工程力学习题15廖明成

习题

15.1 试运算图标结构的变形能。略去剪切阻碍，EI为。关于只受拉压变形的杆件，需要考虑拉压的变形能。

解：〔a〕如图a所示，因结构和载荷均对此，因此利用静力学平稳条件，可专门容易地得到约束反力

FBFCF 2FAl/2l/2x图a

同时只取梁的一样进行运算。AB段梁任一截面上的弯矩方程为

MxFx2l0x

2梁的应变能为

l20lM2xdx2202EIV2

F22xdxF2l34 2EI96EI〔b〕如图b所示，利用静力学平稳条件，求的约束反力为

1FBql,83FCql

8qBX梁各段的弯矩方程为 BA段0xl/2Al/2CX

图bl1 Mxqlx 128AC段0x应变能为

l312 Mxqlxqx 22822lM12xdxMxdx2V2202EI2EI 22l251211217ql3qlxqlxqxdx2EI088215360EIl20qllXAX图c

〔c〕如图c所示，各杆段的弯矩方程为

12qx 212BC段0xl M2xql

2AB段0xl M1x刚架的应变能为

2M12xdxlM2xdxV2002EI2EI 2225l13ql1212qxqldx2EI02220EIl(d)如图d所示利用静力学平稳条件求得梁AC的支座反力和杆BD的轴力为

FCF,2FNDB3F〔拉〕 2梁各段的弯矩方程为

EA2l3AlXCB段0xl M1xBA段0xl/2F（d）X

1Fx 2l M2xFx 2结构的应变能为

2l2M12xdxMxdxFNBDl122V002EI2EI2EA

l22222232lFxdxFxdx3FlFl3Fl2008EI2EI4EA16EI4EAl(e)如图e所示利用静力学平稳条件，得刚架的支座反力和轴力为

M2Fl,FxF,FyF，

FFXBlAXlC图e

刚架各段的弯矩方程为

AB段0xl

M1xFx

BC段0xl M2xFlFx 结构的应变能为

222lFxdxlFlFxdxM12xdxlM2xdx3F2l3 V00002EI2EI2EI2EI2EIl215.2 试用卡氏定理运算习题15-1中各结构中截面A的铅垂位移以及B截面〔(e)图〕的转角。

FBl/2XAl/2C

解：(a)受力分析如以下图所示，有分析可得在x方向是不受力，只受y方向的力

图aXFFaAFy1Fy2

由于在A处并无垂直外力，为此，设想在A处加一垂直外力Fa，这时求解共同作用下的支座反力，A 受力分析如下图，由平稳条件求得弯矩及对Fa的偏导数为 BA段MxMxxx  FFa2Fa2Mxxx FFa

2Fa2xFFaxFl32dx() EI248EIAC段MxlMxMx截面A的铅垂位移为y2dx220EIFal2〔2〕由于在A处并无垂直外力，为此，设想在A处加一垂直外力Fa，这时求解共同作用下的支座反力，A 受力分析如下图，由平稳条件求得弯矩及对Fa的偏导数为

FaAqFy1qlFBA段Mxa82Fy2 Mxxx 

Fa2Mxxll1lqlFAC段MxaxFaxqx 

222Fa22822将以上结果代入yl20lMxMxMxMxdxldx得

EIFaEIFa25ql4() 截面A的铅垂位移为y768EI〔3〕由于在A处并无垂直集中外力，为此，设想在A处加一垂直外力Fa，这时求解共同作用下的支座反力，A 受力分析如下图，由平稳条件求得弯矩及对Fa的偏导数为

qBXllXFaAC图c

AB段MxxFa12Mxqx x 2Fa12MxBC段MxlFaql l 2Fa将以上结果代入yMxMxdx得 0EIFai12l5ql4() 截面A的铅垂位移为y8EI〔4〕题中受力分析如下图，由平稳条件求得弯矩及对F的偏导数为 AB段MxMx11Fx x 2F2MxBC段MxFx x

FDEA2l3CBAl/2lX同时求出BD轴力FN将以上结果代入y2F（d）X

F33F及偏导数为N 2F2lMxMxFNlFN得 dx0EIFaEAFi1Fl33Fly()

8EI2EA〔5〕1．题中受力分析如下图，由平稳条件求得弯矩及对F的偏导数为

FFXBlAXlC图e

AB段0xl MxFx

Mxx FBC段0xl MxFlFx

2lMxl F将以上结果代入yMxMxdx得 0EIFi111Fl3() 截面A的铅垂位移为y6EI2．由于在截面B处并无弯矩，设想在截面B处加一个弯矩，在杆件截面B上加了Ma，如

下图，这时求共同作用下的支座反力，由平稳条件求得弯矩及对Ma的偏导数为

FBMalFAXXlC图e

MxAB段0xl MxFx 0

MaBC段0xl MxFlFxMa

Mx1

Ma将以上结果代入BMxMxdx得 0EIFi12lFlFxMa3Fl2B1dx

0EI2EIl3Fl2顺时针 即B2EI

15.3 图示桁架，在节点B处承担铅垂载荷F作用，试用卡氏定理运算点节B的水平位移。各杆各截面的抗拉刚度均为EA。

aC60ABFa60BF

〔a〕

aDCAa

(b)

题15-3图

解：〔a〕由于在B处并无水平外力，为此，设想在B处加一水平外力Fa，这时求解共同作用下的支座反力，B受力分析如图a所示，由平稳条件求得杆件内力及对Fa的偏导数为

F1F2B（a）FFa

ＢＣ杆件为 F13F13FaF， 3Fa33F23FaF， 3Fa33FF33Fa， 62Fa6ＡＢ杆件为 F2ＡＣ杆件为 F3因此Ｂ的水平位移为

3FNjljFNja3333aFxFFF EAFEA331212EAaF0j1a〔２〕由于在B处并无水平外力，为此，设想在B处加一水平外力Fa，这时求解共同作用下的支座反力，B受力分析如图a所示，由平稳条件求得杆件内力及对Fa的偏导数为

F1F2BFaF（a）ＡＢ杆件为F1FaF

F11 FaF20 FaF30 FaＢＣ杆件为F22F

ＣＤ杆件为F3F

DA杆件为F42FFa

F42 FaF51 FaＡＣ杆件为F5FaF 因此Ｂ的水平位移为

5FNjljFNjFaFax1221212 EAj1EAFaFa0EA

15.4 图示圆截面轴，承担集度为m的均布力偶作用，试用卡氏定理的方法运算截面A的扭转角。设轴的抗扭刚度GIp为常数。

mlA

题15-4图

解：由于在截面A处并无扭矩，设想在截面A处加一个扭矩Ma，在杆件截面A上加了Ma，如图a所示，这时求共同作用下的支座反力，由平稳条件可知 杆件上的扭矩及偏导数为TxMamx，

Tx1 Maml20xdx2GIp

llMmxTxTxVm截面A的扭转角Adxadx0MalGIpMaGIpGIpml(a)MaA

ml2因此截面A的扭转角为A

2GIp

15.5 图示等截面刚架，承担集度为q的均布载荷作用，试用卡氏定理运算截面A的铅垂位

移。设各段抗弯刚度EI和抗扭刚度GIp均为常数。

CXlaqlaFaAqA

BaX

题15-5图

解：由于在A处并无垂直外力，为此，设想在A处加一垂直外力Fa，这时求解共同作用下的支座反力，A受力分析如图a所示，由平稳条件求得杆件内力及对Fa的偏导数为 AB段0xa， M(x)Fax1Mx12qx1， x； 2FaMxx； FaBC段0xl， MxqaFax，

Txqa2TxaFa， a；

2Fa截面A的铅垂位移为

MxMxMxMxlaqa2ydxdxaFaEIFEIFGI2aapla12Fxqx2alqaFxaqla32adxxdx00EIEI2GIpqa4qal3qa3l8EI3EI2GIp

15.6 水平放置的一开口圆环上AB两点处作用有一对大小相等，方向相反的两个力。圆环的弹性常数E,G，以及环杆的直径d，试求A、B两点间的相对位移。

RFBAF题15-6图

解：在外部荷载作用下圆环的弯矩和扭矩方程分别为

MFRsin，TFR(1cos)

在两外荷载方向上施加单位力，其弯矩和扭矩方程为

MRsinTR(1cos)

可得开口处A和B两点的相对铅垂位移为

AB2

MMEI0Rd2TTGIp03FR3Rd()

EIGIpFR315.7 用卡氏定理运算图中C点处两侧截面的相对转角。各杆的抗弯刚度均为EI。

McFMcFxCFyCl/2FCl/2y1FxCCx1FyCx2y2AMAFxAFyAFxBMBFyB

题15-7图

解：在铰点Ｃ加一对大小相等，方向相反的力偶矩MC，分别作用于铰点Ｃ的两边如图

1V2EI22llFF2MClF20y1dy10y2dy20lFl222lF2MC2x1dx10lFl222 xdx22点Ｃ两侧截面的相对角位移：

VCMC

MC0ll12FlFl2x12x222Fxdx2Fxdx11220 02EI02l2l

15.8 图示各刚架，抗弯刚度EI为常数，试运算支反力。

lqCFBBlCA

（a）

A(b)

题15-8图

D

解：〔a〕此刚架是一次超静定结构，因此需要解除一个余外约束，即把Ｃ处的支座换成滑动支座和代之以水平支反力FXC，如下图，依照变形比较，C点处实际的水平位移为零，即

uC0

lFBCFXX用卡氏定理运算C点的水平位移：

题中受力分析如下图，由平稳条件求得弯矩及对FXC的偏导数为 BC段MxFFxCx

Mxx FxCMxAB段MxFFxCx x

FxC将以上结果代入x2MxMxdx得 0EIFxCi12llFFxMxMx2FFxCl3xC xdx2xdx00EIFEI3EIi1xClXA

由题知x0

即FxCF

由平稳方程求出FAXFAYFCY0

〔b〕此刚架是一次超静定结构，因此需要解除一个余外约束，即把D处的支座换成滑动支座和代之以水平支反力FX，如下图，依照变形比较，D点处实际的水平位移为零，即

uD0

qBlClA用卡氏定理运算D点的水平位移：

FxDD

题中受力分析如下图，由平稳条件求得弯矩及对FXD的偏导数为 AB段MxFXDx

Mxx

FXDBC段MxFXDlMx121qxqlx l 22FXDMxx

FXDCD段MxFXDx

将以上结果代入xMxMxEIFdx得

xDl121FlqxqlxXDlxFl22ldx x2DXxdx0EI0EI由题知x0 得FXDql 20qlql,FAYFDY 202由平稳条件可求出

FAXFDX

15.9 求解图中各静不定结构。各杆的抗弯刚度相同，都等于EI，抗拉刚度也相同，都等于

EA，同时当杆中只有拉压变形时才考虑拉压变形，有对称性的注意对称性。

B4FA5D（a）

3126

qCFaaa

(b)

qaCFaFl

(c)

题15-9图

(d)

解：〔1〕在此杆件体系内部是超静定的，将其中2 杆件截开，并代替以2杆件的轴力FN2作用在两个截面上，如以下图所示由外力F和FN2，可写出其它杆件的轴力列表如下：

4FA31F25F22CF6D

偏导数杆件编号 轴力FNi FNi F1 杆长li FNi1 2 FN2F 2a 2a 2aFN2F FN2 1 2FN2a aaFNili F偏导数杆件编号 轴力FNi FNi F2 22 2杆长li FNiFNili F3 2FFN2 22FFN2 22FFN2 22FFN2 2 a aFN2F 2aFN2F 2aFN2F 2aFN2F 224 a 5 2 22 2 a 6 各杆求和〔a 〕 21aFN222aF 那么截面间的相对位移为221aFN222aFEA，变形比较，即0，

因此FN22F 2由此代入上式得

FN1222F,FN2F,FN3FN4FN5FN62221F 2〔2〕解除两脚支座约束代之以反力X1，X2，并令水平杆的水平位移H0，得到相当系统如下图

X1xqX2y

在求刚架的应变能时，假设仅考虑弯曲的阻碍，明显可视X1与X2为一个力X1X2，那么

1V2EI2a1a122qxdxqaXXydy0 12022H1EIV1a1202qaX1X2yydyX1X22EI243qaX1X2a340

因此X1X23qa 4由水平杆的拉压变形和谐知

X13qa3qa〔X1是轴向压力，X2是轴向拉力〕 ,X288〔3〕自跨中截面将梁截开，两部分之间的相互作用内力分别以X1,X2,X3表示〔如下图〕由于结构与荷载的对称性，必定有剪力X30

X2yql12ql236ql2xX3X1X1X3ql236ql12qql2

刚架的应变能为

222ll22121lVX2qX1ydy X2qxdx002EI222切口两边两截面的相对水平位移为

V1ql2ql42l3l12HX1yydyX10 02X2lX2X1EI883EI2即16lX124X23ql

切口两边的相对转角为

llV112ql222Xqxdx2XXydy02102X2EI28 17ql32{X1l3X2}0EI242即：24lX172X27ql

以上方程联立求解，得X1ql,12X252ql 72〔4〕由结构对称，荷载反对称，得静定系为如下图

Xx2Fx3MAXCx1FaA FAxFBxBFAyFByaMB

Mx1 XMMx2Xa,a

XMMx2XaFx3,a

XMx1Xx1,C处上下相对位移：

aa1a2Xx1x1dx1Xaadx2XaFx3adx30 000EIa3a233XXaXaFa0

32X3F〔与图示相反〕 14由左图平稳

Fx0,FAxF(向左)

3F(向下) 1411Fa(逆) 14Fy0,FAyMA0,MAXaFa0,MA由反对称，得右图B处反力

FBxF(向左)，FBy

311F（向上），MBFa（逆） 141415.10 直径d300 mm、长为l6 m的圆木桩，下端固定，上端受重W2 kN的重锤作用。木材的E110 GPa。求以下三种情形下，木桩内的最大正应力： 〔ａ〕重锤以静载荷的方式作用于木桩上；

〔ｂ〕重锤从离桩顶0.5 m的高度自由落下；

〔ｃ〕在桩顶放置直径为150 mm、厚为40 mm的橡皮垫，橡皮的弹性模量E8 MPa。重锤也是从离橡皮垫顶面0.5 m的高度自由落下。

题15-10图

解：〔1〕当重锤以静载荷的方式作用在木桩上时 最大静应力为

stmaxFNPA1d2442000Pa=0.0283MPa 20.3静应变为

st1Pl20006452m1.710m 10E1I10.310〔2〕当重锤自由下落时 动荷因子为

Kd111动应力为

2h20.511243 st11.7105dmaxKd1stmax2430.0283MPa6.88MPa

〔3〕当有橡皮垫时

动荷因子仍用情形〔2〕时的公式，但式中的st是橡皮垫和木桩静变形之和，即

stst1st2 st11.7105m

st2Pl220000.0444m=5.710m 62E2A28100.15因此st1.7105m+5.7104m5.87104m 动荷因子为Kd211冲击荷载下的最大应力

2h20.51142.3 4st25.8710dmaxKd2st42.30.0283MPa1.2MPa

15.11图示等截面刚架，一重量为W300 N的物体，自高度h50 mm处自由落下，试打算处截面A的最大铅垂位移与刚架内的最大正应力。材料的弹性模量E200 GPa，刚架的质量与冲击物的变形忽略不计。

W1mA1m3040h

题15-11图

解：采纳单位载荷法运算截面A的铅垂静位移，其载荷状态〔以W作为静载荷〕和单位状态〔令W=1〕的弯矩方程依次为

M(x1)Wx1, M(x2)Wl

M(x1)x1, M(x2)l

式中，长度l=1m,坐标x1自A向右取，x2自上向下取。 截面A的铅垂位移为

lM(x)M(x)M(x1)M(x1)4Pl322stdx1dx200EIEI3EI 43001.0032m=2.2210m390.0400.03032001012l截面A的最大冲击位移为

20.050std2.22102112.22102而Fd300N1127.4410m74.4m 20.0502.2210231.00410m Mmax1.0041031.00m1.004103m

在冲击载荷Fd作用下，刚架内的最大正应力为

max1.004103N1.004103N81.6710Pa167MPa 220.0400.03020.0400.030mm6

15.12 重量为W5 kN的重物，自高度h15 mm处自由下落，冲击到外伸梁的C点处，如下图。梁为20b号工字钢，其弹性模量E210 GPa。试求梁内最大冲击正应力〔不计梁的自重〕。

WhA2m题15-12图

B1mC

解 ：先运算静载荷作用下的静位移和静应力，将其直截了当作用在C点，那么 由卡氏定理求出静位移得st0.952mm 查附录得20b号工字钢W250cm 动荷系数为Kd1132h215116.7 st0.952因此dmaxKdstmax

M15103NKd6.7134MPa

W250cm315.13 重量W2 kN的冰块，以速度v1 m/s沿水平方向冲击在木桩的上端，如下图。木

柱长l3 m，直径d200 mm，弹性模量E11 GPa。试求木桩上的最大冲击正应力〔不计木桩自重〕。

vWAdl

题15-13图

解：先运算静载荷作用下的静位移和静应力，将冰块的重量当做静载荷沿水平方向作用在冲击点A，即为静载荷，在静载荷作用下，冲击点A处沿冲击方向的位移确实是静位移，那么 静位移为

Fl3st3EI2103333111090.2420.85mm

静应力为stmaxPa210337.MPa 3W0.232动荷系数为

Kdv212.21 gst9.80.02085因此dmaxKdstmax7.2.21MPa16.9MPa

15.14 为保证图标结构的安全性，试分析发生失效的可能缘故，并指出各种失效情形下的危险点，以及所需要采纳的理论及运算方法。

WAlChlaD

B题15-14图

解：1. 发生失效的可能缘故为：AB杆件达到屈服极限的强度破坏，BC杆件失稳破坏。

2. AB杆件达到屈服极限的强度破坏的危险点为：Ａ点，C点

BD杆件失稳破坏危险点为：BD杆件失稳

3. 假设杆件的E，A，I都相同，同时AB只受弯矩作用，BD只受轴向压力作用， 从一样角度考虑，只进行两种情形分析：

1.考虑为强度破坏，即BD杆件不发生失稳破坏， AB杆件发生强度破坏; 2.考虑为失稳破坏，即BD杆件发生失稳破坏，AB杆件不发生强度破坏; 1.考虑为强度破坏，即BD杆件不发生失稳破坏， AB杆件发生强度破坏， 即为，AB杆件只受压力作用，

第一运算静载荷作用下的静位移和最大静应力〔考虑一样情形即为都圆截面杆件〕，现在简图为

WAlChlBF由卡氏定理求出FW 静位移为：

3819Fl3st

480动荷系数为

Kd112h2h960h 11113319Flst19Fl480运算杆件AB上的最大静应力位置为： Ａ点处为

3WlWlM4Wl '''WW4WＣ点处为

3WlM83Wl '''WW8W对比明白Ｃ点出最大

即C点处为危险点，最大动应力为

3Wl960hdKdst1138W'19Fl 现在是C先到达许有应力，先失效；即为结构失效，

2.考虑失稳破坏，即BD杆件发生失稳破坏，AB杆件不发生强度破坏; 在此种情形下杆件BD失稳，达到临界应力， 即为Fcr2EIl22EIa2

因此整个杆件失稳，其危险点位整个杆件。