2020年新高考数列专题复习

一、数列知识的梳理

1.等差数列的通项公式和前n项和公式

如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是：

ana1(n1)ddn(a1d)

如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的前n项和公式是：

Sn2.等差数列的性质

(a1an)nn(n1)dd2dna1n(a1)n 2222(n,mN*).

(1)通项公式的推广：anam(nm)d(2)若an为等差数列，且klmn(k,l,m,nN*)，则akalaman.

(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d. (4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列. (5)若an是等差数列，公差为d，则ak,akm,ak2m差数列.

(6)数列Sm,S2mm,S3m2m,构成等差数列.

3.等比数列的通项公式和前n项和公式

如果等比数列an的首项为a1，公比为q，那么它的通项公式是：

(k,mN*)，是公差为md的等

ana1qn1(q0)

如果等比数列an的首项为a1，公比为q，那么它的前n项和公式是：

na1Sna1(1qn)a1anq1q1q

4.等比数列的性质

nm(1)通项公式的推广：anamqq1;q1.

(n,mN*).

(2)若an为等比数列，且klmn(k,l,m,nN*)，则akalaman.

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(3)若an，bn（项数相同）是等比数列，则an(0),{等比数列.

an1},a2,ab,{}仍是nnnanbn(4)公比不为-1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn,S2nn,S3n2n,仍成等比数列，其公比为q.

nSnAqnB(5)若an是公比不为1的等比数列，

二、数列通项的几种求法 1.累加法：

数列的基本形式为：an1anf(n)(AB0,且A0,q0,q1).

(nN*).

等式左边(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)(ana1) 等式左边f(n1)f(n2)f(2)f(1) 所以：anf(n1)f(n2)f(2)f(1)a1.

例1 已知an的首项a11,an1an2n,

2.累乘法：

(nN*)，求an的通项公式.

an1f(n)(nN*). 数列的基本形式为：an等式左边anan1aaa32n an1an2a2a1a1等式左边f(n1)f(n2)f(2)f(1) 所以：an[f(n1)f(n2)f(2)f(1)]a1. 例2 已知an的首项a12,an1

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nan,(nN*)，求an的通项公式. n22.公式法：

若Sn为数列an的前n项和，即：Sna1a2a3an，则

n1;S1an

SSn2.n1n

例3 数列an中，Sn是前n项和，若a12,an1

4.待定系数法：

数列an有形如an1kanb(k1)的关系时，可用待定系数法求得ant为等比数列，进而求得an.

即：an1tk(ant)

展开可得：an1kan(k1)t，其中t

例4 已知数列an满足关系，an13an2且a11，求an的通项公式.

5.倒数法：

数列an有形如an1(ank)an的关系时，可先用倒数法，再用待定系数法求an. 即：an1ankan1an 两边同时除以an1an，可得：11Sn,(n2)，求an的通项公式. 3b. k1k1 anan1将

1看成一个整体运用待定系数法，从而得出an. an第 3 页 共 7 页

例5 已知数列an满足关系，an1 课堂练习：

an*且a12(nN)，求an的通项公式. an31.已知等差数列an中，a1028,S651，求数列an的通项公式.

2.已知数列an满足，a11,an1an2n1，求数列an的通项公式.

3.已知数列an满足，a11,

4.已知数列an的前n项和Sn满足，Sn

5.已知数列an满足，a11,an12an1，求数列an的通项公式.

6.已知数列an满足，a11,an1

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an12n，求数列an的通项公式. an1(an1)2且an0，求数列an的通项公式. 42an，求数列an的通项公式. an2三、数列前n项和的求法： 1.裂项相消法：

一般地，若是公差为d的等差数列，则有：

1111()

a1·a2·a3an(n1)da1·a2·a3an1a2·a3·a4an

特殊的裂项公式： （1）an（2）an（3）an

例6 已知数列an是递增的等比数列，且a1a49,a2a38.

⑴求数列an的通项公式； ⑵设Sn为数列an的前n项和，bn

*例7 已知数列an满足a11,an1ann1(nN)，求数列{111；

n(n1)nn11111()；

(2n1)(2n1)22n12n11nn1n1n.

an1求数列bn的前前n项和Tn.

SnSn11}的前10项和. an

2.错位相减法：

一般地，若数列an是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的等比数列，若cnanbn，则数列cn的前n项和Sn：

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Sna1b1a2b2a3b3a4b4anbn…………………………① qSna1b2a2b3a3b4a4b5anbn1………………………②

①—②得：

(1q)Sna1b1d(b2b3b4bn)anbn1

若q1时，Sna1b1anbn1bb1d2n

1q(1q)2若q1时，Snb1

(a1an)n.

2122an1（1）an.

n例8 已知数列an满足a12,⑴求数列an的通项公式； ⑵令bnan1

课堂练习：

1an，求数列bn的前n项和Sn. 21. 已知等比数列an中，a12,a416.

⑴求数列an的通项公式； ⑵令bn

2. 已知等比数列an中，a11,nan1(n1)ann(n1),⑴证明：求数列n1log2anlog2an1nN*，求数列bn的前n项和Sn.

nN*.

an是等差数列； n⑵设bn3an，求数列bn的前n项和Sn.

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四、等差、等比数列的综合应用

，bn满足a1b16,a2b24,a3b33，且数列例9 已知数列anan1an（nN*)是等差数列，bn2是等比数列，求数列an和bn的通项公式.

五、课堂小结： 1.数列知识梳理： ①等差数列；

②等比数列的通项公式； ③前n项和公式及性质； 2.数列通项的求法： ①累加法； ②累乘法； ③公式法； ④待定系数法； ⑤倒数法.

3.数列前n项和的求法： ①裂项相消法； ②错位相减法。

4.等差数列和等比数列的综合应用 第 7 页 共 7 页