2019届广西桂林市,贺州市,崇左市高三下学期3月联合调研考试数学(理)试题及答案

联合调研考试数学（理）试题

一、单选题 1．设集合A．

B．

为全集，集合 C．

，则

D．

（ ）

【答案】B

【】利用指数函数的性质化简集合，再由补集的定义求解即可. 因为集合所以【】

研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合. 2．已知复数A．1 B．【答案】A 【】将 因为复数所以

，

，

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,全集,故选B.

,

，则 C．

（ ） D．13

代入，利用复数的乘除运算法则化简，再求复数的模即可.

所以【】

，故选A.

复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

3．以双曲线A．【答案】B

右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（ ） B．

C．

D．

【】由双曲线方程可求右焦点坐标即圆心坐标，再利用圆心到渐近线距离求得半径长，从而可得出圆的方程.

由已知，双曲线右焦点在轴上为渐近线方程

中，，故圆心

，

，

，又圆与渐近线相切，

，

圆心到渐近线距离为半径长所求圆的方程为【】

，故选B.

本题主要考查双曲线的方程与简单性质，以及直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答. 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）

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A．10 B．13 C．【答案】D

D．

【】由三视图可知，该几何体为以俯视图为底面（底边分别为1与2，高为2的直角梯形），高为2的直四棱柱,求出底面积与侧面积即可得结果.

由三视图可知，该几何体为以俯视图为底面（底边分别为1与2，高为2的直角梯形），高为2的直四棱柱，该棱柱的底面积是所以该几何体的表面积为【】

本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 5．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：）数据，绘制如下拆线图：

，故选D.

，侧面积为

，

那么，下列叙述错误的是（ ）

A．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关

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B．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大 C．全年中各月最低气温平均值不高于

的月份有5个

D．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势 【答案】D

【】根据正相关的定义判断；分别观察最髙气温平均值与最低气温平均值的差值判断；列举出全年中各月最低气温平均值不高于势判断.

由2018年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：）数据，绘制出的折线图，知：

在中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故正确 ；在中，由图可知全年中，2月的最髙气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故正确；在中，全年中各月最低气温平均值不高于

的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故

的月份可判断；根据7月至8月呈上升趋

正确；在中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值中，7月至8月呈上升趋势,故错误，故选D . 【】

本题考查命题真假的判断,考查折线图等基础知识，意在考查考查数形结合思想的应用以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题. 6．

的展开式中的一次项系数是( )

A．-20 B．14 C．20 D．35 【答案】C 【】

的展开式的通项公式为

，令

，解得

；令

,无解，从而可

得出结果.

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的展开式的通项公式为令

，解得

；令

,无解，

，

的展开式中的常数项为,无一次项，

的展开式中的一次项系数为20 ,故选C.

【】

本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.

7．已知等比数列的前项和，则（ ）

A． B．3 C．6 D．9 【答案】D

【】时，可得,,,由求出

的值，从而可得与的值，进而可得结果. 因为

，所以

时，

,

，

，

两式相减，可得

,

因为所以

,

是等比数列，

，

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所以

所以【】

，

，故选D.

本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式

，将所给条件化为关于前项

和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意8．函数A．

的大致图像为（ ） B．

的情况.

C．【答案】A

D．

【】此题主要利用排除法，当选项B，故可得答案. 当当

时，时，

，，

，∴，∴

时，可得，故可排除C，D，当时，可排除

，故可排除C，D选项； ，故可排除B选项，

故选A. 【】

本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已

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知函数式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括9．已知定义在上的奇函数

，则实数

（ ）

满足

，且当

等. 时，

，若

A． B． C． D． 【答案】C

【】根据题意，分析可得函数的周期为4 ，进而可得则有

根据定义在上的奇函数可得函数则有故若又由函数则有又由当则有【】

本题考查函数的周期性与奇偶性的应用,注意分析函数的周期，属于基础题.周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数

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,据此可得,

,结合函数的奇偶性性可得,利用函数的解柝式可得结果.

满足，

，

滿足

，即函数的周期为4,

, ,则有为奇函数,

，变形可得时，

，解可得

， ， ，故选C. ,

值的自变量转化到已知式的函数定义域内求解. 10．已知函数，若

，且

，则函数

取得最大值时的可能

值为（ ）

A． B． C． D． 【答案】A 【】由

，可得函数

关于

对称，可推出

，结合

，利用正弦函数的性质可得结果.

，满足

，

所以函数

关于

对称，

根据正弦函数的性质可知， 当

时，函数求得最值，

， ， ， ，

则为偶数时满足题意，

， 取最大值时，

，

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可得

，即的可能值为，故选A.

【】

本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.对于函数得对称轴方程；由

可得对称中心横坐标.

由

可

11．2018年9月24日，英国数学家M.F阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列的和A．

B．

，那么下列结论正确的是（ ） C．

D．

的各项

【答案】C

【】由时，，由裂项相消求和以及不等式的性质可得,排除，再由

前3项的和排除，，从而可得到结论. 由可得

时，

，可得

,排除，

时，

，

，

由【】

，可排除,故选C.

本题主要考查裂项相消法求数列的和，以及放缩法和排除法的应用,属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的

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重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.

12．已知积为（ ） A．

为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，若，则的面

B． C． D．

【答案】C 【】设直线可得的值，可得 设直线

，与椭圆方程联立可得

，

设代入

，则

得

, ， ，

，

，

，与椭圆方程联立，设，的面积，由

，由向量的坐标计算公式以及韦达定理

,表示出

，将其代入椭圆的方程，可得 计算可得结果.

于是 ，

,故选C.

【】

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本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，属于综合题. 涉及直线与椭圆的位置关系的问题常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．

二、填空题 13．已知【答案】3

，

，

，则向量

在方向上的投影为__________．

【】先求出 因为所以向量【】

，

，

的值，再由可得结果.

， ,

在方向上的投影为,故答案为3.

本题主要考查向量的投影及平面向量数量积的运算，属于中档题.平面向量数量积主要应

用以下几个方面:(1)求向量的夹角， 影， 在 上的投影是

；（3）向量垂直则

（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投;(4)求向量

的模（平方后需求

）.

14．某校今年计划招聘女教师人，男教师人，若、满足聘的教师人数最大值为__________． 【答案】10

则该学校今年计划招

【】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.

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设作出不等式组对应的平面区域如图：

由得， ,

经过点时，

平移直线

甶图象可知当直线直线

的截距最大，

此时最大，但此时最大值取不到， 由图象当直线经过整点代入目标函数即目标函数【】

本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15．在三棱锥

中，

，

，

，

，则三棱锥

外接球的体积的

得

时，

，

取得最大值，

的最大值为10 ，故答案为10.

最小值为______． 【答案】

【】：先将三棱锥还原到长方体中，根据题意建立长方体的体对角线与的函数关系式，

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求解体对角线的最小值，由此得出外接球的体积的最小值。

：如图所示，三棱锥角线，设为最小，小值为

。

的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对

,

,所以

。由题意，体积的最小值即，所以半径为，故体积的最

，那么

，所以当

时，的最小值为

【】

：根据题意把三棱锥还原到长方体是解决三棱锥外接球问题的常见解法，不同题目背景，还原方法不一样，但三棱锥的四个顶点一定是长方体的顶点。 16．已知函数取值范围是_______． 【答案】【】

有三个不同的零点，转化为

有三个根，等价于

的图象有三

，函数

有三个不同的零点，，，则

的

个交点，作出的图象，数形结合求出的范围，将表示为的关系式，构造

函数求出函数的导数，利用导数研究单调性，可求取值范围.

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则当若函数即 作出

时，抛物线的对称轴为

有三个不同的零点

， ，不妨设

，

有三个不同的根， 的图象有三个交点， 的图象，

,即，即

,

，

由图可知，当则当则设则导数则当

时, 时，， 时，由

，

,得 ,即，

，

, 恒成立，

即此时函数则即即【】

，

为减函数， ，即，

，

的取值范围是，故答案为.

本题主要考查函数的零点、函数与方程的应用，以及数形结合思想的应用，属于难题.函数零点的几种等价形式：函数

的根函数

三、解答题 17．在

中，

分别是角

所对的边，已知

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的零点函数的交点.

在轴的交点方程

与

，且满足.

（1）求角和边的大小； （2）求

面积的最大值.

，

；（2）

【答案】（1）

【】（1）根据同角的三角函数的关系切化弦，利用诱导公式和两角和的正弦公式可得

，从而可得

，进而可得角的值，再根据正弦定理即可求出的值；（2）根

据余弦定理和基本不等式求得，再利用三角形面积公式即可求出面积的最大值.

（1）∵，∴， 即，∴

, ∵，∴，∴,

∵，∴，∴, ∵，∴

,∵

，∴，∴,

∴

综上可知：

，

.

（2）由（1）知

，

，由余弦定理得：

，∴

（当且仅当

时取等号）

即（当且仅当时，等号成立）

∴

的面积

.（当且仅当

时，等号成立）

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∴【】

的面积的最大值为.

以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.

18．每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南某地区2009～2018年10年间梅雨季节的降雨量（单位：用样本频率估计总体概率，解答下列问题：

）的频率分布直方图，试

（1）假设每年的梅雨季节天气相互，求该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350

的概率；

（2）老李在该地区承包了20亩土地种植杨梅，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为28万元.而乙品种杨梅的亩产量（/亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为

（元/），请你帮助老李分析，他来年应该种

植哪个品种的杨梅可以使总利润（万元）的期望更大？并说明理由. 降雨量 亩产量

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500 700 600 400 【答案】（1） ；（2）乙品种杨梅的总利润较大.

【】（1）由频率分布直方图中矩形面积和为1，计算第四组的频率，在求出第三组矩形面积的一半，求和即可求出对应的概率值，再利用重复试验概率公式可得结果；（2）根据直方图求随机变量的概率，可得随机变量的分布列，求出乙品种杨梅的总利润的数学期望，与过去种植的甲品种杨梅平均每年的总利润为28万元比较得出结论和建议.

（1）频率分布直方图中第四组的频率为该地区在梅雨季节的降雨量超过

的概率为

的概率为

所以该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过

（或

（2）据题意，总利润为

.） 元，其中

.

所以随机变量（万元）的分布列如下表：

故总利润（万元）的期望

因为【】

本题主要考查频率分布直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求

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27 0.2 35 0.4 31.2 0.3 22.4 0.1 （万元）

，所以老李应该种植乙品种杨梅可使总利润（万元）的期望更大.

和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数. 19．已知三棱柱

中，

，

，

，

.

（1）求证：平面（2）若的值.

平面；

和平面

所成角的余弦值为，求

，为线段上一点，且平面

【答案】（1）见；（2）3 【】（1）连接

，结合

，由菱形的性质可得

，结合

，可得平面

平面

,由此可得

，利用线面垂直的判定定理可得，从而可得结论；（2）

以点为原点，，所在直线分别为轴，轴，平面建立空间直角坐标系，设点的坐标为平面

的法向量，结合平面

上过点垂直于的直线为轴，

.利用向量垂直数量积为零，列方程求出

，利用空间向量夹角余弦公式

的一个法向量为

列求出的值，从而可得结果.

（1）连接又∵∴

平面

，由题意知，

∴平面

∴

平面平面

，∴四边形,则.

上过点垂直于的

∵

是菱形，∴

∴

又∵

（2）如图，以点为原点，，所在直线分别为轴，轴，平面直线为轴，建立空间直角坐标系，设点的坐标为∵设平面

，

，∴

，，

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.

的法向量为

则即：

是平面

令，得，.

的一个法向量为

.

的一个法向量.易知，平面

∴

∴的坐标为

，解得，或（舍去）.

.

，为上靠近点的四等分点，故

【】

本题主要考查面面垂直的证明以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 20．已知抛物线且

.

，过点

的直线交抛物线于、两点，设为坐标原点，

，

（1）求的值； （2）若

，

，

的面积成等比数列，求直线的方程.

或

【答案】（1）；（2）

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【】（1）利用 ，从而可得结果；（2）由（1）知，由

点为抛物线的焦点，可设直线的方程为

.

定理可得

，，成等比数列，可得，即.利用韦达

，解方程即可得结果.

（1）据题直线，斜率均存在，且，.

（2）由（1）知点

.故

为抛物线的焦点，

.

据题意，直线的斜率存在且不为0，故可设直线的方程为由

.

.

设，，则有

，.

，

，

若，，的面积成等比数列，则，成等比数列

∴∴∴解得，

，即：

.

，则

或

，均满足

.

.

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故直线的方程为【】

或.

本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．

21．已知函数（1）求

的极值；

在

.

（2）若关于的不等式上的解集非空，求实数的取值范围.

【答案】（1）见；（2）【】（1）求出

时与

在

时

，当

时，

在

上无极值. 当

时，分别判断当，则不等式，使

.

的符号，从而可得结果；（2）设

在

上的解集非空存在

上的解集非空不等式

讨论的范围，分别利用导数求出

（1）函数当所以当∴当当当

的定义域为

，上无极值.

，当在

时，

上有极小值上无极值； 上有极小值

，.在

，即可筛选出符合题意的的范围.

.

上单调递增，

时，即在时，即

时，时，时，

在在

，当时，，

，无极大值.

，无极大值.

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（2）设不等式存在由（1）知①当∴②当∴③当则∴

，

∵所以∴

在，∴在

时，即时，即时，即在

，则

上的解集非空不等式

. .

，当，即，当，即

时，. 时，. ，当

时，单调递增.

，

；当

时，

；

，

在

单调递增

，

在

单调递减

在

上的解集非空

，使

上单调递减，在

，令 ，∴

，

，∴

不恒成立，故不存在，使.

综上可得，实数的取值范围为【】

本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，

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包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.

22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为

（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建

.

立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程； （2）已知点

，直线与曲线交于

两点，且

，求的值.

【答案】（1）；（2）

，利用

可得曲线的直角坐标

【】（1）由曲线的极坐标方程得

方程；（2）由直线的参数方程化为普通方程得

，再求得直线的参数方程为

（为参数），代入

线参数方程的几何意义可得结果.

（1）由曲线的极坐标方程得∵

，整理得，利用韦达定理以及直

.

∴曲线的直角坐标方程为（2）由直线的参数方程为∵在直线上

.

（为参数），化为普通方程得

.

∴直线的参数方程可设为（为参数），代入

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，整理得

，设两点对应的参数分别为，，则，

∵故的值为【】

，∴.

，∴.

本题考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的几何意义，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将23．选修4-5：不等式选讲 设函数（1）若（2）若

，

，求

. 的解集；

的最大值. ；（2）

和

换成和即可.

的最小值为8，求

【答案】（1）

【】（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果 ；（2）由绝对值三角不等式可得等式可得结果.

（1）因为当当

时，时，

，

，所以，∴；

.

，

，再根据柯西不

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当时，，∴

.

.

综上所述：（2）∵

又根据柯西不等式知

，

（当且仅当

故【】

绝对值不等式的常见解法：

的最大值为

.

时取等号），

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

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