几何证明常用辅助线

例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD ﹤分析：要证明AD ﹤

1 (AB+AC) 21(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD，也就是证明两条线2段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC>2AD中，出现了2AD，即中线AD应该加倍。 证明：延长AD至E，使DE=AD，连CE，则AE=2AD。 在△ADB和△EDC中，

AD=DE∠ADB=∠EDCA ∴△ADB≌△EDC(SAS) ∴AB=CE

又 在△ACE中， AC+CE＞AE

1∴AC+AB＞2AD，即AD ﹤ (AB+AC)

2BD=DCBEDC小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

课题练习:ABC中，AD是BAC的平分线，且BD=CD，求证AB=AC B

ACD1

例2: 中线一倍辅助线作法

A A

△ABC中 方式1： 延长AD到E，

AD是BC边中线 使DE=AD，

连接BE BCBCD D 方式2：间接倍长

E A A 作CF⊥AD于F， 延长MD到N，

F 作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD， M连接BE 连接CD CBDDCB E N

例3：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围

例4：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且

ADF=EF，求证：BD=CE

D BCF E

2

课堂练习：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长

ABE交AC于F，求证：AF=EF FE

BC D

例5：已知：如图，在ABC中，ABAC，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA交AE于点F，DF=AC.

A求证：AE平分BAC

F

CBED

第 1 题图

课堂练习：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE A

BC

ED

作业：

1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

A

D BCE F

3

2、已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE.

M A D B E T

C

3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC

A于F，求证：AF=EF FE

BC D

4：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE A

BC

ED

5、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

A

D BCE F（二）截长补短法 例1.

已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.

求证：∠BAD+∠BCD=180°.

4

分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.

证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，如图1-2 ∵BD平分∠ABC，∴DE=DF， 在Rt△ADE与Rt△CDF中，

ADDEDF ADCD∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.

B图1-1

CE又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°， 即∠BAD+∠BCD=180°

例2. 如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，

B∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.

例3.已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，

AB+BC=2BD.

求证：∠BAP+∠BCP=180°.

1 2B 例4.已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.

求证：AB=AC+CD.

EAAD图1-2

FDCCB图2-1

APNDC图3-1

A12BDC

图4-1

5

作业：

1、已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.

A

BE

2、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE

ADFCBECD

（三）其它几种常见的形式：

1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。

A例：如图1：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,

求证：BE＋CF＞EF。

NE2314BD图16 FC

2、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全

等三角形。

例：：如图2：AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF

A

E2341DFCBM

图2

练习：已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF＝2AD。 E FA

BCD

图4

3、延长已知边构造三角形：

例如：如图6：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B， 求证：AD＝BC

A

EBO图67

DC

4、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。

例如：如图7：AB∥CD，AD∥BC 求证：AB=CD。

5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条

A13D2C4B图7线段延长。

例如：如图8：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E 。求证：BD＝2CE

6连接已知点，构造全等三角形。

例如：已知：如图9；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。

DA O

CB

图101

九、取线段中点构造全等三有形。

例如：如图10：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。

NA

BM 图10

DC8

9