方程与方程组

方程与方程组

一、一元一次方程

例1:解下列方程：

10X—2（10—X）=76 ［（x-3）-（23-x）］×2＝23-x

二、二元一次方程组：

①代入消元法：就是把一个方程中的未知数X用含另一个未知数Y的式子来表示，代入到另一个方程中，这样就消去了未知数X，然后解出Y，最后再求出X。

例2:解二元一次方程组。

x+ y =35y-1 =3x 

2x+4y=942x+y=11

②加减消元法：就是把方程组中两个方程系数相同的未知数先用加或减去掉。

xy363x+y=13例3:解方程组 

2x- y=7x2y50

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例4:例1也可以用加减消元法来解答。

x+ y =35

2x+4y=94

例5:李老师为学校购买体育用品，第一次买了3副象棋和5副围棋，一共花了109元：第二次买了5副象棋和3副围棋，一共花了75元。每副象棋和围棋各多少元？

巩固练习

1、解下列方程组：

x+ y =35 y=2x 

2x-y=45x+2y=27

9a+2b=158x-3y=7  3a+4b=102x+y=21

2

2、解方程组3xy2xy11

4xy3xy9xy10 xy2

3、解二元一次方程组。

0.3x0.1y0 0.4x0.3y2.6

x5y4 3x6y5xy3 xy7

2x3y5 2x3y3x0.y30.1 x0.y30.2

1.xy27 yz33 1.8xz304、小明买了2支钢笔和3支铅笔共用9.2元钱，小红买了3支钢笔和2支铅笔共用了13元。问：钢笔铅笔一支各是多少钱？

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比例行程（1）

知识概述：

比例行程问题中：路程=速度×时间(s=vt)，三个量之间的关系：

路程(s)一定，速度(v)与时间(t)成反比例；v1：v2= t2：t1 速度(v)一定，路程(s)与时间(t)成正比例；s1：s2= t1：t2 时间(t)一定，路程(s)与速度(v)成正比例；s1：s2= v1：v2

精选例题：

例1:一列客车和一列货车同时从甲、乙两地相向而行，客车与货车的速度比是11:8，

甲、乙两地相距380千米。求相遇时，客车比货车多行了多少千米？

例2:一辆货车从甲城开往乙城，又立即按原路从乙城返回到甲城，一共用了9小时，

去时每小时行40千米，返回时每小时行50千米。甲、乙两城相距多少千米？

例3: 一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提速20%，可以比原来提前1小时，

原来多少小时可以到达？如果减速20%，比原来迟到多少小时？

例4:甲、乙两站相距不到500千米。A、B两列火车从甲、乙两站相对开出，A车行至210千米处停车，B车行至270千米处停车，这时两车相距正好是甲、乙两站距离的，问甲、乙两站之间的距离是多少千米？

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例5: 一条船往返于甲、乙两港之间，已知船在静水中的速度为每小时9千米，平时逆行与顺行所用的时间比为2:1。一天因为下暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了10小时，甲、乙两港相距多少千米？

例6:甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。出发时，甲、乙两车的速度比是4：3，相遇后，两车继续前进，乙车每小时比原来多行35千米。结果两车同时达到目的地。求甲车每小时行多少千米？

例7:甲、乙、丙三人进行200米赛跑，当甲到达终点时，乙离终点还有20米，丙离终点还有25米，如果甲、乙、丙的速度都不变，那么当乙到达终点时，丙离终点还有多少千米？

例8:甲、乙两车分别同时从A、B两地相向开出，速度比是7：11，两车第一次相遇后继续按原方向前进，各自到达终点后立即返回，第二次相遇时甲车距B地80千米，求A、B间相距多少千米？

巩固练习

1、哥哥和弟弟同时从家和学校相向而行，哥哥和弟弟的速度比是5:3，相遇时哥哥比弟弟多走了200米，求家离学校有多少米？

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2、小明周末去登山，上山平均每分钟走20米，下山平均每分钟走30米。他先从山脚上山到山顶，然后原路下山，上山所用的时间比下山多30分钟，请问从山脚到山顶有多少米？

3、小红和小明相约上午11点在两家路上的中点碰面。小红与小明步行的速度比是4：3。小红10:30分从家里出发。小明应该比小红提前几分钟出发？

4、甲、乙两车同时从A、B两站相对开出，4小时后乙车到达中点。甲车离中点还有50千米，已知甲车的速度是乙车的

5、一支猎狗正在追赶前方20米处的兔子，已知狗一跳前进3米，兔子一跳前进2米；狗跳3次的时间兔子可以跳4次。问：兔子跑多少米后被猎狗追上？

6、甲、乙两分分别从A、B两城同时相向而行，4小时在途中相遇，这时甲行了全程的40%，相遇后仍按原速继续前进，当乙到达A城时，甲还要行全程的几分之几就可以到达B城？

4。A、B两站间的距离是多少？ 56

7、甲、乙两车分别从A、B两城相对开出，经过6小时，甲车行了全程的75%，乙车超过中点16千米，已知甲车比乙车每小时多行4千米，A、B两城相距多少千米？

8、甲、乙两车从相距360千米的A地去B地。甲车比乙车晚11小时出发，结果两车2同时到达。甲、乙两车速度的比是4：3。甲车每小时行多少千米？

9、如图，甲、乙两只蚂蚁同时从A点出发，沿长方形的边爬行，结果在距B点2厘米的C点相遇，已知甲、乙的速度比是5：6，求这个长方形的周长。

10、甲、乙两车A、B两地相对开出，当甲行了全程的到达B地时，乙车行了全程的

3时乙车行了36千米；当甲车77。A、B两地相距多少千米？ 10

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比例行程（2）

知识概述：

利用正、反比例解答行程问题，实际上是根据条件求出相关数量的“份数”，然后再根据条件求出一份数和几份数，是一个用“份数”求具体数量的过程。

行程问题变化繁杂，但是万变不离其宗，这个“宗”就是路程、速度和时间之间的关系。在分析行程问题时，我们要善于根据条件画出物体运动的线段图，这样可以一目了然地把许多复杂的数量关系表示出来，对我们分析问题往往起到事半功倍的效果。

精选例题：

例1：一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达。那么甲、乙两地相距多少千米？

例2：甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，出发时他们的速度比为2：3。他们第一次相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%。这样当乙到达A地时，甲离B地还有14千米。那么A、B两地的距离是多少千米？

例3：快、慢两辆汽车分别从A、B两市同时相对开出，沿同一高速公路分别到B市和A

1市。快、慢车的速度比为4:3，快车于上午9点驶完全程的，到达途中的C市，慢车于下

3午4点到达C市。那么两车相遇时刻是几时几分？慢车到达A市的时刻是几时几分？

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例4：某日客车和货车分别在A、B两地同时出发，相向而行，在途中的C点相遇。次日，客车和货车依然同时出发，相向而行，客车途中有事休息7小时，两车在途中的D点相遇，已知客车的速度是每小时80千米，货车的速度是每小时60千米，C、D两点到A、B中点的距离相等，求A、B两地的距离。

例5：某日客车和货车分别在A、B两地同时出发，相向而行，在途中的C点相遇。次日，客车和货车依然同时出发，相向而行，客车途中有事休息7小时，两车在途中的D点相遇，已知客车的速度是每小时80千米，货车的速度是每小时60千米，C、D两点到A、B中点的距离相等，求A、B两地的距离。

例6：甲、乙、丙三人都要从A地到B地。A、B两地相距54千米。甲骑摩托车，一次只能带一个人，摩托车每小时行36千米，人步行每小时行4千米。如果采用摩托车和步行相结合的办法，三人同时从A地出发，全部同时到达B地，最快需要多少时间?

例7:王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高前1小时40分到达北京。北京、上海两市间的路程是多少千米？

1，结果91，于是提69

例8:一个极地探险家乘着10只狗拉的雪橇从甲营地赶往乙营地。出发后4小时发生了意外，有3只狗受伤，只好由其余的7只狗继续拉雪橇。前进的速度变为原来的70%。结果探险家比预定的时间迟到了2小时。如果受伤的三只狗能够再拖雪橇走21千米，那么就可以比预定的时间迟到1小时。甲、乙两个营地相距多少千米？

巩固练习

1、小周开车前往某会议中心，出发20分钟后，因为交通堵塞，中途延误了20分钟。为了按时到达会议中心，小周将车速提高了20％，小周从出发时算起到达会议中心共用了多少分钟?

2、甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经2小时相遇。相遇后各自继续前进，又经1．5小时，甲车到达B地，这时乙车距A地还有35千米，求A、B两地的距离。

3、 一辆汽车从甲地开到乙地，在平路上行驶的是全程的

47，剩下的路程中，是上510坡路，其余是下坡路，己知回来时上坡路是4.2千米，甲、乙两地相距多少千米?

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4、 货车的速度是客车的

9，两车分别从甲、乙两站同时相向而行，在两站中点3千10米处相遇，相遇后，两车分别用原来的速度继续前行，到达甲、乙两站。问当客车到达甲站时，货车还离乙站多远？

5、 小米和小华在操场上比赛跑步，小米和小华的速度比是4：3，小米先让小华跑6秒，小米跑多少秒就可以追上小华？

6、 甲乙两车从东西两站同时相对开出，当甲乙两车相距29．4千米时，甲车行了全程的

7、 快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面一个骑车人，这三辆车分别用6分、10分、12分追上骑车人，已知快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，慢车每小时走多少千米?

3，乙车行了全程的75％。东西两站相距多少千米? 5

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8、 甲、乙两车分别从A、B两地出发，并在A、B两地不断往返行驶。已知第一次在离A地

3处相遇，甲、乙两车第二次相遇地点与第三次相遇地点相差60千米。求A、B两地的5距离。

9、 某段路分上坡、平路、下坡三段，上坡路是平路长的一半，下坡路是上坡路长的3

45，走平路所用的时间是下坡路的。甲骑车561上坡的速度每小时4.8千米，行完全程共用了1小时，这段路全长有多少千米？

24倍。甲骑自行车走上坡路用的时间是平路的

10、每过2小时从A地开出一辆客车前往B地，客车速度为每小时39千米，小李骑自行车以每小时13千米的速度从A地出发，经过2小时被从A地开出的第一辆客车追及，再行若干千米路程，又恰好与从A地开出的第三辆客车同时到达B地，求A、B两地的距离。

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