《高级微观经济理论》第15-16章习题

解：本题目是在已知两个消费者效用函数和禀赋的条件下求提供曲线的问题。根据题设已知

两个消费者的效用函数为：

a1ab1b，U2(X12,X22)X12 U1(X11,X21)X11X21X22各自相应的初始禀赋为

（w11,w21）（w12,w22），

题目要求均衡的价格比率，为此先求出两个消费者的提供曲线。提供曲线是在价格变化时单个消费者效用最大化点的轨迹，为此我们建立如下最大化问题拉格朗日方程，先考虑第一个消费者：

a1aMAX U1(X11,X21)X11 X21St P1X11P2X21P1w11P2w21

求解此最大化问题得：

X11a(P1w11P2w21)/P1

1w11P2w21)/P2 X21(1a)(P所以第一个消费者的提供曲线就表示为

OC1(P)（a(P，(1a)(P1w11P2w21)/P11w11P2w21)/P2）同理，第二个消费者的提供曲线可以表示为：

OC2(P)（b(P，(1b)(P 1w12P2w22)/P11w12P2w22)/P2）为了求得均衡时的价格，还需利用均衡时两种商品是出清的特点，以商品2为例， 商品2的总需求为：

(1a)(P1w11P2w21)/P2(1b)(P1w12P2w22)/P2

商品2的总供给为：

w21+w22

1

由总供给等于总需求可得均衡时的价格比率为：

**P/P12aw21bw22

(1a)w11(1b)w12将此均衡价格比率带入到提供曲线中即可得在此均衡价格下的均衡配置，

OC1(P)(w11w21bw11w22(1b)w21w12)(a1a,)

aw21bw22(1a)w11(1b)w12OC2(P)(w12w22aw21w12(1a)w11w22)(b1b,)

aw21bw22(1a)w11(1b)w12最后看以上几项怎样随着w11的变化而变化：

**(P1/P1)/w110

OC11（P*）/w110 OC21（P*）/w110 OC12（P*）/w110 OC22（P*）/w110

12321u1(x11,x21)(x()x21)2,w1(1,0)

37211112322u2(x12,x22)(()x12x22)2,w2(0,1)

37

x11p1x21p2p1x21p1x22p2p2

x11x121我们可以令p2=1，于是，这个式子可以写为

x11p1x21p1 xpx1211222

下面就是求x11与x21之间的关系，x12与x22之间的关系 Max u1(x12,x22)

s.t x11p1x21p1 令Fu1(x11p1x21p1)则

Fx011 F0x21u1xp112 u1x22,

u1x所以，11=p1u1x21

由题意有

u13Ax11x11,其中，A是相同的部分 u1A(12)3x32137x21121p13x11 求出x2137再带入x11p1x21p1

p1x111123p1p1374得到123 p1x21371123p1p137

3

同样地，我们可以求出x21，x22之间的关系 Max u2(x12,x22) s.t x12p1x221 令Fu2(x12p1x221)则

Fx012 F0x22u2u2p1xx1212p1我们有uu22x22x22

1233u2B()x12x3712其中，B是相同的部分 u2Bx322x22（123x223）（）p1 37x12371x22p13x12,再由x21p1x221，得到

121x112373p1p1121373

p1x22121373p1p112我们知道x11x121

p11+1111237于是，p1 p13p1p133712x31+1,得到(x1)(3x4)(4x3)0 令px,我们得到

1237x3xx3x37124

13143所以，x1或x或x

34p11或p127或p1 27p1p1p127 1或或p2p227p2

当两种商品的价格都为正时，两个消费者的提供曲线是

OCpp,pbx2,xRpb:xpxb；

OCpp,pb2:xpxbxp,xbR12。在

p30,b0,p0,b20的情况下没有内点解，不会发生交易。

在p30,b0,p0,b20的情况下，根据Walras定律，有：

ppxppbxbppp30pp，ppxppbxbpbb20pb

当pp0且pb＞0时，ppxp0xp0，pbxb20pbxb20。在均衡配置

1212下，xp需要≥201/2，否则uMinxp,xb会取uxb，即β会选择全部消费

自己已持有的商品b，不会与α进行交换；

当pp＞0且pb0时，ppxp30ppxp30，ppxp0xp0。在均衡配置

5

下，xb需要≥p，否则uMinxp,xb会取uxp，即α会选择全部消费自己已持有的商品p，不会与β进行交换；

∴当两种商品的其中一种的价格为零，提供曲线是：

OCpp,pbOCpp,pbx,0:x0ifp＝0且p＞0,,x:xifp＞0且p＝0. x,20:x20ifp＝0且p＞0,0,x:x0ifp＞0且p＝0.pppbpbbppb12pppbbbpb

所有的均衡点在埃奇沃斯盒的边界上，均衡价格比是pppb0，均衡配置是

30x,0,xp1212,20:20x30。（，均衡点都在030x3020ppp横轴涂黑实线上。）

在p5,b0,p0,b20的情况下，根据Walras定律，有内点解

961961961961,,5,20（解方程组2222xb=xp, xb=-(xp-5)2+20而得）

在当两种商品的其中一种价格为零的情况下，

ppxppbxbppp5ppxp55xx20xxppbbpxpxp20pbbbbbxb=20pp，

边角均衡的价格比是pppb0，内点均衡配置是

5,x

b,0,20xb:5xb20

6

当p从30降到5后，α的效用水平增加，β的效用水平降低，不论均衡点在内部还是在边角上，这是因为当p30时，商品p相对于商品b来说太充足，其均衡价格为0，商品b是交换经济中至关重要的禀赋。

当p5时，商品p足够稀缺以至于其产生了正的价格，α对两种商品的消费也就有了正数量。商品b的价格可以降到0，在这种情况下他会消费经济中所有的禀赋。

由于生产函数为f(z)z，且劳动总禀赋L1, 代入效用函数u(x1,x2)lnx1lnx2可得：

12u(z,1z)lnzln(1z) 求一阶导数可得：

1110，所以z 2z1z31212假定产出价格p1，由利润最大化条件可得：

maxf(z)wzzwz

11112求一阶导数可得：zw0，从而代入z得，w32/2

3212所以均衡利润1/(23)

同时可知，均衡消费为((1/3),2/3)

1212

证明：可以加强斯托珀—萨缪尔森定理的结论，即证明密集要素价格上升的比例要大于产品价格上升的比例。 证明：由命题15.D.1可知

7

设w=（w1,w2）为要素价格向量

cj（w）代表生产单位产品j的最小成本

aj（w）=（a1j（w），a2j（w））代表这一最小成本达到时的投入组合。 给定不变规模报酬的假设，（w1*，w2*）成为内点均衡中的要素价格的必要条件是

c1（w1，w2）=p1 （1） c2（w1，w2）=p2 （2） 又由谢波德引理可知

cj(w)(a1j(w),a2j(w))

所以将（1）、（2）式全微分可得

写成矩阵形式为

又设产品1的生产比产品2相对更多地密集了要素1，所以有

可知

a11(w)a12(w)a21(w)a22(w)

假设p1上升而p2保持不变，那么可知dp2=0，dp1>0 所以

*dw(a(w)/A)d1p122**pa(w)w1111

*a2(1*w) w2最后可证

8

证毕。

（1）根据分散决策15.D.1和15.D.2

Pjfj(z*)zlj*ljwl*

zjzl根据利润最大化条件有

1/21P(z21)1/2w1z11w2z21 1f1w1z11w2z212(z11)11w10 z11z1111w20 z212z212P2f2w1z12w2z22(z12)1/22(z22)1/2w1z12w2z22

21w10 z122z1221w20 z22z229

根据上述式子可得：

2z21z11z222z12w1 w2另由于z11+z12=z1，z21+z22=z2

*从而z114z1*z1*z2*4z255**,z12,z21,z22,w2，w1 55552z12z2（2）社会计划者决策

(xi,...,xj)0MaxPfjjj(zj)s..tzjzj

建立拉格朗日函数

L=P1f1P2f21(z1-z11-z12)+2(z2-z21-z22)

L110 z11z11L120 z212z21L110 z122z12L120 z22z22Lz1-z11-z120 1Lz2-z21-z220 2可得2z21z11z222z121 2*z114z1*z1*z2*4z2,z12,z21,z22 5555又w1=LL1,w2=2 z1z210

*计算可得w155*,w2 2z12z2比较社会分散决策，与社会计划者决策，发现在一般均衡时，二者得到的结果相同。

如果

, 那么一定有

，使得

。如果

，在偏好是局部非饱和的情况，那么n

，所以是价格

下，在中存在连续的

向量P之下，最小化的指出。

如果偏好是局部非饱和的，而且厚的无差异曲线在所画区域内。那么任何产品曲线的在该区域内的交叉点以及厚的无差异曲线都是帕累托最优点，但是并不能说它有转移价格均衡或者有转移的价格准均衡。

11