解 根据公式（10—6）、（10—4）和（10—8），可得：

最佳订购批量Q*2au(bc)25100(0.41.5)==56（件）； bc0.41.52a(bc)25(0.41.6)==0.56（月）； bcu0.41.6100最佳订货周期t*最小平均费用f*2abcu250.41.6100eu=4100=417.89（元/月） bc0.41.6 2

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