湖南科技大学)线性代数考试-试题-试卷

(200 -200 学年第一学期)

线性代数A 课程 院（系） 班级

考试时量 100分钟 学生人数 命题教师 系主任

交题时间：200 年 11 月 28 日 考试时间： 2008 年 12 月 14 日 选择题 1、设4阶行列式D的第i行第j列的元素为aij, 则D的展开式中, 下列各项符号为负的是（ A ）. A. a21a13a34a42； B. a12a23a31a44； C. a13a21a32a44；D. a11a22a33a44. 2、设A, B均为n阶方阵, I为n阶单位矩阵, 则有（ C ）. A. (AB)A2ABB； C. (A3I)(A3I)A9I； 2222 B. (AB)3A3B3； D. |5A||5||A|. 3、设向量组1,2,,m的秩为r, 则（ B ）. A. rm； B. rm； C. rm； D. rm. 1014、设0是矩阵A020的特征值,则a （ B ）. 10a A. 0 ； B. 1 ； C. 2 ； D. 3 . 5、同阶方阵A、B、C，已知A与B相似，B与C合同，则 （ A ）. A． A与C一定相似； B. A与C一定合同； C． A与C一定等价； D. A与C一定相等. 6、若向量组,,线性无关，,,线性相关，则 （ C ）. A. 必可由,,线性表示； B. 必不可由,,线性表示； C. 必可由,,线性表示； D. 必不可由,,线性表示. 共 2 页， 第 1 页，

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填空题（本大题共 6 空，每空3分，总计 18 分 ） x1x2x301、 若齐次线性方程组x1x2x30有非零解, 则 1 或= 1 . x2xx02312、设可逆方阵A的特征值为，则kA的特征值为 11. 3、设A为n阶方阵且|A|2, 则|3(A)A| . 4、已知向量(1,2,5,3)，(0,2,4,8)，则[,]= 8 . 225、设f(x1,x2,x3)x12kx2k2x32x1x2是正定二次型,则k的取值范围为 . 13三．计算行列式（本大题 12 分 ） 32333333333. 3n3四．求解矩阵方程 （本大题 12 分 ） 1112A31AXA3X已知矩阵方程, 且, 求矩阵X. 410 五．求下面向量组的秩及其极大线性无关组：（本大题12分） 1(1,1,2,4,1), 2(0,3,1,2,3), 3(3,0,7,14,6), 4(1,1,2,0,5)  x1 x2 x3 x4 x5 73x2x x x3x212345六．求右边方程组的全部解： .（本大题 12 分 ） x2x2x6x2323455x14x23x33x4x512 七．已知二次型 22fx12x2x34x1x24x1x34x2x3， （本大题共16分） 1. 写出f的矩阵A； （4分） 2. 求正交矩阵T，使得TAT (其中为对角阵)； （10分） 3. 写出f的标准型。 （2分） 共 2 页， 第 2 页.

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湖南科技大学潇湘学院考试试题纸（A卷）

(2008 -2009学年第一学期)

线性代数A 课程 专业 班级

考试时量 100分钟 学生人数 命题教师 系主任

交题时间：2008年 11月 28日 考试时间： 2008年 12 月 14 日

一 、单项选择题 （本大题共 5 小题，每小题4分，总计 20 分 ） 1、设4阶行列式D的第i行第j列的元素为aij, 则D的展开式中, 下列各项符号为负的是（ ）. A. a21a13a34a42； B. a12a23a31a44； C. a13a21a32a44；D. a11a22a33a44. 2、设A, B均为n阶方阵, I为n阶单位矩阵, 则有（ ）. A. (AB)A2ABB； C. (A3I)(A3I)A9I； 2222 B. (AB)3A3B3； D. |5A||5||A|. 3、设向量组1,2,,m的秩为r, 则（ ）. A. rm； B. rm； C. rm； D. rm. 1014、设是矩阵A020的一个特征值,则（ ）. 101 A. -1 ； B. 0 ； C. 1 ； D. 3 . 5、下列矩阵不一定为方阵的是（ ） A. 对称矩阵 B. 可逆矩阵 C. 线性方程组的系数矩阵 D. n阶矩阵的转置矩阵 二 、填空题（本大题共 6 空，每空3分，总计 18 分 ） x1x2x301、 若齐次线性方程组x1x2x30有非零解, 则 或= . x2xx02312、设可逆方阵A的特征值为，则kA的特征值为 共 2 页， 第 1 页，

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. 3、设A为3阶方阵且|A|2, 则|3(A)A| . 4、已知向量(1,2,5,3)，(0,2,4,8)，则[,]= . 225、设f(x1,x2,x3)x12kx2k2x32x1x2是正定二次型,则k的取值范围为 . 112三 、计算行列式（本大题 12 分 ） 2222223222. 22n2 四 、求解矩阵方程 （本大题 12 分 ） 111211231,B01已知矩阵方程BXA, 且A2, 求矩阵X. 104101 五 、求下面向量组的秩及其极大线性无关组：（本大题12分） 1(1,1,2,4,1), 2(0,3,1,2,3), 3(3,0,7,14,6), 4(1,1,2,0,5)  x1 x2 x3 x4 x5 03x2x x x3x012345六 、求右边方程组的全部解： .（本大题 12 分 ） x2x2x6x023455x14x23x33x4x50 122七 、已知实对称矩阵A212， （本大题共14分） 2211. 求矩阵A的特征值及其对应的特征向量； （8分） 2. 求正交矩阵T，使得TAT (其中为对角阵)； （6 分） 共 2 页， 第 2 页.

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湖南科技大学考试试题参及评分细则

（200 -200 学年第1 学期）

线性代数A 课程（A卷） 院（系） 班级

应试学生人数 实际考试学生人数 考试时量 100分钟

命题教师 唐运梅 审核人： 考试时间： 年 月 日 一、单项选择题 （本大题共 6 小题，每小题3分，总计 18 分 ） A C B B C C 二、填空题（本大题共 6 空，每空3分，总计 18 分 ） kn1、 1， 0 ； 2、 ； 3、 3 ； 4、 8 ； 5、 k >1 .  三、计算行列式（本大题 12 分 ） 133323333333 rir1122310300300300 （5分） i2,3,n200n40333n2000n3312000300003010030003000n32(1)(1)3000031000302003000300 （10分）n4n40n323123(n3)6(n3)! （12分） 注：该题还有其他解法，但是最后结果唯一。 四、求解矩阵方程 （本大题 12 分 ） 由AXA3X得：(A3E)XA （2分） 2112A3E01又，A3E10即A3E可逆，且 （5分） 101

5

A3E1011110 （9分） 0121将等式(A3E)XA两端左乘A3E，可得 330111111231320X(A3E)1A110 （12分） 370121040 五、求下面向量组的秩及其极大线性无关组：（本大题12分） 1031113010r2r1, 2, 3, 4)217A(102（2分）4214001365011r402r53r40r23r30003001111001100r4r200r3r2200003110000000333112233100（5分） 46122（9分） 00 （10分）  R(A)3, 则向量组1, 2, 3, 4的秩为3，其极大线性无关组如下： （12分） 1, 2, 4； 或 1, 3, 4； 或 2, 3, 4；（注：该题解答过程不唯一，极大无关组只要写出上述三个中的一组即可）  x1 x2 x3 x4 x5 73x2x x x3x212345六、求右边方程组的全部解： x22x32x46x523 .（本大题 12 分 ） 5x14x23x33x4x5121~3A05

1214112311711320262300311201151612262300000 （5分） 000006

~ R(A)R(A)2, 则方程组有解 x1 x3 x45x516  （6分） x22x32x46x523x3100 把x3,x4,x5看作自由未知量，取x0,1,0,则对应的齐次方程组的基础解4001x5系为 22 6 11,20,30     （9分）  010 001 而该非齐次方程组的一个特解为 故原方程组的一般解为 115(16,23,0.0.0)， （10分） xk11k22k33, k1,k2,k3为任意常数。（12分） 七、已知二次型 22fx12x2x34x1x24x1x34x2x3， （本大题共16分） 1221. f的矩阵为A212； （4分） 2212. 先求A的特征值 12 25 2 21 2 2AE 212512(5)0(1)0 2 215 210 0(1)(5)(1)2 A的特征值为121(二重)，35 （7分） 再求A的特征向量 对于121，求解齐次线性方程组(AE)x0 11221 1 1110001,0AE2112求得一基础解系为12， （9分） 221100001

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正交化，令 111121,12 0 112111 21 21,120 1 0 1再单位化，令 12661112,266 （11分） 1063对于35，求解齐次线性方程组(A5E)x0 222442224112242066011A5E242 2424002200001131求得一基础解系为31，只有一个向量，只要单位化，得331133，（13分） 312所求的正交矩阵为：T(1,2,3)12016116163133，且有 3100T1AT010 （14分） 005 3. f的标准型为

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22fy12y25y3 （16分） 湖南科技大学潇湘学院考试试题参及评分细则

（2008 -2009 学年第 1 学期）

线性代数A 课程（A卷） 专业 班级

应试学生人数 实际考试学生人数 考试时量 100 分 钟

命题教师 唐运梅 审核人： 考试时间： 年 月 日

一 、单项选择题 （本大题共 5 小题，每小题4分，总计 20 分 ） A C B B C 二 、填空题（本大题共 6 空，每空3分，总计 18 分 ） 1、 1， 0 ； 2、 k ； 3、 27 ； 4、 8 ； 5、 k >1 . 三、计算行列式（本大题 12 分 ） 122222223222 rir1111200201200200 （6分） i2,3,n100n30222n1000n2201000210002020020002002123(n2)2(n2)! （12分） 0n2n3注：该题还有其他解法，但是最后结果唯一。 四、求解矩阵方程 （本大题 12 分 ） 0111*1BB110B10即B可逆，且  （8分） B0121将等式BXA两端左乘B，可得 9

330111111231320XB1A110 （12分） 370121040 五、求下面向量组的秩及其极大线性无关组：（本大题12分） 1031113010r2r1, 2, 3, 4)217A(102（2分）4214001365011r402r53r40r23r30003001111001100rr4200r3r2200003110000000333112233100（5分） 46122（9分） 00 （10分）  R(A)3, 则向量组1, 2, 3, 4的秩为3，其极大线性无关组如下： （12分） 1, 2, 4； 或 1, 3, 4； 或 2, 3, 4；（注：该题解答过程不唯一，极大无关组只要写出上述三个中的一组即可）  x1 x2 x3 x4 x5 03x2x x x3x012345六、求右边方程组的全部解： .（本大题 12 分 ） x2x2x6x023455x14x23x33x4x5013A05121411231113263110000115122600000000 （5分）  R(A)25, 则方程组有无穷多解x1 x3 x4 x22x32x4

5x506x50 （6分） 10

x3100 把x3,x4,x5看作自由未知量，取x0,1,0,则方程组的基础解系为 4001x5115 226  2     1 1 ,   0 ,  3  0 （10分）  010001  故原方程组的一般解为 xk11k22k33, k1,k2,k3为任意常数。（12分） 122七、已知实对称矩阵A212， （本大题共14分） 2211. 先求A的特征值 12 25 2 21 2 2AE 212512(5)0(1)0 2 215 210 0(1)(5)(1)2 A的特征值为121(二重)，35 （5分） 再求A的特征向量 对于121，求解齐次线性方程组(AE)x0 11221 1 1110001,0AE2112求得一基础解系为 12， （7分）221100001对于35，求解齐次线性方程组(A5E)x0 222442224112242066011A5E242 2424002200001求得一基础解系为31. （8分） 1

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2. 将特征向量正交化、单位化得到所求正交阵： 正交化，令 11112,12 01 112111 21 21,120 1 0 1再单位化，令 12661112,266 （12分） 10631131对于31，只有一个向量，只要单位化，得331133， 312所求的正交矩阵为：T(1,2,3)12016116163133，且有 3100T1AT010 （14分） 005

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