向量代数与空间解析几何复习题

（一） 空间直角坐标系、向量及其线性运算

一、判断题

1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。 （ ） 2． 任何向量都有确定的方向。 （ ） 3． 任二向量a,b，若ab.则a=b同向。 ( ) 4． 若二向量a,b满足关系ab=a+b,则a,b同向。 （ ） 5． 若abac,则bc ( ) 6． 向量a,b满足aa=bb，则a,b同向。 （ ）

7．若a={

ax,ay,az}，则平行于向量a的单位向量为{ax|a|，ay|a|，az|a|}。（ ）

8．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。 ( ）

二、填空题

1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是

2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M（5，-3，-2）。

4． 设向量a与b有共同的始点，则与a,b共面且平分a与b的夹角的向量为 5． 已知向量a与b方向相反，且|b|2|a|，则b由a表示为b= 。 6． 设a=4，a与轴l的夹角为

a，则prjl= 6

7． 已知平行四边形ABCD的两个顶点A（2，-3，-5）、B（-1，3，2）。以及它的对角线交

点E（4，-1，7），则顶点C的坐标为 ，则顶点D的坐标为 。 8． 设向量a与坐标轴正向的夹角为、、，且已知 =60，=120。则= 9． 设a的方向角为、、，满足cos=1时，a垂直于 坐标面。 三、选择题

1．点（4，-3，5）到oy轴的距离为 （A）42(3)252 （B）

(3)252

（C）42(3)2 （D）4252 2．已

知

梯

形

OABC

、

CBOACB11111OAOAaOCbABababbabaa,bab22222ababababababababyoz2ABABOAOBAOB242(ab)abaabababaca0bcabab222ab22a2abbabbaa、b、cabc,bcaa、b、ca,b21,1,12,2,2a5,b8,abab(abcos1cos2cos1cos2cos1cos2(ab)a13,b19,ab24ababa3,b26,ab722(ab)a1,b23aa{4,3,4},b{2,2,1}b33a{2,3,2},b{4,6,4}(ab)a,bPa5bQ3abMNP42aaaab0a0b0a(bc)abaca0abaca{x,3,2},b{1,4,4}.bca、b24a//bda{2,1,1},b1{1,3,1}a,ba{2,3,1}、b{1,2,3}、c{2,1,2}c上的投影是14，求向量d.a1a2a32222222(a1a2a3)(b1b2b3)(a1b1a2b2a3b3)BAc.BCa.b1b2b3acac2a2SABDll25dD2D1A2B2C2x2z12y35x1y2z3132{x2y4z73x5y2z1x1y2z431{xy3z0xyz0{xy4z1202xy2z30x1y1z001{4xy40xz40x12ty3tz4{x2yz72xyz7{3x6y3z82xyz0x3y4zx2y1z1xt1,y2t1,zt2731216x3y2zL2233(1,1,1)L1x1y2z3214x1yz2213x5yz25xy1z1与平面：2xyz30求证Ｌ与相交，并求322112交点坐标

（２）. 求Ｌ与交角。

（３）. 通过Ｌ与交点且与Ｌ垂直的平面方程。 （４）. 通过Ｌ且与垂直的平面方程。 （５）.Ｌ在上的投影直线方程。

（五）空间曲线及其方程

一、

填空题

１．方程组

{y5x1y2x3在平面解析几何中表示 ，在空间解析几何表示 。

2z２．曲面x2+y2-=0与平面z=3的交线圆的方程是 ，其圆心坐标是 ，

9 圆的半径为 。

x2y21 ３．曲线2在ＹＯＺ面上的投影曲线为 。 22x(y1)(z1)1４．螺旋线x=acos,y=asin,z=b在ＹＯＺ面上的投影曲线为 。 ５．上半锥面Ｚ＝x2y2（０z1）在ＸＯＹ面上的投影为 ，

在ＸＯＺ面上的投影为 ，在ＹＯＺ面上的投影为 。 6． 曲线xt1ytz2t12的一般式方程为 。

二、 选择题

１．方程

{49yzxy221在空间解析几何中表示 。

（Ａ）、椭圆柱面 （Ｂ）、椭圆曲线 （Ｃ）、两个平行平面 （Ｄ）、两条平行直线 ２．已知曲线

{xyz2222xyza在ＹＯＺ坐标面上的投影曲线为

{yyzz212x0，则a＝ 。

（Ａ）、－１ （Ｂ）、０ （Ｃ）、１ （Ｄ）、２ xacos４．参数方程的一般方程是 。 yasinzbzxacoszzb（Ａ）、x2+y2=a2 (B)、x=acos (C)、y=asin (D)、{z yasinbbb2yxz922三、化曲线

{yx为参数方程。

（六） 曲面及其方程

一、填空题

1．以原点为球心，且过点Ｐ（１，１，１）的球面方程是 。

2．设球面的方程为x2+y2+z2-2x-4y+2z=0，则该球面的球心坐标是 ，球面的 半径 为 。

3．将zox面上的抛物线z2=5x,绕ox轴旋转而成的曲面方程是 。 4．圆锥为x2+y2=3z2的半顶角＝ 。

5．方程y2=z表示的曲面是平行与 轴的 柱面。

6．方程y=x+1在平面解析几何中表示 ，而在空间解析几何中表示 。 7．抛物面Z=x2+y2与平面y+z=1的交线在XOY面上的投影曲线方程是 。

x2y2z21的交线是一对相交直线。 8．当k= 时，平面x = k与曲面4949．圆

{xyz25222x3的圆心坐标为 ，半径为 。

二、选择题

１．设球面的方程是x2+y2+z2+Ｄx+Ey+Fz+G=0,若该球面与三个坐标系都相切，则方程 的系数应满足条件 。

２２２

（Ａ）、Ｄ＝Ｅ＝Ｆ＝０ （Ｂ）、Ｄ+Ｅ+Ｆ＝６Ｇ

２２２

（Ｃ）、Ｄ+Ｅ+Ｆ+６Ｇ＝０ （Ｄ）Ｇ＝０

２．XOZ坐标面上的直线x=z-1 绕oz轴旋转而成的圆锥面的方程是 。 （Ａ）x2+y2＝z-1 （Ｂ）z＝x2+y2+１ (Ｃ）(z1)= x2+y2 ( D )(x1)=y2+z2 3．方程x=2在空间表示 。 （Ａ）、ＹＯＺ坐标面。 （Ｂ）、一个点。 （Ｃ）、一条直线。 （Ｄ）、与ＹＯＺ面平行的平面。 4．下列方程中 表示母线平行与oy轴的双曲柱面。

（Ａ） x2－y2＝１ （Ｂ） x2 +z2＝１ （Ｃ） x2+z=1 (D) xz=1 5．方程y2+z2-4x+8=0 表示 。 (A)、单叶双曲面 （B）、双叶双曲面 （C）、锥面 （D）、旋转抛物面

222x2y26．二次曲面Z = 22与平面y = h相截其截痕是空间中的 。

ab （A）、抛物线 （B）、双曲线 （C）、椭圆 （D）、直线

7．双曲抛物面x2-y2=z在XOZ坐标面上的截痕是 。

2222yzxzxy0 （A）、x2=z (B)、 （C）、 （D）、

x0y0z08．曲面x2 + y2 + z2 = a与x2+y2 = 2 a z (a>0) 的交线是 。

（A）、抛物线 （B）、双曲线 （C）、圆周 （D）、椭圆

x2y2z29．旋转双叶双曲面2221的旋转轴是 。

abayz（A）、OX轴 （B）、OY轴 （C）、OZ轴 （D）、直线

x0三、已知两点Ａ（５，４，０）、Ｂ（－４，３，４）。点Ｐ满足条件２PAPB，求点Ｐ的轨迹方程。

四、说明下列旋转曲面是怎样形成的。

１．Ｚ＝２（ x2+y2） 2. 4x2+9y2+9z2=36

x2y2z21与平面x2z30的交线在XOY坐标面上的投五、证明：单叶双曲面1645影曲线是椭圆。并求出该椭圆的中心和长、短半轴的大小。

六、画出下列方程表示的曲面。

x2y2222 １．z ２。16x4yz64 3。Y2=2px (p>0) 44