诱导公式

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．(2010·全国Ⅰ)记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝( ) 1－k21－k2A. B．－

kkC.k

1－k2

D．－k

1－k221－k2解析：cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝1－k，tan80°＝，tan100°＝－tan80°＝

k1－k2－，故选B.

k

答案：B

1＋sinx1cosx

2．已知＝－，那么的值是( )

cosx2sinx－111

A. B．－ C．2 D．－2 22

1＋sinxsinx－1sin2x－11＋sinx1cosx1解析：因为·＝＝－1，从而由已知＝－得＝. 2cosxcosxcosxcosx2sinx－12答案：A

3．若cosα＋2sinα＝－5，则tanα＝( ) 11

A. B．2 C．－ D．－2 22

解析：由cosα＋2sinα＝－5,①,sin2α＋cos2α＝1,②) 将①代入②得(5sinα＋2)2＝0， 255∴sinα＝－，cosα＝－.故选B.

55答案：B

sinα－3cosα

4．若tanα＝2，则的值是( )

sinα＋cosα1515A．－ B．－ C. D.

3333

sinα－3cosαtanα－31解析：由tanα＝2，则＝＝－，选A.

3sinα＋cosαtanα＋1答案：A

5．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零实数，若f(2008)＝－1，那么f(2009)等于( )

A．－1 B．0 C．1 D．2

解析：∵f(2008)＝asin(2008π＋α)＋bcos(2008π＋β)＝asinα＋bcosβ＝－1， ∴f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋β) ＝－(asinα＋bcosβ)＝1. 答案：C

6．已知sinα＋cosα＝1，则sinnα＋cosnα等于( ) A．1 B．0 1

C.n－1 D．不能确定 2

sinα＋cosα＝1，sinα＝1，sinα＝0，

解析：由2解得或 2

sinα＋cosα＝1，cosα＝0，cosα＝1.

∴sinnα＋cosnα＝1. 答案：A

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．已知tanα＝2，则 2sinα－3cosα

(1)＝________； 4sinα－9cosα2sin2α－3cos2α(2)＝________； 4sin2α－9cos2α

(3)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝________.

解析：(1)注意到分式的分子与分母均是关于sinα、cosα的一次齐次式，将分子、分母同除以cosα(∵cosα≠0)，然后整体代入tanα＝2的值．

2sinα－3cosα2tanα－32×2－3

＝＝＝－1.

4sinα－9cosα4tanα－94×2－9

(2)注意到分子、分母都是关于sinα、cosα的二次齐次式， ∵cos2α≠0，分子、分母同除以cos2α，有 2sin2α－3cos2α2tan2α－32×4－355

＝＝.∴应填. 22＝274sinα－9cosα4tanα－94×4－97(3)要注意到sin2α＋cos2α＝1， 4sin2α－3sinαcosα－5cos2α 4sin2α－3sinαcosα－5cos2α

＝ sin2α＋cos2α

4tan2α－3tanα－54×4－3×2－55＝＝＝＝1.应填1.

5tan2α＋14＋1

5

答案：(1)－1 (2) (3)1

7

评析：这是一组在已知tanα＝m的条件下，求关于sinα、cosα的齐次式(即次数相同)的问题，解答这类“已知某个三角函数，求其余三角函数值”的问题的常规思路是：利用同角间的三角函数关系，求出其余三角函数值，这就需要根据m的取值符号，确定α角所在的象限，再对它进行讨论．这样计算相当繁琐，而在这里灵活地运用“1”的代换，将所求值的式子的分子、分母同除以cosnα，用tannα表示出来，从而简化了解题过程，我们应熟练掌握这种解法．更主要的是由此进一步领悟“具体问题、具体分析”的辩证思想方法．

8．化简

cos(－θ)cos(90°＋θ)

－2 2cos(360°－θ)·tan(180°－θ)cos(270°＋θ)·sin(－θ)＝________.

解析：直接利用三角函数的诱导公式进行化简可得原式＝－1. 答案：－1

π1

α－＝，则 9．(2010·广州模拟)已知sin43π

cos4＋α＝________.

πππ

＋α＝cos－4－α 解析：cos42



ππ1－α＝－sinα－＝－. ＝sin4431

答案：－

3

10．设α＝sin(sin2008°)，b＝sin(cos2008°)，c＝cos(sin2008°)，d＝cos(cos2008°)，则a，b，c，d从小到大的顺序是________．

解析：∵2008°＝5×360°＋180°＋28°， ∴a＝sin(－sin28°)＝－sin(sin28°)<0， b＝sin(－cos28°)＝－sin(cos28°)<0， c＝cos(－sin28°)＝cos(sin28°)>0， d＝cos(－cos28°)＝cos(cos28°)>0， 又sin28°三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

π

－x＝1，求6sinx＋4tan2x－3cos2(π－x)11．(2011·兰州模拟题)已知3cos2(π＋x)＋5cos2

的值．

1

解：由已知得3cos2x＋5sinx＝1，即3sin2x－5sinx－2＝0，解得sinx＝－(sinx＝2舍去)．这

318sinx1－2＝，tan2x＝2＝， 时cosx＝1－39cosx8

2

2

11825

－＋4×－3×＝－. 故6sinx＋4tan2x－3cos2(π－x)＝6×389621

12．(1)已知tanα＝3，求sin2α＋cos2α的值．

3411

(2)已知＝1，求的值．

tanα－11＋sinαcosα221

sinα＋cos2α3421

解：(1)sin2α＋cos2α＝

34sin2α＋cos2α221221tanα＋×3＋34345＝2＝2＝.

8tanα＋13＋1(2)由

1

＝1得tanα＝2，

tanα－1

sin2α＋cos2α1

＝ 1＋sinαcosαsin2α＋cos2α＋sinαcosαtan2α＋1＝2 tanα＋tanα＋122＋15＝2＝. 2＋2＋17

1

13．已知在△ABC中，sinA＋cosA＝，

5(1)求sinA·cosA；

(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tanA的值．

1

分析：可先把sinA＋cosA＝两边平方得出sinA·cosA，然后借助于A∈(0，π)及三角函

5数符号法则可得sinA与cosA的符号，从而进一步构造sinA－cosA的方程，最后联立求解．

1

解：(1)∵sinA＋cosA＝①

51

∴两边平方得1＋2sinAcosA＝，

2512

∴sinA·cosA＝－.

25

12

(2)由(1)sinAcosA＝－<0，且025

可知cosA<0，∴A为钝角， ∴△ABC是钝角三角形． (3)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA 2449＝1＋＝，

2525

又sinA>0，cosA<0，∴sinA－cosA>0， 7

∴sinA－cosA＝②

5

43

∴由①，②可得sinA＝，cosA＝－，

55sinA4

∴tanA＝＝＝－.

cosA33

－5

1

评析：sinα·cosα与sinα－cosα，sinα＋cosα存在内在联系，即：sinα·cosα＝[(sinα＋cosα)2

21

－1]，sinα·cosα＝[1－(sinα－cosα)2]．可“知一求二”． 2

45