1 希尔伯特变换的定义
1 卷积积分
设实值函数,其中，它的希尔伯特变换为
， (1
常记为
(2
由于是函数与的卷积积分，故可写成
=* (3
2 相位
设和
，根据(3式和傅里叶变换性质可知，是的傅里叶变换
的傅里叶变换的乘积。由
(4
得
可表达为
或者
所以是一个相移系统，即希尔伯特变换等效于的相移，对正频率产生的相
移，对负频率产生相移，或者说，在时域信号中每一频率成分移位波长。因此，希尔伯特变换又称为90度移相器。
3 解析信号的虚部
为进一步理解希尔伯特变换的意义，引入解析函数:
也可以写成
其中，称为希尔伯特变换的包络；称为瞬时响应信号。希尔伯特变换包络定义为
相位定义为
瞬时频率定义为
根据傅里叶变换式
(5
(6
(7
(8
(9
为计算，由知
(11
其中
因此，可以简单地从得到，而的虚部即。2. 希尔伯特变换的性质
1 线性性质
(10
若a,b为任意常数，且，，则有
(12
2 移位性质
(13
3 希尔伯特变换的希尔伯特变换
(14
此性质表明，两重希尔伯特变换的结果仅使原函数加一负号，由此可以进一步得到
(15
4 逆希尔伯特变换
(16
为与的卷积，可表示为
其中，。
5 奇偶特性
如果原函数是的偶（奇），则其希尔伯特变换6 能量守恒
根据帕塞瓦尔定理可知
和
因而有
(17
就是的奇（偶）函数，即
(18
(19
7 正交性质
(20
8 调制性质
对任意函数，其傅里叶变换是带限的，即
则有
(21
9 卷积性质
(22
另外，希尔伯特变换具有周期性和同域性，即希尔伯特变换不改变原函数的周期性，也不改变域表示，而不像傅里叶变换那样，把时间函数（信号）从时域表示换成频域表
示。
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