山东省春季高考数学模拟试题及答案

2019.11.6

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01．

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项选出)

1、已知全集U＝{a, b, c}，集合 A＝{a}，集合B＝{a, b}，则∁CU(A∪B) ＝( ) A. {a, b, c} B. {c} C. {a} D. {b}

2、在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝15，那么a2＋a9的值是( ) A. 5 B. 10 C. 15 D. 20

3、下列关于对数函数y＝logax的性质叙述正确的是( ) A. 对数函数的定义域为R B. 对数函数值域为(0，＋∞)

C. 当a＞1时，对数函数是增函数 D. 当0＜a＜1时，对数函数是增函数 4、已知角α的终边与单位圆的交点为P，则点P的坐标为( ) A. (－cosα，－sinα) B. (sinα， cosα) C. (cosα， sinα) D. (sinα，－cosα)

5、如果圆的圆心在坐标原点，直径为2，则圆的方程是( ) A. x2＋(y－1)2＝4 B. x2＋y2＝2 C. x2＋y2＝1 D. x2＋y2＝4

6、与同一条直线所成的角相等的两个平面的位置关系是 ( ) A. 平行 B. 相交 C. 相交或平行 D. 垂直

7、把2封信投到3个不同的邮箱，共有__________种投法．( ) A. 9 B. 6 C. 8 D. 16 8、已知下列样本数据

23 28 21 22 29 26 28

则该样本数据的极差为( ) A. 5 B. 4 C. 7 D. 8

9、已知a, b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

10、已知角α的终边经过点P(4t，－3t)(其中t＞0)，则sinα等于( )

4343 A. B. C. － D. － 5555

11、如果向量a＝(－1, x)与向量b＝(－x, 2)平行且方向相同，则x的值为( ) A. －2 B. 2 C. 3 D. －2

12、已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，则f(x)是( )

π

A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为的奇函数

2π

C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为的偶函数

2

13、已知y＝f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则当x＜0时，f(x)的表达式为( ) A. －x(1－x) B. x(1－x) C. －x(1＋x) D. x(1＋x)

14、如果{an}是等比数列，且an＞0, a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值是( ) A. 1 B. 5 C. 10 D. 15

15、某运动会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( )

A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种

16、抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则P点的坐标是( ) A. (3, 26) B. (－3，－26)

C. (3, 26)或(－3, 26) D. (3, 26)或(3，－26) 17、给定下列四个命题：

① 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ② 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③ 垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④ 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 ( )

A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④

11

18、若ax2＋5x＋c＞0 的解集为x|3＜x＜2，则a和c的值为( )



A. a＝6, c＝1 B. a＝6, c＝－1 C. a＝－6, c＝1 D. a＝－6, c＝－1

19、若非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b所成角的大小为( ) A. 0° B. 60° C. 90° D. 120° 20、函数y＝lg |x|是( )

A. 偶函数，在区间 (－∞， 0) 上单调递增 B. 偶函数，在区间 (－∞， 0) 上单调递减 C. 奇函数，在区间 (0，＋∞) 上单调递增 D. 奇函数，在区间 (0，＋∞) 上单调递减

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

21、在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是__________(结果用分数表示)．

xx

22、已知sin＋cos＝2，则sinx＝__________.

22

23、设{an}是公差为－2的等差数列，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，则a3＋a6＋…＋a99

的值等于______________．

x2y2

24、双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2 (r＞0)相切，则r＝________.

63

25、 如图，在半径为3的球面上有A、 B、 C三点， ∠ABC＝90°， BA＝BC，球

32

心O到平面ABC的距离是，则B、 C两点的距离是________．

2

三、解答题(本大题共5小题，共45分)

26、已知二次函数f(x)的图象如图所示．

第26题图

(1) 求f(x)的解析式； (2) 讨论f(x)的单调性．

27、设向量a＝(4cosα， sinα), b＝(sinβ， 4cosβ), c＝(cosβ， －4sinβ)， (1) 若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值； (2) 求|b＋c|的最大值．

28、长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，二面角C1BDC的大小为60°，求异面直线BC1与AC夹角的余弦值．

29、某工厂三年的生产计划是从第二年起，每一年比上一年增长的产值相同，三年的总产值为300万元，如果三年分别比原计划的产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分率相同．求原计划各年的产值．

2330、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为，且焦点到渐近线的距离为31.

(1) 求双曲线C的方程；

(2) 过点M(2, 1)作直线l交双曲线于A、B两点，且M恰为AB的中点，问这样的直线是否存在？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

山东省春季高考数学模拟试题 答案

一、选择题

1、B 分析： A∪B＝{a, b }．

2、C 分析： 在等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq，所以a3＋a8

＝a2＋a9.

3、C 分析 ：本题考察对数函数的性质，对数函数的定义域为(0，＋∞)，值域为R，当a＞1时，对数函数是增函数，当0＜a＜1时，对数函数是减函数．

4、 C 5、D 6、C

7、A 分析： 分步计数原理．

8、 D 分析： 极差是样本数据的最大值与最小值的差．

9、C 分析 ：对于“a＞0且b＞0”可以推出“a＋b＞0且ab＞0”， 反之也是成立的， 故选C.

10、D 分析： 利用三角函数的定义求解． 11、B 分析： 注意a与b方向相同．

1

12、D 分析： f(x)＝(1＋cos2x)sin2x＝(1＋2cos2x－1)sin2x＝2cos2xsin2x＝sin22x.

2

13、 B 分析： 设x＜0, 则－x＞0, ∴ f(－x)＝－x(1－x), 又∵ f(x)为奇函数， ∴ f(－x)＝－f(x), ∴ －f(x)＝－x(1－x), ∴ f(x)＝x(1－x)．

2222

14、B 分析： a2a4＝a23， a4a6＝a5， a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a3＋2a3a5＋a5＝(a3＋a5)＝25 ∵ an＞0, ∴ a3＋a5＝5, 故选B.

13

15、A 分析： 分两类： 若小张或小赵入选， 则有选法C12C2A3 ＝24；若小张、小

2

赵都入选， 则有选法A22A3 ＝12, 共有选法36种， 选A.

16、D 分析： 由抛物线的方程可知，其焦点坐标为(2, 0)，准线方程x＝－2，点P到焦点的距离为5，所以到准线的距离也是5，所以P点横坐标为3.

17、D 分析： ① 错， ② 正确， ③ 错， ④ 正确．故选D.

11

18、 D 分析： 由题意知： 与是方程ax2＋5x＋c＝0的两个根， 由一元二次方程

32

的根与系数的关系可求得： a＝－6, c＝－1.

19、C 分析： ∵ |a＋b|2＝|a－b|2， ∴ |a|2＋2ab＋|b|2＝|a|2－2ab＋|b|2 ∴ ab＝0, ∴ a, b＝90°.

20、B 分析： 由y＝lg |x|是偶函数，排除C与D；而函数y＝lg |x|在(0，＋∞)上单调递增，故该函数在 (－∞， 0) 上单调递减．

二、 填空题

14C2148

21、 分析： P＝ 2＝.

33 C1233

xx

sin＋cos2＝(2)2 22、1 分析： 22

xxxxsin2＋2sincos＋cos2＝2 22221＋sinx＝2 sinx＝1.

23、－82 分析： a3＋a6＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)＝50＋33×2d＝－82.

24、3 分析： 本题考查双曲线性质及圆的切线知识， 由圆心到渐近线的距离等于r, 可求r＝3.

25、 3 分析： ∵ AC是小圆的直径．所以过球心O作小圆的垂线， 垂足O′ 是AC的中点．O′C＝

三 解答题

3＝4a－2b＋2

26、解： (1) 由题中图象可以设f(x)＝ax2＋bx＋2 则有： ，解得： b

－2＝－2a11

a＝－， b＝－1 ∴ f(x)＝－x2－x＋2. (2) 当x∈(－∞， －2]时， f(x)是增函数． 当

44

x∈[－2, ＋∞)时， f(x)是减函数．

27、解： (1) 由a与b－2c垂直， a· (b－2c)＝ab－2ac＝0，即4sin(α＋β )－8cos(α＋β )＝0, tan(α＋β)＝2. (2) 因为b＋c＝(sinβ＋cosβ， 4cosβ－

4sinβ ), 所以|b＋c|2＝ sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β 最大值为32, 所以|b＋c|的最大值为42. 28、解： 设BD交AC于点O，∠COC1是二面角C1BDC的平面角，所以∠COC1=60

6

设AB、AD长为1，在△COC1中求得CC1＝. 连结AD1，则∠CAD1是异面直线BC1与

2

105

AC的夹角． 在△CAD1中，AC＝2，D1C＝AD1＝，由余弦定理得，cos∠CAD1＝.

25

29、解： 原计划各年产值为等差数列， 设为a－d, a, a＋d, 由a－d＋a＋a＋d＝300, 得a＝100, 现各年产值110－d, 110, 111＋d为等比数列， 由1102＝(110－d)·(111＋d)易求得d＝10，d＝－11(舍去)．故原计划各年产值分别为90万元， 100万元， 110万元．

x2y2b

30、解： (1) 设双曲线方程为2－2＝1, 其渐近线方程为y＝±x, 即不妨设一焦点为

aba

(c, 0)

3－

2

32232

＝2， AC＝32， ∴ BC＝3. 2



根据题意， 有： |bc|＝1

a＋ba＋b＝c

222

2

2

c23＝a3

a2＝3

解得： 2

b＝1

x22

∴ 双曲线方程为－y＝1. (2) 这样的直线不存在． 假设若存在直线l与曲线C交

3

x21－y21＝13

于A、B且M(2, 1)是A(x1, y1)，B(x2, y2)的中点． ∵ A、B在双曲线上， 有：

x22－y22＝13

22

得l的斜率k＝，∴ l的方程为y－1＝(x－2), 即： 2x－3y－1＝0，联立l与双曲线的方

33

2

程， 消去y得： x－4x＋10＝0 Δ＝－24＜0，∴ l与双曲线无交点， 与题设矛盾．

因此这样的直线不存在

