勾股定理练习题及答案(共6套)

1. 在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2BC2AC2的值是

（ ）

2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一

腰AB的长是______ cm（结果不取近似值）.

3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高

为_______．

m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆

地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？

5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折3m“路”断之前的高度是米.

4m第2题图 第 5

题图

6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶

正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?

7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货

苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.第7题图

8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，

BD=12cm。求CD的长.

9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2第8，题CD=3，求AB的长.

10. 第9如图，一个牧童在小河的南题图 4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多

少？

11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m

13m 5m

的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮忙计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?

116051213x,x213； 得，24.解：依题意，AB=16m，AC=12m，

12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻

在直角三角形ABC中,由勾股定理,

找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6

所以BC=20m,20+12=32(m),

千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时

故旗杆在断裂之前有32m高.

的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能

5.8

坚持联系吗？

6.解:如图,由题意得,AC=4000米,∠

第一课时答案：

1.A，提示：根据勾股定理得BCAC1，所以

222ABBCAC=1+1=2；

22BC2AB2AC2162122202,

C=90°,AB=5000米,由勾股定理得

22BC=500040003000(米),

2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为5m，而3+4-5=2m，所以他们少走了4步.

603.133020所以飞机飞行的速度为3600(千米/小时)

7. 解：将曲线沿AB展开，如图所示，过点C作CE⊥AB于E.

，提示：设斜边的高为x，根据股

定

理

求

斜

边

为

在

tCEF,CEF90R，EF=18-1-1=16

勾（cm），

1225216913 ，再利用面积法

130(cm)CE=2.60，

12.解：如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小B 时，

由勾股定理，得CF=CEEF301634(cm) 8. 解：在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得 在直角三角形CBD中，根据勾股定理，得CD=BC+BD=25+12=169，所以CD=13.

9.解：延长BC、AD交于点E.（如图所示）

因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米．

∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°又∵CD=3，∴

∵15＞13， ∴甲、乙两人还能坚持联系．

CE=6，∴BE=8，

设AB=x，则AE=2x，由勾股定理。得

(2x)2x282,x833

2

2

2

2

2222走了12千米，即OA=12．

O A 乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时， 走了5千米，即OB=5．

在Rt△OAB中，AB=12十5＝169，∴AB=13，

2

2

2

勾股定理的逆定理（2）

一、

选择题

10. 如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MNA′ 1.下列各组数据中，不克不及作为直角三角形三边长的是于点P，则A′B就是最短路线. 在Rt△A′DB中，由勾股定理求得A′B=17km

2213512m， 11.解：根据勾股定理求得水平长为

M P N （ ）

A A.9，12，15 B.B 53,1,44 C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，9

D 2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）

第10题

地毯的总长 为12+5=17（m），地毯的面积为17×2=34

2m（)，

∶2∶∶2∶5

3∶2∶5D. 三个内角比为

1∶2∶3

铺完这个楼道至少需要花为：34×18=612（元） 3.已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角

形，则第三边的长为（ ） A.

2 B.210 C.42或210

4. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） A B C D 二、填空题

5.△ABC的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是.

6.三边为9、12、15的三角形，其面积为.

a,b,c满足ab10,ab18，c8，则此三角形为三角形.

8.在三角形ABC中，AB=12cm，AC=5cm，BC=13cm，则BC边

上的高为AD=cm. 三、解答题

9. 如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，

CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.

第9题图

10. 如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，1且

AB=4，CE=4BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.

A D

11. 如图，AB F为一棵大树，在树上距地面

10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的B E C C处有一筐水果，一只猴子从

第10题D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，

另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.

A 12.D . 如图，为修通铁路凿通隧道AC，量出∠A=40°∠B＝50°，AB＝5公里，BC＝4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才干把隧道B C AB凿通？ 18.2第勾股定理的逆定理答案：11题

一、1.C；2.C；3.C，提示：当已经给出的两边分别为直角

边时，第三边为斜边=

2262210;当6为斜边时，第三边为直角边=622242；4. C；

°提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以

最大的内角为

90°.6.，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角

1912.2三角形，面积为7.直角，提示：

(ab)2100,得a2b22ab100,a2b210021882c2AF2=20，∵AE2=EF2+AF2，

∴△AEF是直角三角形

11. 设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米，∴(x+10)+5=(15-x)，解得x=2，∴10+x=12；

（米）

12. 解：第七组，

a27115,b27(71)112,c1121113.

2

2

2

608.13，提示：先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角1112513AD2形，再利用面积法求得2；

三、9.解：连接AC，在Rt△ABC中，

第n组，a2n1,b2n(n1),c2n(n1)1

勾股定理的逆定理 （3）

AC=AB＋BC=3＋4=25， ∴AC=5.

在△ACD中，∵AC＋CD=25＋12=169，

而 AB=13=169，

∴AC＋CD=AB，∴∠ACD=90°． 故S1四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=21AB·BC＋21AC·CD=21×3×4＋22

2

2

2

2

2

2

2

22222

一、基础·巩固

1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）

A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶5

2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，×5

AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________ cm（结果不取近似值）. 图18图18－2－5 图18－2－6

×12=6＋30=36.

10. 解：由勾股定理得AE=25，EF=5，

2

2

3.如图18－2－5，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________.

4.如图18－2－6，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中1点，F为AD上的一点，且AF=4AD，试判断△EFC的形状. 5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？

图18－2－7

6.已知△ABC的三边分别为k2

－1，2k，k2

+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形. 二、综合·应用

7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？

8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2

=AD·BD.

求证：△ABC是直角三角形. 图18－2－8

9.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论 .图18－2－9

10.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2

+b2

+c2

+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状. 12.已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD的面积.

图18－2－10

参

一、基础·巩固

1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）

A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶5

思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：①有一个角是直角或两锐角互余；②两边的平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一半. 由A得有一个角是直角；B、C满足勾股定理的逆定理，所以应选D. 答案：D

2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________ cm（结果不取近似值）.

图18－2－4

解：过D点作DE∥AB交BC于E,

则△DEC是直角三角形.四边形ABED是矩形，

∴AB=DE.

∵∠D=120°，∴∠CDE=30°.

又∵在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，∴CE=5 cm.

根据勾股定理的逆定理得，DE=1025253 cm.

∴AB=

1025253 cm. 3.如图18－2－5，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________.

图18－2－5 图18－2－6

思路分析：因为△ABC是Rt△，所以BC2

+AC2

=AB2

,即S1+S2=S3，所以S3=12，因为S3=AB2

,所以

AB=S31223. 答案：23

4.如图18－2－6，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中1点，F为AD上的一点，且

AF=4AD，试判断△EFC

的形状.

思路分析：分别计算EF、CE、CF的长度，再利用勾股定

理的逆定理判断即可.

解：∵E为AB中点，∴BE=2.

∴CE2=BE2+BC2=22+42

=20.

同理可求得,EF2

=AE2

+AF2

=22

+12

=5,CF2

=DF2

+CD2

=32

+42

=25.

∵CE2+EF2=CF2

,

∴△EFC是以∠CEF为直角的直角三角形.

5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？

图18－2－7

思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB和△DBC是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.

解：在△ABD中，AB2

+AD2

=32

+42

=9+16=25=BD2

，所以△ABD为直角三角形，∠A =90°. 在△BDC中,

BD2

+DC2

=52

+122

=25+144=169=132

=BC2

. 所以△BDC是直角三角形，∠CDB =90°. 因此这个零件符合要求.

6.已知△ABC的三边分别为k2

－1，2k，k2

+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形.

思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.

证明：∵k2

+1>k2

－1,k2

+1－2k=(k－1)2

>0,即k2

+1>2k，∴k2

+1是最长边.

∵(k2

－1)2

+(2k)2

=k4

－2k2

+1+4k2

=k4

+2k2

+1=(k2

+1)2

, ∴△ABC是直角三角形. 二、综合·应用

7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？

思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形（例2已证）. 解：略

8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2

=AD·BD.

求证：△ABC是直角三角形.

图18－2－8

思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.

证明：∵AC2

=AD2

+CD2

，BC2

=CD2

+BD2

， ∴AC2

+BC2

=AD2

+2CD2

+BD2

=AD2

+2AD·BD+BD2

=（AD+BD）2

=AB2

.

∴△ABC是直角三角形.

9.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.

图18－2－9

思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OA、AB、OB的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△OAB是否是直角三角形即可.

解：∵ OA2

=OA2

2

2

2

1+A1A=3+1=10, OB2

=OB2

2

2

2

1+B1B=2+4=20,

AB2=AC2+BC2=12+32

=10, ∴OA2

+AB2

=OB2

.

∴△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形.

10.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2

－b2c2

=a4

－b4

，试判断△ABC的形状.

解：∵a2c2

－b2c2

=a4

－b4

，(A)∴c2

(a2

－b2

)=(a2

+b2

)(a2

－b2

)，(B)∴c2

=a2

+b2

，（C)∴△ABC是直角三角形.

问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______；

②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________.

思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了a有可能等于b这一条件，从而得出的结论不全面.

答案：①(B) ②没有考虑a=b这种可能，当a=b时△ABC是等腰三角形；③△ABC是等腰三角形或直角三角形.

11.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2

+b2

+c2

+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状. 思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0，则都为0；(3)已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.

解：由已知可得a2

－10a+25+b2

－24b+144+c2

－26c+169=0, 配方并化简得,(a－5)2

+(b－12)2

+(c－13)2

=0. ∵(a－5)2

≥0,(b－12)2

≥0,(c－13)2

≥0. ∴a－5=0,b－12=0,c－13=0. 解得a=5,b=12,c=13. 又∵a2

+b2

=169=c2

, ∴△ABC是直角三角形.

12.已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.

求：四边形ABCD的面积.

图18－2－10

思路分析：（1）作DE∥AB，连结BD，则可以证明

△ABD≌△EDB（ASA）；

(2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；(3)在△DEC中，3、4、5为勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.

解：作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）,

∴DE=AB=4，BE=AD=3. ∵BC=6,∴EC=EB=3. ∵DE2

+CE2

=32

+42

=25=CD2

, ∴△DEC为直角三角形. 又∵EC=EB=3,

∴△DBC为等腰三角形，DB=DC=5. 在△BDA中AD2

+AB2

=32

+42

=25=BD2

, ∴△BDA是直角三角形.

11它们的面积分别为S△BDA=2×3×4=6;S△DBC=2×6×4=12.

∴S四边形ABCD=S△BDA+S△DBC=6+12=18.

勾股定理的应用（4）

1

π，S2=8π，S3π，把三个半圆拼成如图所示的图形，则△ABC一定是直角三角形吗？说明理由。

2.求知中学有一块四边形的空地ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经丈量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200天，问学校需要投入多少资金买草皮？

3..（12分）如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长。

4.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多

少？

小5.（8分）观察下列各式，你有什么发现？ 32

=4+5，52

=12+13，72

=24+25 9牧A 2=40+41北……这到底是 东

B 小

巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？ （1）填空：132

=+

（2）请写出你发现的规律。

（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，BC=6，AC=8， 求AB、CD的长

17的点（不写作法，但要保存画图痕迹）

8.已知如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求这个四边形的面积

9._A

如图，每个小方格的边长都为 _D

1．求图中格点四边形ABCD的面积。_B C_

勾股定理复习题（5）

一、填空、选择题题：

3.有一个边长为5米的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这

个洞口，圆的直径至少为（ ）米。

4、一旗杆离地面6米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8

米处，则旗杆折断之前的高度是（ ）米。

6、

在△ABC中，∠C=90°,AB=10。 (1)若∠A=30°,则BC=，AC=。(2)若∠A=45°,则BC=，AC=。

8、在△ABC中，∠C=90°，AC=0.9cm,BC=1.2cm.则斜边上的高CD=m

11、三角形的三边

a b c，满足

(ab)2c22ab，则此三角形是三角形。

12、小明向东走80米后，沿另一方向又走了60米，再沿第

三个方向走100米回到原地。小明向东走80米后又向方向走的。

13、ABC中，AB=13cm ,BC=10cm ，BC边上的中线AD=12cm则 AC的长为 cm

14、两人从同一地点同时出发，一人以3米/秒的速度向北

直行，一人以4米/秒的速度向东直行，5秒钟后他们相距米.

15、写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

⑴两直线平行，内错角相等。（ ）

⑵如果两个实数相等，那么它们的平方相等。 （ ）

⑶若a2b2 ，则a=b（ ）

⑷全等三角形的对应角相等。（ ）

⑸角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 （ ）

16、下列各组线段组成的三角形不是直角三角形的是（ ）

(A)a=15 b=8 c=17 (B) a:b:c=1:3: 2

68(C) a=2 b=5 c=5 (D) a=13 b=14 c=15

17、若一个三角形的三边长为6,8,x,则使此三角形是直角三角形的x的值是( ).

A.8 B.10 C.2828 18、下列各命题的逆命题不成立的是( )

A.两直线平行,同旁内角互补 B.若两个数的绝

对值相等,则这两个数相等

C.对顶角相等 D.如果a=b或a+b=0,那么a2b2

二、解答题：

19、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正有一根芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？

20、一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少? (其中丈、尺是长度单位,1丈=10尺)

21、某港口位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航号”沿东南方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？

23、一根70cm的木棒,要放在长、宽、高分别是

50cm,40cm,30cm的长方体木箱中,能放进去吗?(提示:长

方体的高垂直于底面的任何一条直线.)

22、请在数轴上标出暗示5的点

勾股定理复习题（6）

1、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,•则这条小路的面积是多少?

2、如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9。

(1)求DC的长。(2)求AB的长。

C 3、如图9，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km的B

A

D

B

处有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶.我边防海警

即刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才干恰好在C处将可疑船只截住？

B 8km

C

4、如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走6km

40米，

出发点A 10

再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.求小明到达的终止点与原出发点的距离.20

40

40

70

终止点

5、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，•长BC•为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？•

6.如图，从电线杆离地6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？

7、如图，一架长2.5 m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时，梯底距墙底端0.7 m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m，则梯子的底端将滑出多少米？（8分）

8、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，

间的数量关系.

BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积.

（8分）

A D

B C

9.如图，在△ABC中，AB=AC（12分）

（1）P为BC上的中点，求证：AB－AP=PB·PC；

（2）若P为BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；

（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之

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