2008“2 + 2”《 高等数学 》答案

2008年浙江省普通高校“2 + 2”联考《 高等数学 》试卷

评分标准

得分 阅卷人 一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写 出计算过程，本题共有6个小题，每一小题4分，共24分）

sin(2x)ln(x1)sin11．limx02x1 = ln2 . 2．y(x2y32xx2arctanyx)x2,y1 = 12 .

553 . 已知 f(x)dt1lnt， 则

f(x)dx = 4

x1x4. 已知

1,2 为二维列向量, 矩阵A = (1,2), B = (12,12), 若行列式

A2, 则 B ( 4 ).

5．若矩阵A = 1221, E为二阶单位阵,矩阵B满足ABBE, 则B = ( 120110 ) .

6. 将3个乒乓球随机地放入4个杯子中去, 杯子中乒乓球的最大数为2的概率为(

916 ).

二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4得分 阅卷人 分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项 符合要求）

1．函数 yx2 在区间 [ -1 ， a ] 上的平均值是 1 ， 则 a = ( D ).

（A） -1 （B） 0 （C） 1 （D） 2

2. 点 (0,0) 是 二元函数 zx2008y2008x2007y2007 的 ( C ) . （A） 极小值点 ； （B）极大值点 ；

（C） 驻点，但一定不是极值点 ； （D）驻点，但无法确定是否是极值点.

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3．函数（ D ）是函数 2ln2 的一个原函数 . 2x,x02x,x0（A） f(x)x,x0 ； （B） f(x) ； x2,x02,x0,x02x2xf(x)f(x)（C） ； （D） . xx12,x022,x0x4. 设

1,2,3 是四元非齐次线性方程组 AXb 的三个解向量,且秩 r(A) = 3 ,

1(1,0,2,0)T,23(0,2,3,4)T, c 表示任意常数, 则线性方程组 AXb 的

通解 X = ( B ) . (A) (1,0,2,0)Tc(2,2,1,4)T(B

(1,0,2,0)Tc(2,2,1,4)T

(C) (1,0,2,0)Tc(2,2,1,4)T (D) (1,0,2,0)Tc(0,2,3,4)T 5. 若 X 的概率密度函数为

acosx, f(x)0,则系数 a( D )

x22 其它(A) 1 (B)

121 (C) (D) 432得分 阅卷人

三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共7个小题，每小题9分，共63分）

x2008x2007x1. 计算 lim . x1(x1)2x2008x2007xx2008(x1)1tx1(t1)2008t1limxlim解：lim …………. 2分 x1x1t0(x1)2(x1)2t2e2008tln(t1)12008tln(t1)limlim …………………………..……… 7分 t0t0t2t22008limt0ln(t1)2008 ……………………………………………..….. 9分 tdx32． 广义积分

(x1)2x22x 是否收敛？如收敛，计算其值；如不收敛，说明理由。

解： 收敛 …………………………………………………………..…… 1 分

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(x1)2dxx22x3(x1)2dx(x1)213 …………………………3 分

x1sectsec02secttantdt3ttan2t ……………………………………………….. 6 分

2costdt ……………………………………………………………. 7 分 021cos2tdt………………………………………………………..…8 分 202022tsin2t44 …………………………………………………....9 分

(x,y) 可微； f(0)(0,0)0，

3. 已知一元函数 f(x) 可导，二元函数

f'(0)1，'x(0,0)2,'y(0,0)3 ；设 zf((f(x),f(x))) ， dz求 dx 。

x0dzd解：dxdx(f((f(x),f(x))))f'((f(x),f(x)))((f(x),f(x)))'x………...3 分 f'((f(x),f(x)))['x(f(x),f(x))f'(x)'y(f(x),f(x))f'(x)]…….…...7 分

dzdxx0f'((f(0),f(0)))['x(f(0),f(0))f'(0)'y(f(0),f(0))f'(0)]

f'((0,0))['x(0,0)f'(0)'y(0,0)f'(0)] ……………………………….. 8 分 f'(0)['x(0,0)f'(0)'y(0,0)f'(0)]1(2131)5 …………….… 9 分

n14．（1）利用正项级数判敛方法说明级数 n12n 是收敛的；（ 2 分 ）

n1（2）求出上面收敛级数的和。（ 7 分 ）.

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n11n1an1n2211n1limlimnn1(1) ann12n0 ; nan ………………….….. 1 分 2nn12 n1n 收敛 ……………………………….….. 2 分

n1n12n(2) 考虑幂级数

n1xn1n 它的收敛区间是 (1,1)；…………………..….. 1 分

n111nnnn1和函数 S(x)n1x(1n1)xxxn1xn1n1n1n1,x0，….2 分

11x1(1)S1(x)S1(x),1xx1xxxn1x0 , 其中 S1(x) . …..…3 分

n1n1111xn1n1n(S1(x))'(x)'(x)'xxn1…..4 分 1x1x ；n1n1n1n1n1n1xS1(x)0tdtxln(1x) ………………………………………5 分. 1tx0；…. 6 分

S(x)x1x111S1(x)(xln(1x))ln(1x),1xx1xx1xx

11n112ln22ln2S()n1 ………………………………7 分 22n1n12125．设

(1,1,0)T, A = T, E 为三阶单位阵 , 求 2EA10 .

1T解: (1,1,0)1(2) ……………………………………………….. 2分

0A10TTT(TTT)T29T, …………… 4分

1110110, ………………………………….. 6分

T1(1,1,0)0000第 4 页，共 12 页

- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -：---号---证---考---准---- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -：---名---姓---_--_--_-_--_--__线__封__密_--_--_-_--_--_-_--_--_--_-_--：---业---专---考---报---_--_-_--_--_-_--_--_-_--_--_-_--_--_ -_ --_ --_-_--：---校---学---考---报-------------- ----------------------2008年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学》试卷-------------------

2292902EA10292290222929902292298(12). …………….. 9分

06. . 已知在10个产品中有2个次品, 现在其中任取两次,每次任取一只, 作不放回抽样,求下列事件的概率 : (1) 两只都是次品事件 ; (2) 第二次取出的是次品事件. 解: 设 Ai 为事件“第 i 次取出的是正品”(i1,2)，则

（1） P(A1A2)P(A1)P(A2A1) ……………………………………………….. 2分 2101914 5……………………………………………………………… 4分 （2）P(A2)P(A1A2A1A2)P(A1A2)P(A1A2)

P(A1)P(A2A1)P(A1)P(A2A1) ………………………………………. 7分

822110910915 …………………………………………………….. 9分 7. 设 X,Y 是两个相互独立的随机变量， X 在（0，1）上服从均匀分布， Y 的概

1y率密度为 fe2,y0Y(y) ;

20,y0求：（1） X 和 Y 的联合概率密度；

（2）关于 t 的二次方程 t22XtY0 有实根的概率 (已知

(1)0.8413).

解: (1) f1X(x)10x0其它 ………………………………………………. 1分

由于 X 和 Y 相互独立, 因此 X 和 Y 的联合概率密度为

1y f(x,y)fy)e2,0x1,y0X(x)fY( ………………….. 3分

20,其它(2) 方程 t22XtY0 有实根的充要条件为 4X24Y0,

即 X2Y, ……………………………………………………………. 4分 所以方程有实根的概率为

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P(YX)1x222yx212yf(x,y)dxdydxedy ……………………….. 6分

20011x2 (1e01)dx122e0x22dx

12[(1)(0)]10.34132 ………………0.1445.. 9分

得分 阅卷人

四．应用题： （本题共3个小题，每小题10分， 共30分）

1． 一帐篷，下部为圆柱形，上部覆以圆锥形的蓬顶（如图所示）。设帐篷的容积规定必须是 225 立方米，试设计出篷布用料最小的方案及求出此时的蓬布用料数。

1 （扇形面积计算公式是 2lr，其中 r 是扇形半径，l 是扇形弧长） 设圆柱高为 H , 圆锥高为 h , 圆柱底半径为 R ;

12VRHR2h225 ………… . 帐篷的容积 3 122RHRh2250 ;…………1 分.. 约束条件3 12222篷布用料 S(H,R,h)2RH22RhR2RHRhR……... 2 分.

122L(H,R,h,)S(H,R,h)(RHRh225)………………… 令 312RHRh2R2(R2HR2h225) …………………………4 分

3求 L(H,R,h,) 的驻点：

L'H2RR20,(1)2RhL'R2HhR(2RH)0,(2)223hRRhR2L'h0,(3)………..…. 5 分 223hR1L'R2HR2h2250,(4)3由（1）得 R2 ；

hR23h2R22hRh由（3）得 3325 （5） h2R222R2第 6 页，共 12 页

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由（2）得 02HhR22R2h2R2(2RH4H2Rh) 32HhR02HhR2222R2h2R24h3

4h3

R2h2R23h2R24hh2R212R5R202H2H2H2HR

23h363h65352Rh2H …………………………………..……..… 8 分.. R5H

5125H225330RHRh2255H2H225H225

3332代入约束条件：

R5H35 米 ； h2H6米 ;

因为驻点唯一，且由实际问题意义知 S(H,R,h) 必有最小值， 故

篷布用料最小的方案是 H3 米 ； R35 米 ； h6 米 ；……... 9 分

2S最小S(3,35,6)23533562（35）455 平方米 ……... 10 分..

H3米 ； 

c1b , 其行列式 *

532. 设矩阵 A = a, 又 A 的伴随矩阵 A 有一个A101cb特征值 解: A

*

0 , 属于 0 的一个特征向量为 (1,1,1)T, 求 a,b,c 和 0 的值.

0 ………………………………………………………………..…….. 1分

AA*0AA0A0A, ………………………….. 3分

c11b11bc111a531 ……………….. 5分

0a530101cb11cb10(1bc)10(a2)1(1cb)10(1)+(3)得

(1)(2) ………………………………………………………. 6分 (3)0=1 , 代入(2) , (3) 得 a3,bc, ……………………………….. 8分

1bb533bb4 1bb1A30第 7 页，共 12 页

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所以 a3,bc4,01 …………………………………………….…… 10分 3. 一工厂生产的某种设备的寿命 X ( 以年计 ) 服从指数分布, 概率密度为

14xe f(x)40x0x0 .

工厂规定, 出售的设备若在一年之内损坏可予以调换. 若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费300元. 试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望. 解: 出售的设备在一年之内调换的概率为 :

114xp1p(X1)f(x)dxedx1e4 40011不需调换的概率为 : p21p1e14

………………………………………………………….. 4分

14,

14

记Y为工厂出售一台设备的净赢利, 则

p(Y100)p1ep(Y300100)p21e1414, ……………………………………….. 7分

14EY100e200(1e)300e20033.64 ………………….. 10分

五．证明题： （本题共2个小题，第一小题6分，第二小题7分，共13分）

得分 阅卷人 1． 设函数 f(x) 在 [0,1] 上连续 ， f(0)0 ；f(x) 在 (0,1) 内可导，且导数值处处

大于零 。试证：在曲线 yf(x) 上存在某一种点 P(,f()),(0,1)， 该种点在 x 轴上的投影将会平分 x 轴上的线段 AB ； 其中 A 是曲线 yf(x) 上过 P 点的切线与 x 轴的交点，B 是 x 轴上的点 ( 1 , 0 ) 。

证：过 P 点的切线方程是 yf'()(x)f() ……………………………1 分

f()x 它与 x 轴的交点横坐标是 0f'() ……………………….…………2 分 f()f'(x)0,f(0)0x， ……….….………… 3 分 0根据题意，f'()第 8 页，共 12 页

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且  需满足： x01， 即

x0f()1f'()(1)f'()f()0 ………………………4 分

现令 g(x)(1x)f(x),x[0,1] ； …………………….……..……5 分 则有 g(0)f(0)0g(1)，

，即

根据罗尔定理，必至少存在一点 (0,1) ，使得 g'()0() g'

(1f)'(f)()0, . 证毕 ……….……………. 6 分

2. 设 A 为 m×n 实矩阵, E 为 n 阶单位阵, 矩阵 BkEAA, 试证明: 当 k0 时,矩阵 B 为正定矩阵.

证: BT(kEATA)TkEATAB, 故 B 是 n 阶实对称阵; ....... 2分

又对任意实 n 维列向量 X ,

TXTBXXT(kEATA)XkXTXXTATAXkXX(AX)(AX)TT ………………………… 4分

TT当 X0 时, 有 XX0,(AX)(AX)0, ……………………………. 5分

故当 k0 时, 对任意 X0 有

XTBXkXTX(AX)T(AX)0

所以矩阵 B 为正定矩阵. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 7分

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