2020-2021学年江苏省南京市金陵中学、一中高一（上）期中数
学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x﹣2≥0，x∈R}，则A∩B＝（ ） A．{3}
B．{2，3}
C．{2}
D．{1，2，3}
2．（5分）命题“∃x0∈R，x02﹣1≥0”的否定是（ ） A．∃x0∈R，x02﹣1＜0 C．∀x∈R，x2﹣1≤0 3．（5分）函数y＝A．[﹣1，] C．（﹣∞，﹣1]
+
B．∃x0∈R，x02﹣1≤0 D．∀x∈R，x2﹣1＜0
的定义域为（ ）
B．（﹣∞，]
D．（﹣∞，﹣1]∪（﹣1，]
4．（5分）函数f（x）＝的最小值为（ ）
A．3
5．（5分）函数y＝
B．2 C．2 D．1
的图象大致为（ ）
A． B．
C．
6．（5分）若函数f（x）＝范围是（ ）
D．
在R上是增函数，则实数a的取值
第1页（共18页）
A．[﹣4，﹣] B．[，4] C．[﹣3，4] D．[3，]
7．（5分）若关于x的不等式ax2+2x+1＜0有实数解，则a的取值范围是（ ） A．（0，1]
B．[0，1]
C．（﹣∞，1]
D．（﹣∞，1）
8．（5分）若非空数集G满足“对于∀a，b∈G，都有a+b，a﹣b，ab∈G，且当b≠0时，∈G”，则称G是一个“理想数集”，给出下列四个命题： ①0是任何“理想数集”的元素；
②若“理想数集”M有非零元素，则N*⊆M ③集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个“理想数集”； ④集合T＝{x|x＝a+
b，a，b∈Z}是“理想数集”．
其中真命题的个数是（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分） 9．（5分）以下说法中正确的有（ ）
A．“f（x）是定义在R上的偶函数”的含义是“存在x∈R，使得f（﹣x）＝f（x）” B．“f（x）是定义在R上的增函数”的含义是“∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）”
C．设M，P是两个非空集合，则M⊆P的含义是“对于∀x∈M，x∈P”
D．设f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）＝0”是“f（x）是奇函数”的必要条件 10．（5分）已知a，b，c，d∈R，则下列结论中正确的有（ ） A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若
，则a＞b
C．若a＞b＞0，ac＞bd＞0，则c＞d D．若
，则a＜b
11．（5分）下列说法中不正确的有（ ）
A．设A，B是两个集合，若A∪B＝A∩B，则A＝B B．函数y＝
与y＝
为同一个函数
第2页（共18页）
C．函数y＝+的最小值为2
D．设y＝f（x）是定义在R上的函数，则函数y＝xf（|x|）是奇函数 12．（5分）若函数f（x）同时满足：
①对于定义域内的∀x，都有f（x）+f（﹣x）＝0； ②对于定义域内的∀x1，x2当x1≠x2时，都有值函数”．
下列函数中，是“颜值函数”的有（ ） A．f（x）＝ B．f（x）＝x2 C．f（x）＝D．f（x）＝﹣2x
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13．（5分）设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x﹣1|＜1”的 条件（填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”“既不充分也不必要”）．
14．（5分）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）＝x2+x+2，则f（1）+g（1）＝ ．
15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝a与函数y＝|x﹣a|+2﹣a的图象有且只有一个公共点，则实数a的值为 ． 16．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y＝2，则
的最小值为 ．
＜0则称函数f（x）为“颜
三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 17．（10分）计算：
（1）lg52+lg8+lg5•lg20+（lg2）2； （2）π0﹣（8
）2+
﹣
×（4
）1．
﹣
第3页（共18页）
18．（12分）设全集U＝R，已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|≤x≤2m}．
（1）求A∩B和（∁UA）∪B；
（2）若B∩C＝C，求实数m的取值范围．
＜0}，C＝{x|m﹣1
19．（12分）设函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R），已知f（x）＜0的解集为区间（﹣1，3）． （1）求b，c的值；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣ax在区间[0，2]上的最小值为﹣4，求实数a的值． 20．（12分）根据试验检测，一辆P型运输汽车在高速公路上匀速行驶时，耗油率（L/h）近似与车速（km/h）的平方成正比，且当车速是100km/h时，耗油率为
L/h．已知A，
B两地间有一条长130km的高速公路，最低限速60km/h，最高限速120km/h．若某环保公司用一辆该型号运输车将垃圾从A地转运至B地，已知过路费为40元，支付给雇用司机的工资平均每小时80元．假设汽油的价格是8元/L，汽车匀速行驶（起步、必要的减速或提速等忽略不计），问：当行车速度为多少时，转运一次的总费用最低？最低为多少元？
21．（12分）已知函数f（x）＝（1）求实数a的值；
（2）求证：f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；
（3）若对任意的x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤m2﹣2m﹣2，求实数m的取值范围．
22．（12分）设f（x）是R上的减函数，且对任意实数x，y，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）；函数g（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论； （2）若a＝﹣1，b＝5，且______．
（①存在t∈[﹣3，2]； ②对任意t∈[﹣3，2]），
不等式f（g（t）﹣1）+f（3t+m）＞0成立，求实数m的取值范围； 请从以上两个条件中选择一个填在横线处，并完成求解．
（3）当a＞0时，若关于x的不等式g（x）≤0与g（g（x））≤3的解集相等且非空，求a的取值范围．
为奇函数．
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2020-2021学年江苏省南京市金陵中学、一中高一（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x﹣2≥0，x∈R}，则A∩B＝（ ） A．{3}
B．{2，3}
C．{2}
D．{1，2，3}
【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可． 【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{x|x≥2}， ∴A∩B＝{2，3}． 故选：B．
【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）命题“∃x0∈R，x02﹣1≥0”的否定是（ ） A．∃x0∈R，x02﹣1＜0 C．∀x∈R，x2﹣1≤0
【分析】根据特称命题的否定形式进行判断
【解答】解：命题“∃x0∈R，x02﹣1≥0”的否定是∀x∈R，x2﹣1＜0， 故选：D．
【点评】本题考查了命题的否定，属于基础题． 3．（5分）函数y＝A．[﹣1，] C．（﹣∞，﹣1]
+
的定义域为（ ）
B．（﹣∞，]
D．（﹣∞，﹣1]∪（﹣1，]
，然后解出x的范围即可． 且x≠﹣1，
B．∃x0∈R，x02﹣1≤0 D．∀x∈R，x2﹣1＜0
【分析】可看出，要使得原函数有意义，需满足【解答】解：要使原函数有意义，则∴原函数的定义域为：故选：D．
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，解得．
【点评】本题考查了函数定义域的定义及求法，区间的定义，考查了计算能力，属于基础题．
4．（5分）函数f（x）＝的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．2 D．1
【分析】先研究函数在每一段的单调性，分别求出它们的最值，然后求解函数的最值，就是大中取大，小中取小．
【解答】解：对于函数函数f（x）＝，
当x≤1时，f（x）＝x2﹣2x+3．在（﹣∞，1]上递减； 所以此时ymin＝f（1）＝2， 当x＞1时，f（x）＝x+≥2综上可知原函数的最小值为：2． 故选：C．
【点评】本题考查分段函数的性质，一般来讲分段函数的处理原则：分段函数，分段处理．如本题求最值，应先在每一段上求它们的最大（小）值，最后大中取大．小中取小． 5．（5分）函数y＝
的图象大致为（ ）
＝2
，当且仅当x＝
，取等号，
A．
B．
C．
第6页（共18页）
D．
【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断． 【解答】解：函数y＝函数y＝f（x）＝故排除A，C，
当x＞0时，y＝f（x）＞0，故排除D， 故选：B．
【点评】本题考查了函数图象的识别，属于基础题． 6．（5分）若函数f（x）＝范围是（ ） A．[﹣4，﹣
]
B．[
，4]
C．[﹣3，4]
D．[3，
]
在R上是增函数，则实数a的取值
的定义域为实数集R，关于原点对称， ，则f（﹣x）＝﹣
＝﹣f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，
【分析】根据分段函数的单调性的判断方法建立不等式组，即可求解．
【解答】解：要满足已知题意，只需，
解得故选：B．
，
【点评】本题考查了分段函数的单调性，考查了学生解不等式的能力，属于基础题． 7．（5分）若关于x的不等式ax2+2x+1＜0有实数解，则a的取值范围是（ ） A．（0，1]
B．[0，1]
C．（﹣∞，1]
D．（﹣∞，1）
【分析】讨论a＝0、a＜0和a＞0时，求出不等式有解时a的取值范围． 【解答】解：a＝0时，不等式为2x+1＜0，有实数解，满足题意；
a＜0时，一元二次不等式为ax2+2x+1＜0，不等式对应的二次函数开口向下，所以有实数解；
a＞0时，一元二次不等式为ax2+2x+1＜0，应满足△＝4﹣4a＞0，解得a＜1；
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综上知，a的取值范围是（﹣∞，1）． 故选：D．
【点评】本题考查了不等式有解的应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题． 8．（5分）若非空数集G满足“对于∀a，b∈G，都有a+b，a﹣b，ab∈G，且当b≠0时，∈G”，则称G是一个“理想数集”，给出下列四个命题： ①0是任何“理想数集”的元素；
②若“理想数集”M有非零元素，则N*⊆M ③集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个“理想数集”； ④集合T＝{x|x＝a+
b，a，b∈Z}是“理想数集”．
其中真命题的个数是（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】利用已知条件中理想数集的定义判断命题的真假，题目中给出了对两个实数的四种运算，要满足对四种运算的封闭，只有一一验证．
【解答】解：对于①，设a＝b∈G，显然有a﹣a∈G，即0∈G，故0是任何“理想数集”的元素，故①正确； 对于②：当a＝b时，显然有正确；
对于③：易知2∈P，而对于④：a，b∈Z，故1+2故选：B．
【点评】本题考查学生对于新定义题型的理解和把握能力，理解“理想数集”的定义是解决该题的关键，题目着重考察学生的构造性思维，属于难题．
二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分） 9．（5分）以下说法中正确的有（ ）
A．“f（x）是定义在R上的偶函数”的含义是“存在x∈R，使得f（﹣x）＝f（x）” B．“f（x）是定义在R上的增函数”的含义是“∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）”
第8页（共18页）
，则1+1，2+1，…，N+1∈M，所以N*∈M，故②
，故③错误； ∈T，而
，故④错误．
C．设M，P是两个非空集合，则M⊆P的含义是“对于∀x∈M，x∈P”
D．设f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）＝0”是“f（x）是奇函数”的必要条件 【分析】根据偶函数的定义即可判断A；由增函数的定义即可判断B；由子集的定义即可判断C；由充分必要条件的定义即可判断D．
【解答】解：对于A，“f（x）是定义在R上的偶函数”的含义是“对任意的x∈R，都有f（﹣x）＝f（x）”，故A错误；
对于B，“f（x）是定义在R上的增函数”的含义是“∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）”，故B正确；
对于C，由子集的定义可知C正确；
对于D，若f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，
若f（x）是定义在R上的函数，且f（0）＝0，不能得出f（x）为奇函数，例如f（x）＝x2，
故“f（0）＝0”是“f（x）是奇函数”的必要条件，故D正确． 故选：BCD．
【点评】本题主要考查函数奇偶性单调性的定义，考查子集的定义，充要条件的定义，属于中档题．
10．（5分）已知a，b，c，d∈R，则下列结论中正确的有（ ） A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若
，则a＞b
C．若a＞b＞0，ac＞bd＞0，则c＞d D．若
，则a＜b
【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．
【解答】解：对于A，若ac2＞bc2，则a＞b，故A正确； 对于B，若＜0＜，则a＜0＜b，故B错误；
对于C，取a＝9，b＝1，c＝2，d＝3，满足a＞b＞0，ac＞bd＞0，但c＜d，故C错误； 对于D，若故选：AD．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
第9页（共18页）
，则﹣＝＞0，则b＞a，故D正确．
11．（5分）下列说法中不正确的有（ ）
A．设A，B是两个集合，若A∪B＝A∩B，则A＝B B．函数y＝C．函数y＝
与y＝
+
为同一个函数 的最小值为2
D．设y＝f（x）是定义在R上的函数，则函数y＝xf（|x|）是奇函数
【分析】由集合的基本运算即可判断A；判断定义域与解析式是否相同即可判断B；利用换元及对勾函数的性质即可判断选项C；由函数的奇偶性的定义即可判断D． 【解答】解：对于A，设A，B是两个集合，若A∪B＝A∩B，则A＝B，故A正确； 对于B，函数y＝
＝|x|，函数y＝
＝x，两函数定义域相同，解析式不同，故不
是同一函数，故B错误； 对于C，令t＝取得最小值为所以函数y＝
， +
的最小值为
，故C错误；
≥
，则y＝+t在[
，+∞）上单调递增，所以当t＝
时，
对于D，函数y＝g（x）＝xf（|x|），g（﹣x）＝﹣xf（|﹣x|）＝﹣xf（|x|）＝﹣g（x）， 所以函数y＝xf（|x|）是奇函数，故D正确． 故选：BC．
【点评】本题主要考查即可得基本运算，同一函数的判断，函数最值的求法，以及函数奇偶性的判断，属于中档题． 12．（5分）若函数f（x）同时满足：
①对于定义域内的∀x，都有f（x）+f（﹣x）＝0； ②对于定义域内的∀x1，x2当x1≠x2时，都有值函数”．
下列函数中，是“颜值函数”的有（ ） A．f（x）＝ B．f（x）＝x2
第10页（共18页）
＜0则称函数f（x）为“颜
C．f（x）＝D．f（x）＝﹣2x
【分析】先理解已知两条性质反映的函数性质，①f（x）为奇函数，②f（x）为定义域上的减函数，由此判断各选项是否同时具备两个性质即可．
【解答】解：依题意，性质①反映函数f（x）为定义域上的奇函数，性质②反映函数f（x）为定义域上的减函数，
对于A，f（x）＝为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，其单调区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故A不是“颜值函数”；
对于B，f（x）＝x2为定义域上的偶函数，故B不是“颜值函数”； 对于C，函数f（x）＝
的图象如图所示，
显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故C是“颜值函数”．
对于D，f（x）＝﹣2x为定义域上的奇函数，且是定义域上的减函数，故D是“颜值函数”． 故选：CD．
【点评】本题主要考查了抽象表达式反映的函数性质，对新定义函数的理解能力，奇函数的定义，函数单调性的定义，基本初等函数的单调性和奇偶性及其判断方法，复合函数及分段函数的单调性和奇偶性的判断方法，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位
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置上.
13．（5分）设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x﹣1|＜1”的 必要且不充分 条件（填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”“既不充分也不必要”）．
【分析】解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案． 【解答】解：∵|x﹣1|＜1，∴0＜x＜2， ∵0＜x＜5推不出0＜x＜2， 0＜x＜2⇒0＜x＜5，
∴0＜x＜5是0＜x＜2的必要且不充分条件， 即0＜x＜5是|x﹣1|＜1的必要且不充分条件 故答案为：必要且不充分．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．
14．（5分）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）＝x2+x+2，则f（1）+g（1）＝ 2 ．
【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣1）﹣g（﹣1）＝（﹣1）2﹣1+2＝2，结合函数的奇偶性可得f（﹣1）﹣g（﹣1）＝f（1）+g（1），即可得答案． 【解答】解：根据题意，f（x）﹣g（x）＝x2+x+2， 则f（﹣1）﹣g（﹣1）＝（﹣1）2﹣1+2＝2，
又由函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数， 则f（﹣1）﹣g（﹣1）＝f（1）+g（1）＝2． 故答案为：2．
【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．
15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝a与函数y＝|x﹣a|+2﹣a的图象有且只有一个公共点，则实数a的值为 1 ．
【分析】由已知可转化为函数y＝2a﹣2与函数y＝|x﹣a|的图象只有一个交点，利用函数的图象性质即可求解．
【解答】解：由已知可令a＝|x﹣a|+2﹣a， 可得：2a﹣2＝|x﹣a|，
可看成函数y＝2a﹣2与函数y＝|x﹣a|图象只有一个公共点， 而函数y＝|x﹣a|是以x＝a为对称轴，最小值为0的函数，
第12页（共18页）
所以要满足题意只需令2a﹣2＝0，即a＝1， 故答案为：1
【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，属于基础题． 16．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y＝2，则
的最小值为 16 ．
【分析】由
本不等式即可求得最小值．
＝+++＝++（+）（x+2y），利用基
【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝2， ∴4+2当且仅当
＝16， ＝
时，取得最小值16． ＝
+
++＝
+
+（+）（x+2y）＝
+
+4≥
故答案为：16．
【点评】本题考查了利用基本不等式性质求最值问题，属于基础题． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 17．（10分）计算：
（1）lg52+lg8+lg5•lg20+（lg2）2； （2）π0﹣（8
）2+
﹣
×（4
）1．
﹣
【分析】（1）利用对数的运算性质求解． （2）利用有理数指数幂的运算性质求解．
【解答】解：（1）原式＝2lg5+2lg2+lg5•lg20+（lg2）2 ＝2+lg5•（2lg2+lg5）+（lg2）2 ＝2+（lg5）2+2lg5•lg2+（lg2）2 ＝2+（lg5+lg2）2 ＝2+1 ＝3．
（2）原式＝1﹣
+×
第13页（共18页）
＝1﹣16+2 ＝﹣13．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质和有理数指数幂的运算性质，是基础题． 18．（12分）设全集U＝R，已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|≤x≤2m}．
（1）求A∩B和（∁UA）∪B；
（2）若B∩C＝C，求实数m的取值范围．
【分析】（1）可以求出集合A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|1＜x＜5}，然后进行交集、并集和补集的运算即可；
（2）根据B∩C＝C可得出C⊆B，然后讨论C是否为空集：C＝∅时，m﹣1＞2m；C≠∅
＜0}，C＝{x|m﹣1
时，，然后解出m的范围即可．
【解答】解：（1）A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|1＜x＜5}，U＝R， ∴A∩B＝{x|3≤x＜5}，∁UA＝{x|﹣2＜x＜3}，（∁UA）∪B＝{x|﹣2＜x＜5}； （2）∵B∩C＝C， ∴C⊆B，
①C＝∅时，m﹣1＞2m，解得m＜﹣1；
②C≠∅时，，解得；
综上得实数m的取值范围为．
【点评】本题考查了描述法的定义，交集、并集和补集的定义及运算，全集的定义，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
19．（12分）设函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R），已知f（x）＜0的解集为区间（﹣1，3）． （1）求b，c的值；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣ax在区间[0，2]上的最小值为﹣4，求实数a的值． 【分析】（1）由f（x）＜0的解集为区间（﹣1，3）可知x＝﹣1，x＝3是x2+bx+c＝0的解，然后结合方程的根与系数关系可求；
第14页（共18页）
（2）g（x）＝f（x）﹣ax＝x2﹣（a+2）x﹣3开口向上，对称轴x＝轴与已知区间的位置关系进行分类讨论可求．
，然后结合对称
【解答】解：（1）由f（x）＜0的解集为区间（﹣1，3）可知x＝﹣1，x＝3是x2+bx+c＝0的解， 故
，
解得，b＝﹣2，c＝﹣3，
（2）g（x）＝f（x）﹣ax＝x2﹣（a+2）x﹣3开口向上，对称轴x＝（i）﹣3＝﹣4， 解得，a＝（舍）， （ii）
即a≤﹣2时，函数g（x）在[0，2]上单调递增，g（x）min＝g（0）＝﹣3
，
即a≥2时，函数g（x）在[0，2]上单调递减，g（x）min＝g（2）＝﹣2a
≠﹣4，（舍）， （iii）当0（
）＝﹣3﹣
即﹣2＜a＜2时，函数g（x）在[0，2]上先减后增，g（x）min＝g
＝﹣4，
解得，a＝4（舍）或a＝0， 综上，a＝0．
【点评】本题主要考查了二次函数与二次不等式的相互转化关系的应用及二次函数闭区间上最值的求解，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．
20．（12分）根据试验检测，一辆P型运输汽车在高速公路上匀速行驶时，耗油率（L/h）近似与车速（km/h）的平方成正比，且当车速是100km/h时，耗油率为
L/h．已知A，
B两地间有一条长130km的高速公路，最低限速60km/h，最高限速120km/h．若某环保公司用一辆该型号运输车将垃圾从A地转运至B地，已知过路费为40元，支付给雇用司机的工资平均每小时80元．假设汽油的价格是8元/L，汽车匀速行驶（起步、必要的减速或提速等忽略不计），问：当行车速度为多少时，转运一次的总费用最低？最低为多少元？
【分析】设车速为xkm/h，用x表示出油耗和行车时间，得出总费用关于x的函数，根据基本不等式求出费用最小值．
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【解答】解：设车速为xkm/h，耗油率m（x）＝kx2，则由题意可得m（100）＝10000k＝∴k＝
，
＝
．
，
∴从A地到B地消耗汽油的价钱为司机的工资为
＝
，
≥2
故从A地到B地的总费用f（x）＝当且仅当
＝300元．
，即x＝80∈[60，120]时取等号．
∴从A地到B地的车速是80km/h时，转运一次的总费用最低为300元．
【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查函数解析式求解，函数最值的计算，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝（1）求实数a的值；
（2）求证：f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；
（3）若对任意的x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤m2﹣2m﹣2，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由f（x）为奇函数，结合奇函数的定义代入可求；
（2）结合单调性定义，设2≤x1＜x2，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；
（3）结合（2）中单调性即可求解函数最值． 【解答】解：（1）因为f（x）＝所以f（﹣x）＝﹣f（x）， 所以
整理可得，ax＝0， 所以a＝0，
（2）证明：由（1）可得f（x）＝
＝x+，
，
，
为奇函数，x≠0， 为奇函数．
设2≤x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+
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＝x1﹣x2+＝（x1﹣x2）（1﹣）＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在区间[2，+∞）上是增函数； （3）由（2）可得f（x）＝x
在[2，4]上单调递增，
故f（x）max＝f（4）＝5，f（x）min＝f（2）＝4，
若对任意的x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤m2﹣2m﹣2， 所以1≤m2﹣2m﹣2， 解得m≥3或m≤﹣1．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的应用及判断，还考查了函数单调性在求解最值中的应用．
22．（12分）设f（x）是R上的减函数，且对任意实数x，y，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）；函数g（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论； （2）若a＝﹣1，b＝5，且______．
（①存在t∈[﹣3，2]； ②对任意t∈[﹣3，2]），
不等式f（g（t）﹣1）+f（3t+m）＞0成立，求实数m的取值范围； 请从以上两个条件中选择一个填在横线处，并完成求解．
（3）当a＞0时，若关于x的不等式g（x）≤0与g（g（x））≤3的解集相等且非空，求a的取值范围．
【分析】（1）令x＝y＝0，可得f（0），再令y＝﹣x，结合奇偶性的定义，即可得到结论； （2）分别选①②，将原不等式转化为﹣m＞t2+2t+4对t∈[﹣3，2]成立或恒成立，结合参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围；
（3）考虑g（x）＝0与g（g（x））＝3的解集相等，求得b＝3，再由g（x）≤0的解集，结合判别式的符号和因式分解，可得所求范围．
【解答】解：（1）令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+f（0），即f（0）＝0，再令y＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x），即f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为R上的奇函数； （2）①存在t∈[﹣3，2]．f（g（t）﹣1）+f（3t+m）＝f[（g（t）﹣1）+（3t+m）]＞0＝f（0），
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由f（x）是R上的减函数可得g（t）﹣1+（3t+m）＜0，即t2﹣t+4+3t+m＜0， 也即t2+2t+4+m＜0，可得﹣m＞t2+2t+4对t∈[﹣3，2]成立， y＝t2+2t+4＝（t+1）2+3在t＝﹣1时取得最小值4， 则﹣m＞3，即m＜﹣3；
选②任意t∈[﹣3，2]，f（g（t）﹣1）+f（3t+m）＝f[（g（t）﹣1）+（3t+m）]＞0＝f（0）， 由f（x）是R上的减函数可得g（t）﹣1+（3t+m）＜0，即t2﹣t+4+3t+m＜0， 也即t2+2t+4+m＜0，可得﹣m＞t2+2t+4在任意t∈[﹣3，2]恒成立， y＝t2+2t+4＝（t+1）2+3在t＝2时取得最大值12， 则﹣m＞12，即m＜﹣12；
（3）当a＞0时，若关于x的不等式g（x）≤0与g（g（x））≤3的解集相等且非空， 可得g（x）＝0与g（g（x））＝3的解集相等，可得g（0）＝3，即b＝3， g（x）＝x2+ax+3≤0，可得△＝a2﹣12≥0，即a≥2
（a≤﹣2
舍去），
又g（g（x）﹣3＝（x2+ax+3）2+a（x2+ax+3）+3﹣3＝（x2+ax+3）（x2+ax+3+a）， 由题意可得x2+ax+3+a≥0恒成立，可得△＝a2﹣4（a+3）≤0， 解得﹣2≤a≤6，又a＞0，可得0＜a≤6， 综上可得2
≤a≤6．
【点评】本题考查抽象函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立和成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
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