基于订货数量折扣的EOQ
模型
—模型开发立项书
2012年05月18日
基于订货数量折扣的EOQ模型
1. 模型的产生背景
经济订货批量(EOQ),即Economic Order Quantity是固定订货批量模型的一种，可以用来确定企业一次订货（外购或自制）的数量。当企业按照经济订货批量来订货时，可实现订货成本和储存成本之和最小化。
事实上，供应商往往根据订货数量向用户提供价格折扣，鼓励他们大量购买，而经济订货批量只是针对采购单价是常数的情形。基于订货数量折扣的EOQ模型是基于EOQ模型建立起来的，当用户面临供应商开出的不同订购数量的折扣时，该模型可以指导用户如何通过采购适合的数量，使总采购成本最低。
2. 基本原理
2.1假设条件
（1）不允许缺货； （2）即时到货；
（3）需求是连续的均匀的；
（4）每次的及不同数量的订货费不变； （5）不同的订货数量级对应不同的采购单价； （6）单位物资年库存成本不变。 2.2 模型分析
基于订货数量折扣的EOQ模型，大体上跟基本的EOQ模型一致。基本的EOQ模型是相对很多次采购，单个采购价格而言，针对的是长远的采购决策；而本模型是着重考虑在确立基本的经济订货批量后，具体的订货数量要由数量折扣而定，针对的是单次的采购决策。基本的思路是，先计算经济订货批量，然后代入不同单价，计算总采购费用，取最小者的订货数量。 2.3 应用领域
本模型主要应用对象与基本EOQ模型相一致的，如同上述的假设一样，在具体领域可以使生产制造企业，服务行业的零售业等涉及采购的企业。
3. 建模过程
3.1 模型假设
假设条件如下：
（1）订货量为Q （2）每年需求为D （3）每次订货费为S
（4）每年每单位库存成本为H
（5）单位物资的采购价格，以三种数量级为例，其中很明显P1≥P2≥P3
P1，0≤Q≤Q1
P(Q)= P2，Q1≤Q≤Q2
P3，Q2≤Q
3.2 建模
每年采购总成本=库存成本+订货费+物资成本
D×Q1
TC = 2 ×Q×H + + P(Q)×D
S
画出TC随Q的函数图象，如图：
TC
P1 P2 P3
0
Q1 Q* Q2 Q
由于每种数量折扣的总成本公式只是相差常数P×D，因此三条总成本曲线是相互平行的，其最低点，就是对应的经济订货批量，都是是相同的。
因此，在计算中，完全可以忽略价格P的影响，先计算出经济订货批量Q*，具体的推导过程此处不再详述，请参考经济订货批量模型推导。但是，Q*是否在Q1，Q2之间，是不确定的。因此，这时就需要逐个进行计算。
计算步骤如下：
（1） 若Q*≥Q2，那么Q*对应的总成本就是最低的；否则，转入下一步；
（2） 若Q*≥Q1，那么计算：
D×Q1
TC (Q*)= 2 ×Q*×H + + P2×D
SD×Q21
TC (Q2)= 2 ×Q2×H + + P3×D
S
其中的最小者即为结果；否则，转入下一步；
（3） 计算：
D×Q1
TC (Q*)= ×Q*×H + + P1×D
2SD×Q11
TC (Q1)= 2 ×Q1×H + + P2×D
SD×Q21
TC (Q2)= 2 ×Q2×H + + P3×D
S
其中的最小者即为结果。
求得合适的订货批量之后，可以计算每年的订货次数和订货周期：
每年订货次数N=[年需求D÷订货批量Q] （取整）
订货周期T=365÷每年订货次数N（天）
可以看到包含数量折扣的经济订货批量的计算不是一蹴而就的，但是这种计算方法是可以推广到任意多种的数量折扣的计算当中的。总结其简单规律如下：
① 计算经济订货批量Q*= 2DS
H
**
② 将Q*代入最高一个数量级，若满足则取Q*，否则转入下一步； ③ 将Q代入任意一个数量级，若Qi≤Q≤Qi+1，则计算TC(Q)，TC(Qi+1)，
TC(Qi+3)，TC(Qi+5)...... TC(Qn)，其中的最小者即为结果；否则，将Q*代入更小的一个数量级进行判断计算； ④ 重复第③步，直到得出结果为止。
*
*
*
4. 实验操作步骤设计
（1）输入条件：
①物资年需求量，单位：件/年
②单位物资的年库存成本，单位：元/(件.年) ③单次订货费，单位：元/次 ④不同数量级对应的折扣价格 （2）输出结果：
①订货批量，单位：件/次 ②每年订货次数，单位：次/年 ③订货周期，单位：天 ④采购单价，单位：元 ⑤采购总成本，单位：元
（3）界面设计：
利用microsoft visual basic 6.0对本模型的算法实施编程，并设计操作界面如下：
5. 应用案例
一家大医院的维修部每年使用大约816箱液体清洁剂。订货成本为12元，库存成本是每年每箱4元，新价目表表明，少于50箱的订货成本为每箱20元，50-79箱的是每箱18元，80-99箱的是每箱17元，更大的订货则是每箱16元。请确定最优订货量和总成本。
解答：
计算通常的经济订货批量：Q*=
2DS
=H
2×816×12
=70（箱） 4
画出不同的数量折扣的总成本函数图，大致如下：
总成本
P1 P2 P3
0
50 Q*=70 80 100
批量
由于Q*=70落在50-79之间，因此根据公式
D×Q1
TC = 2 ×Q×H + + P(Q)×D
S
计算：
TC(70)=70×4÷2+816×12÷70+18×816=14968（元） TC(80)=80×4÷2+816×12÷80+17×816=14154（元） TC(100)=100×4÷2+816×12÷100+16×816=13354（元）
因此，最优的订货批量应该是100箱，总成本为13354元。
6. 思考题
若模型中的单位库存成本H不是常数，而是百分比，求解模型的过程和结果还是不变吗？
解答：如图
TC
P1 P2 P3
0
Q1 Q1* Q2* Q3* Q2 Q
当H不再是常数而是一个百分比时，那么H将受到单价的影响，也即受到订货数量影响，因此，每个数量级的经济订货批量（如图中的最低点，黑点），不再相等。
因此，应当对每一个数量级都计算一次经济订货批量，如果经济订货批量落在该数量级的折扣区间，则计算其总成本；否则，取最靠近该点的区间数字，计算其总成本。将所有的总成本进行比较，其中的最小者即为结果。改进其计算步骤如下：
① 计算经济订货批量Q= *
2DS
； H
② 对任意一个数量级，若Qi≤Q*≤Qi+1，则计算TC(Q*)；若Q*≤Qi，则计算
TC(Qi)；若Qi+1≤Q*，则计算TC(Qi+1)；
③ 计算所有的数量级的总成本，进行比较，其中的最小者即为结果。
参考文献
[1] 钱颂迪.运筹学[Z].清华大学出版社,2005.
[2] 威廉.史蒂文森,张杰,张群.运营管理[Z].机械工业出版社,2011.
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