2021中考数学复习专题 《圆》解答题专项特训（二）
1．已知：如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，E为DC延长线上一点，BE交⊙O于点F． （1）求证：∠EFC＝∠BFD． （2）连接BC、BD，若F为半圆弧
的中点，且tan∠CBD＝
，求的值．
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，分别交AC、AB的延长线于点E，F． （1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，CE＝3，求的长度．
3．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AE⊥CD于E，∠ABC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点D，交CD于点F． （1）求证：BC与⊙O相切； （2）若OB∥AD，DF＝6，ME＝
，求OB的长度及阴影部分的面积．（结果保留π）
4．已知：Rt△ABC，∠C＝90°．
（1）点E在BC边上，且△ACE的周长为AC+BC，以线段AE上一点O为圆心的⊙O恰与AB、BC边都相切．请用无刻度的直尺和圆规确定点E、O的位置； （2）若BC＝8，AC＝4，求⊙O的半径．
5．如图，在等腰三角形ABD中，AB＝AD，点C为BD上一点，以BC为直径作⊙O，且点A恰好在⊙O上，连接AC．
（1）若AC＝CD，求证：AD是⊙O的切线． （2）在（1）的条件下，若CD＝1，求⊙O的直径．
6．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且DE是⊙O的切线． （1）求证：∠CDE＝
∠BAC；
（2）若AB＝3BD，CE＝4，求⊙O的半径．
7．如图，AB是半⊙O的直径，AD⊥切线CD，点C为切点．求证：AC平分∠DAB．
8．如图所示，在⊙O中，AB为直径，点C、D都在⊙O上，且BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，∠ABC＝76°，则劣弧AD的长为 ．
9．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，弦AD∥OC． （1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）已知AB＝6，CB＝4，求线段AD的长．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝延长AC至点F，使∠BAC＝2∠CBF． （1）求证：BF是⊙O的切线． （2）若tan∠CBF＝
，求线段CD的长．
，以AB为直径作⊙O与AC交于点D，与BC交于点E，
参考答案
1．（1）证明：如图，连接BD， ∵AB⊥CD 且AB为直径，
∴＝
∴∠BFD＝∠CDB． 又∵∠EFC+∠CFB＝180°， 而∠CFB+∠CDB＝180°， ∴∠EFC＝∠CDB． ∴∠EFC＝∠BFD．
（2）解：如图，连OF，OC，BC， 可知∠EFC＝∠BFD＝∠BCG， 又F为半圆AB的中点， ∴∠FOB＝∠FOA＝90°， ∴OF∥CD， ∵CD⊥AB，
∴＝，
∴∠ABC＝∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABC＝∠ABC，
∴∠AOC＝∠CBD，
∴tan∠AOC＝tan∠CBD＝，
∴＝，
∴可以假设CG＝∴OC＝∵OF∥EG，
m．OG＝2m，
＝3m＝OB，
＝
∴＝＝＝．
2．解：（1）如图，连接OD，
∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD平分∠EAF， ∴∠DAE＝∠DAO， ∴∠DAE＝∠ADO， ∴OD∥AE，
∵AE⊥EF， ∴OD⊥EF， ∴EF是⊙O的切线；
（2）如图，作OG⊥AE于点G，连接BD， 则AG＝CG＝
AC＝3，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°，
∴四边形ODEG是矩形，
∴OA＝OB＝OD＝CG+CE＝3+3＝6，∠DOG＝90°， ∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90°， ∴△ADE∽△ABD，
∴＝，即＝，
∴AD2＝108， 在Rt△ABD中，BD＝
＝6，
在Rt△ABD中，∵AB＝2BD， ∴∠BAD＝30°， ∴∠BOD＝60°，
＝2π．
则的长度为
3．解：（1）过点O作OG⊥DC，垂足为G． ∵AB∥CD，AE⊥CD于E， ∴OA⊥AB．
∴∠OAB＝∠OGD＝90°， ∵BO平分∠ABC， ∴OA＝OG， ∴DC是⊙O的切线； （2）如图，连接DM． ∵AE⊥CD，
∴DE＝EF＝FD＝3，
在Rt△MDE中，ME＝∴MD＝2
，
，DE＝3，
∴tan∠MDE＝，
∴∠MDE＝30°， ∴∠MAD＝30° ∵OB∥AD
∴∠AOB＝∠MAD＝30°， ∴AE＝3
OA＝2
，
∴OB＝4，S阴＝S△ABO﹣S扇＝
＝2﹣π．
4．（1）如图，作∠ABC的平分线BO， 作线段AB的垂直平分线EG，交BC于E， 连接AE交BO于O， 则点E、O即为所求作点；
（2）解：设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x在Rt△ACE中，42+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝5， 在Rt△ABC中，AB＝
＝4，
＝，
设⊙O的半径为r， ∵S△ABE＝S△AOB+S△BOE ∴
×5×4＝
×4
r+
×5r
∴r＝，
即⊙O的半径为．
5．解：（1）如图，连接OA．
∵OA＝OB， ∴∠B＝∠OAB， ∵AB＝AD， ∴∠B＝∠D， ∵AC＝CD， ∴∠D＝∠CAD， ∴∠OAB＝∠CAD， ∵BC为直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠OAD＝90°， 即OA⊥AD， ∵OA是⊙O的半径， ∴AD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为x，则OA＝OC＝x，BC＝2x， ∵∠B＝∠D，AB＝AD，∠BAC＝∠OAD＝90°， ∴△BAC≌△DAO， ∴BC＝DO，
∵CD＝1，
∴DO＝OC+CD＝x+1， ∴2x＝x+1， ∴x＝1，
即⊙O的直径为2．
6．解：（1）如图，连接OD，AD， ∵AC是直径， ∴∠ADC＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴∠CAD＝∠BAD＝
∠BAC，
∵DE是⊙O的切线； ∴OD⊥DE， ∴∠ODE＝90°， ∴∠ADC＝∠ODE， ∴∠CDE＝∠ADO， ∵OA＝OD， ∴∠CAD＝∠ADO， ∴∠CDE＝∠CAD， ∴∠CAD＝
∠BAC，
∴∠CDE＝∠BAC；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵AB＝3BD， ∴AC＝3DC，
设DC＝x，则AC＝3x， ∴AD＝
＝2
x，
∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED， ∴△CDE∽△DAE，
∴＝＝，即
∴DE＝8，x＝，
∴AC＝3x＝28， ∴⊙O的半径为14．
7．证明：连接OC，如图所示：
∵CD切⊙O于C， ∴CO⊥CD， 又∵AD⊥CD， ∴AD∥CO． ∴∠DAC＝∠ACO， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO ∴∠DAC＝∠CAO， ∴AC平分∠BAD．
8．解：（1）连接OD， 由图可知OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， 又∵BD平分∠ABC， ∴∠OBD＝∠DBE， ∴∠ODB＝∠DBE， ∴OD∥BE， ∵DE⊥BC
∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线； （2）∵AB＝6， ∴圆O直径d＝AB＝6， ∵OD∥BE
∴∠AOD＝∠ABC＝76°，
∴，
故答案为：π．
9．（1）证明：连接OD，如图， ∵BC⊥AB， ∴∠CBO＝90°， ∵AD∥OC，
∴∠A＝∠BOC，∠ADO＝∠DOC， ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO， ∴∠DOC＝∠BOC，
在△OCD和△OCB中，
∴△OCD≌△OCB（SAS）， ∴∠ODC＝∠OBC＝90°， ∴OD⊥CD， ∴DC是⊙O的切线； （2）解：∵AB＝6， ∴OC＝3， ∵CB＝4， ∴OC＝5， 连接BD，
∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADB＝∠CBA＝90°， ∵∠A＝∠COB， ∴△ADB∽△OBC，
∴＝，即＝，
∴AD＝．
10．解：（1）连接AE， ∵AB为直径， ∴AE⊥BC， ∵AB＝AC， ∴∠BAE＝
BAC，
∵∠BAC＝2∠CBF， ∴∠BAE＝∠CBF， ∵∠ABE+∠BAE＝90°， ∴∠ABE+∠CBF＝90°， ∴BF是⊙O的切线； （2）∵tan∠CBF＝
，
∴tan∠CAE＝＝，
∴设CE＝x，AE＝3x， ∴AC＝
x＝
＝，
∴x＝1，
∵AC＝AB，AE⊥BC，
∴BC＝2CE＝2， 连接BD，
则∠DBC＝∠CAE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCD＝∠ADB＝90°， ∵tan∠CAE＝tan∠DBC＝
＝，
∴设CD＝a，BD＝3a， ∴BC＝
a＝2，
＝
∴a＝，
∴CD＝．
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