安徽师范大学附属中学2020-2021学年高二下学期期中理科数学试题

数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知复数z满足iz2i ，其中i是虚数单位，则在复平面内复数z表示的点位于（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

2．已知函数fx的导函数fx，且满足fx2xf(1)2lnx，则f1（ ） A．e

B．2

C．2

D．e

3．若f(x)x22x4lnx，则f(x)0的解集为( ) A．(0,) C．(2,)

B．1,02, D．(1,0)

4．函数fx的导函数fx的图象如图所示，则函数yfx的图象可能是（ ）

A． B．

C． D．

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225．如图4片花瓣由曲线y4x与曲线x4y围成则4片花瓣的面积为（ ）

A．

64 3B．163 3C．

16 3D．

32 36．用数学归纳法证明不等式

111n1n2n3123(n2)的过程中，由nk递2n24推到nk1时，不等式左边（ ） A．增加了一项C．增加了

1

2(k1)B．增加了一项D．增加了

11 2k12(k1)11 ，又减少了

2(k1)k1111 ，又减少了2k12(k1)k17．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在222中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程

11111t(t0)2xx确定出来x2，令

51 2，类似地，t等于（ ） 51 221 2A．B．

21 2C．D．x8．若函数fxea1x1在(0，1)上不单调，则a的取值范围是（ ）

A．2,e1

C．,2e1,

B．2,e1

D．,2e1,

9．设定义在R上的函数fx的导函数为fx，若fxfx2，f02021，则不等式f(x)2A．2018, C．2020,

2019（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ） exB．0, D．,02018,

ax2110．函数y存在极值点，则实数a的取值范围为（ ） xeA．a1 C．a1或a0

2B．a0 D．a1或a0

11．设点P是曲线fxx1lnx上的任意一点，则点P到直线3xy40的距

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离的最小值为（ ） A．10 2B．10 4C．5 3D．5

2x21,x121fx2tfxt0有5个12．已知函数fxlnx，若关于x的方程22,x1x不同的实数根，则实数t的取值范围是（ ） 111A．,

2e2

二、填空题

11111B．,

e22113C．,

2e2113D．,

e2213．(2x1x2)dx=_________

14．某一次学生考试结束后，老师随机询问甲、乙、丙3位同学的考试情况，甲说：“我的成绩比乙好”；乙说：“丙的成绩比我和甲的都好”；丙说“我的成绩比乙好”，丁同学告诉老师只有一个人说了真话，请问：甲、乙、丙3位同学成绩最好的是同学______. 15．已知数列an满足an32n1，nN*，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i行有i个数，iN*），从左至右第i行第j个数记为a(i,j)（i，jN*且ji），则a21,19=___________.

x16．已知函数fxealnx，

① 当a1时，fx有最大值；

② 对于任意的a0，函数fx是0,上的增函数； ③ 对于任意的a0，函数fx一定存在最小值； ④ 对于任意的a0，都有fx0．

其中正确结论的序号是_________．（写出所有正确结论的序号）

三、解答题

17．求下列函数的导数： （1）yx1lnx；

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（2）ysinx﹔ x2（3）yexcos2x

18．已知复数z1m2i，复数z21ni，其中

i是虚数单位，m，n为实数.

（1）若n3﹐z1为纯虚数，求|z1z2|的值； （2）若z1z2，求m，n的值.

3219．已知函数fxxaxbx图象在点0,f0处切线斜率为4，且x2时，

2yfx有极值.

（1）求fx的解析式：

（2）求fx在3,1上的最大值和最小值. 20．已知函数f(x)x3ax2(2a3)x1．

（1）若f(x)的单调递减区间为(1,1)，求实数a的值； （2）若f(x)在区间(1,1)内单调递减，求实数a的取值范围． 21．已知函数f(x)axlnx1． （1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）对任意的x0，不等式f(x)ex恒成立，求实数a的取值范围． 22．已知函数f(x)lnxmx(mR)．

（1）若曲线yf(x)过点P(1,1)，求曲线yf(x)在点P处的切线方程； （2）求函数f(x)在区间1,e上的最大值；

2（3）若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2e．

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参考答案

1．B 【分析】

化简求出z的标准形式，从而求出z的标准形式，得到复数z表示的点所在的象限 【详解】 ∵iz2i, ∴z∴z12i,

由此可得复平面内复数z表示的点在第二象限内. 故选: B 2．C 【分析】

先对函数求导，然后令x1可求出f1的值 【详解】

'由fx2xf(1)2lnx，得fx2f(1)2i2ii12i, ii22， x'令x1，则f12f12，解得f12，

故选：C 3．C 【分析】

由题意，可先求出函数的定义域及函数的导数，再解出不等式f(x)0的解集与函数的定义域取交集，即可选出正确选项． 【详解】

4解：由题，f(x)的定义域为(0,)，f(x)2x2，

x令2x20，整理得x2x20，解得x2或x1， 结合函数的定义域知，f(x)0的解集为(2,)． 故选：C． 4．C 【分析】

根据导函数的图象与函数图象的关系，判断选项.

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4x本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

【详解】

因为fx0，函数fx单调递增，fx0，函数fx单调递减，

所以函数fx的图象从左向右应是先减，再增（增区间的左端点时负数，右端点是正数），再减，再增，满足条件的只有C. 故选：C 5．A 【分析】

根据题意，求得两个函数在第一象限的解析式，求出交点坐标，结合定积分的几何意义和计算公式，即可求解. 【详解】

22根据题意，在第一象限内，曲线y4x与曲线x4y，

x2所以对应的函数分别为y2x和y，

4y24xx0x4联立方程组2，解得或，

y0y4x4yx243134431162则第一象限内花瓣的面积为S(2x)dx(xx)|04243，

04312312364. 因为四个象限内的花瓣的面积是相等的，所以所围成则4片花瓣的面积为为4S34故选：A. 6．D 【分析】

根据题意，分别写出nk和nk1时，不等式的左边的表达式，结合表达式进行分析，即可求解. 【详解】

由题意，当nk时，左边当nk1时，左边111k1k2k31； 2k111， 2k2k12k2111. 所以由nk递推到nk1时，不等式左边增加了，又减少了2k12(k1)k1111k2k3k3故选：D. 7．A

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【分析】

根据已知求222方程即可得到x的值. 【详解】 令

的例子，类比可得，令11111x(x0)，即11x，解x11111x(x0)，即11x，即x2x10， x解得x111515(x舍)， 22111152

故

故选：A 【点睛】

本题考查归纳推理，算术和方程，读懂题中整体代换的方法、理解其解答过程是关键，属于基础题. 8．A 【分析】

求导得f(x)exa1，原问题可转化为f(x)在(0,1)上有变号零点，由于f(x)单调递增，只需满足f0f10，解之即可． 【详解】 解：

f(x)ex(a1)x1，f(x)exa1，

若f(x)在(0,1)上不单调，则f(x)在(0,1)上有变号零点， 又

f(x)单调递增，f0f10，即(1a1)(ea1)0，解得2ae1．

a的取值范围是(2,e+1)．

故选：A． 【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性、零点存在定理，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 9．B

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【分析】

xx构造函数gxefx2e，利用导数求得函数gx的单调性，结合g02019，把不

等式f(x)2【详解】

2019转化为gxg0，即可求解. exxx设函数gxefx2e，

xxxx可得gxefxefx2ee[f(x)f(x)2]，

因为fxfx2，且ex0，

x所以gxe[f(x)f(x)2]0，所以gx在R上单调递增，

又由g0f022019，可得

2019，可得化为exf(x)2ex2019， xe2019即gxg0，可得x0，即不等式f(x)2x的解集为(0,).

e因为不等式f(x)2故选：B. 10．D 【分析】

求导函数，由导函数的零点确定存在极值点的条件. 【详解】

1ax22ax10，x22x yy=，

aex当直线y与二次函数yx22x有两个不同交点时， ax2122yx2xx111， 函数y存在极值点，而ex1所以1，解得a1或a0.

a1a

故选: D 11．A 【分析】

先判断直线与曲线的位置关系，然后求出平行于直线3xy40且与曲线fxx1lnx相切的切点坐标，再利用点到直的距离公式可求得结果.

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【详解】

解：令gxx1lnx3x4x2x5lnx， 则gx2x12x1，易知gxxming150，

所以曲线yfx的图象在直线y3x4的上方．

fx2x1令2x11x0， x113，得x1或x，

2x3441010． 2因为f14，所以点P到直线3xy40的距离的最小值d故选：A 【点睛】

此题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法和导数的几何意义，体现了转化的数学思想，属于基础题. 12．A 【分析】

利用导数求得函数y2lnx1fx2tfxt0，转化为 的单调性与最值，求解2x211f(x)t或f(x)，作出函数的图象，结合图象，列出不等式，即可求解.

22【详解】 设ylnx1lnx，可得y， xx2当x(0,e)时，y0，函数单调递增； 当x(e,)时，y0，函数单调递减，

1所以当xe时，函数取得极大值也是最大值，最大值为ymax，

e211fx由方程22tfxt20可化为[f(x)t2][2f(x)1]0，

11解得f(x)t或f(x)，

22画出函数fx的图象，如图所示，

21fx2tfxt0有5个不同的实数根， 要使得关于x的方程22答案第5页，总14页

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则满足0t11111，解得t，

2e22e111即实数t的取值范围是,.

2e2故选：A

【点睛】

对于方程根的存在性与根的个数的判定及应用，此类问题的解答中通常转化为函数的图象的交点个数，结合函数点图象列出相应的不等式是解答的关键，着重考查数形结合，以及转化思想的应用，属于中档试题. 13．

 2【分析】

把定积分变形后一部分直接求积分，一部分用定积分的几何意义计算． 【详解】

11(2x1x2)dx2xdx111111x2dx，

22其中12xdxx2|111(1)0，

111x2dx表示单位圆上半圆的面积，∴11111x2dx12，

22所以1(2x1x2)dx故答案为：【点睛】

2．

． 2本题考查微积分基本定理，考查定积分的几何意义，有些定积分直接求原函数比较难，利用几何意义反而很简单．象这种函数图象是半圆的函数的定积分用几何意义求解就较方便．

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14．甲 【分析】

逐个分析假设甲、乙、丙说的是真话，根据题意即可判断出结果． 【详解】

假设甲说了真话，说明甲、乙、丙3位同学成绩最好的是甲同学， 假设乙说了真话，此时丙也说了真话，这与题意矛盾， 假设丙说了真话，此时乙也说了真话，这与题意矛盾，

综上所述，只有甲说了真话，甲、乙、丙3位同学成绩最好的是甲同学 故答案为：甲 15．32212 【分析】

由题意可得，第i行有i个数，求出前21行数的个数，从而可求出第21行第19个数 【详解】

由题意可得，第i行有i个数，求出前21行数的个数，则前21行共有

(121)21231个数， 2因为第21行的数的下标是从大到小排列， 所以第21行第19个数为数列中的第213个数，

212所以a21,19a21332.

故答案为：32212 16．② ③ 【分析】

由题意利用导函数研究函数的性质即可. 【详解】

x由函数的解析式可得：f'xea， xx当a1时，f'xe11x，f''xe2， xxf''x单调递增，且f1e10，

据此可知当x1时，f'x0fx单调递增，函数没有最大值，说法①错误；

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当a0时，函数yex,yalnx均为单调递增函数，则函数fx是0,上的增函数，说法②正确；

x当a0时，f'xeaa单调递增，且f'ae10， xxa且当lime0，据此可知存在x00,a， x0x在区间0,x0上，f'x0,fx单调递减； 在区间x0,上，f'x0,fx单调递增； 函数fx在xx0处取得最小值，说法③正确；

x当a1时，fxelnx，

55e5e由于e0,1，故ee1,e，feelnee50，说法④错误；

555综上可得：正确结论的序号是②③. 【点睛】

本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 17．（1）ylnx【分析】

利用求导公式和法则直接求解即可 【详解】

（1）由yx1lnx，得 y'x1lnxx1lnx lnxx11x1lnx， xx''xcosx2sinxx1；（2）y；（3）y'excos2x2exsin2x. 3xx（2）由y'sinx，得 x2'y'sinxx2sinxx2x2'2xcosx2sinx，

x3（3）由yexcos2x，得 y'excos2xexcos2x

'答案第8页，总14页

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excos2x2exsin2x

m018．. （1）26；（2）n1【分析】

（1）由z1为纯虚数，可求出m的值，从而可求出z1z2的值，进而可求出|z1z2|的值；

m1n2（2）由z1(z2)，可得m2i1n2ni，从而得，进而可求出m，n的值

22n22【详解】

（1）因为z1m2i为纯虚数，所以m0. 又n3，所以z12i，z213i， 因此z1z215i

所以|z1z2|12(5)226

（2）因为z1(z2)2﹐所以m2i1ni，

2即m2i1n2ni，

2m1n2 又m，n为实数，所以22nm0. 解得n13219．（1）fxx2x4x；（2）最大值为8，最小值为40. 27【分析】

f(0)b4, （1）先对函数求导，然后利用导数的几何意义可得从而可求出a,bf(2)124ab0,的值，进而可得fx的解析式；

（2）先对函数求导，然后令导数等于零，求出极值点，再求出极值和端点处的函数值，比较可得函数的最值 【详解】

解：（1）由题意可得，f(x)3x22axb．

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f(0)b4,a2, 由解得f(2)124ab0,b4.经检验得x2时，yfx有极大值． 所以f(x)x32x24x．

（2）由（1）知，f(x)3x24x4(x2)(3x2)． 令f(x)0，得x12，x22， 3f(x)，f(x)的值随x的变化情况如下表：

x f(x) f(x) 3 (3,2) 2 22, 32 32,1 3 1 3  0 极大值 8  单调递减 40． 270 极小值 40 27 单调递增 单调递增 函数值 1 由表可知fx在[3,2]上的最大值为8，最小值为20．（1）a0；（2）{a|a0}． 【分析】

（1）根据1和1是方程f(x)0的两个根，求出a0，再验证可得结果； （2）根据f(x)0在(1,1)内恒成立．可解得结果. 【详解】

由题意得f(x)3x22ax2a3(x1)(3x2a3)． （1）∵f(x)的单调递减区间为(1,1)， ∴1和1是方程f(x)0的两个根， ∴

32a1，∴a0． 3当a0时，f(x)(x1)(3x3)，由f(x)0得1x1，所以f(x)的单调递减区间为(1,1)，符合题意， 所以a0.

答案第10页，总14页

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（2）∵f(x)在区间(1,1)内单调递减，∴f(x)0在(1,1)内恒成立． 又二次函数yf(x)的图象开口向上，方程f(x)0的一根为1， ∴

32a1，∴a0． 3∴实数a的取值范围是{a|a0}． 【点睛】

关键点点睛：理解f(x)的单调递减区间为(1,1)与f(x)在区间(1,1)内单调递减的区别是解题关键.

21．（1）答案见解析；（2）aae1． 【分析】

（1）分类讨论a0，a0两种情况，利用导数得出函数f(x)的单调性；

exlnx1exlnx1（2）分类参数得出a在(0,)恒成立，利用导数得出g(x)的最小

xx值，即可得出实数a的取值范围． 【详解】

（1）定义域为(0,)，f(x)a1ax1 xx①若a0，则f(x)0，f(x)在(0,)单调递增 1ax②若a0，则a

f(x)x11f(x)00x，f(x)0x

aa11f(x)在0,单调递增，,单调递减

aa11综上知①a0，f(x)在(0,)单调递增，②a0，f(x)在0,单调递增，,单

aa调递减

exlnx1（2）不等式axlnx1e恒成立，等价于a在(0,)恒成立

xxexlnx1(x1)exlnx 令g(x)，x0，则g(x)xx21x令h(x)(x1)exlnx，x0，h(x)xe0．

x所以yh(x)在(0,)单调递增，而h(1)0

所以x(0,1)时，h(x)0，即g(x)0，yg(x)单调递减；

答案第11页，总14页

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x(1,)时，h(x)0，即g(x)0，yg(x)单调递增

所以在x1处yg(x)取得最小值g(1)e1，所以a≤e1 即实数a的取值范围是aae1 【点睛】

本题主要考查了利用导数求函数的单调性以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题.

111－me；②当试题分析：（1）因为点P(1,1)在曲线yf(x)上，所以m1，解得m1，利用导数求得斜率为0，故切线为y1；（2）f'(x)11mxm，将m分成xx11m0,0m,m1,m1四类，讨论函数的单调区间进而求得最大值；（3）不妨设

eex1x20，因为f(x1)f(x2)0，所以lnx1mx10，

2，要证明x1x2e，

即证明lnx12(x1x2)x12(t1)2(t1)，令t，即证lnt，令g(t)lnt（t1），利用x2x1x2x2t1t1导数求得gt的最小值大于零即可. 试题解析：

（1）因为点P(1,1)在曲线yf(x)上，所以m1，解得m1． 因为f'(x)110，所以切线的斜率为0， x所以切线方程为y1． （2）因为f'(x)11mxm， xx①当m0时，x(1,e)，f'(x)0，

所以函数f(x)在(1,e)上单调递增，则f(x)maxf(e)1me； ②当

11e，即0m时，x(1,e)，f'(x)0， me所以函数f(x)在(1,e)上单调递增，则f(x)maxf(e)1me； ③当111e，即m1时， me答案第12页，总14页

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函数f(x)在(1,

11)上单调递增，在(,e)上单调递减， mm1则f(x)maxf()lnm1；

m④当011，即m1时，x(1,e)，f'(x)0， m函数f(x)在(1,e)上单调递减，则f(x)maxf(1)m． 综上，当m1时，f(x)max1me； e1当m1时，f(x)maxlnm1； e当m1时，f(x)maxm． （3）不妨设x1x20， 因为f(x1)f(x2)0， 所以lnx1mx10，

，

可得lnx1lnx2m(x1x2)，lnx1lnx2m(x1x2)，

2要证明x1x2e，即证明lnx1lnx22，也就是m(x1x2)2，

因为mlnx1lnx2，

x1x2lnx1lnx22，

x1x2x1x2所以即证明即ln令

x12(x1x2)， x2x1x2x11，则t1，于是lnt2(t1)， x2t1令f(t)lnt2(t1)（t1）， t114(t1)20， 则f'(t)t(t1)2t(t1)2故函数f(t)在(1,)上是增函数， 所以f(t)f(1)0，即lnt考点：导数与切线、最值.

【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题，考查导数与极值、最值的问题，考查构造函数法证明不等式的方法.第一问涉及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，涉及切

2(t1)成立，所以原不等式成立． t1答案第13页，总14页

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线问题利用导数和斜率的对应关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值，需要对m进行分类讨论，分类的依据是导数的零点是否在定义域内.第三问要证明不等式，先将其转化为同一个参数t，然后利用导数求其最小值来求.

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