2021年北京市门头沟区中考数学一模试卷(学生版+解析版)

2021年北京市门头沟区中考数学一模试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个

1．（2分）如图，在ABC中，BC边上的高是( )

A．CD

B．AE

C．AF

D．AH

2．（2分）根据国家卫健委官网统计，截至2021年4月10日，31个省（自治区、直辖市）和生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗147.1万剂次，将147.1万用科学记数法表示为( ) A．1.471104

B．1.471108

C．1.471109

D．1.4711010

3．（2分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )

A．等边三角形 B．平行四边形

C．等腰梯形 D．圆

4．（2分）某个几何体的展开图如图所示，该几何体是( )

A．三棱柱

B．三棱锥

C．长方体

D．圆柱

5．（2分）内角和与外角和相等的图形是( ) A．三角形

B．四边形

C．五边形

D．六边形

6．（2分）如图，直线AB，CD交于点O，射线OE平分COB，若BOD40，则AOE第1页（共31页）

等于( )

A．40

B．100

C．110

D．140

7．（2分）点a，b在数轴上的位置如图所示，且满足ab0，ab0，则原点所在的位置有可能是( )

A．点A

B．点B

C．点C

D．点D

8．（2分）在物理实验室实验中，为了研究杠杆的平衡条件，设计了如下实验，如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，则力F与力臂L满足的函数关系是( )

A．正比例函数关系 C．一次函数关系

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．（2分）如果式子x3在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 ．

10．（2分）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，那么BACACB C是网格线交点，

B．反比例函数关系 D．二次函数关系

．

第2页（共31页）

11．（2分）请你写出一个大于2小于3的无理数是 ． 12．（2分）已知xy1且|x|1，写出一组符合条件的值 ．

13．（2分）已知一元二次方程ax2x10(a0)，有两个实数根，则a的取值范围是 ． 14．（2分）如图，在O中，ACBC，AB8，半径r5，则DC ．

15．（2分）下面是某小区随机抽取的100户家庭的月用电量情况统计表： 月户用电量x（千瓦时/户/月） 户数（户) 5 22 27 31 15 x240 240x300 300x350 350x400 400 从中任意抽出一个家庭进行用电情况调查，则抽到的家庭月用电量为第二档（用电量大于240小于等于400为第二档）的概率为 ．

16．（2分）以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要 分钟． 用时 种类 米饭 炒菜1 准备时间加工时间（分钟） （分钟） 3 5 30 6 第3页（共31页）

炒菜2 汤 5 5 8 15 三、解答题（本题共68分，第17～21题每小题5分，第22～24题每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27～28题每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 117．（5分）计算：|2|(2021)02sin45()1．

22x13(x1)18．（5分）解不等式组：5x．

x3219．（5分）已知，如图，ABC是等边三角形，BDAC于D，E是BC延长线上的一点，

DBDE．求E的度数．

20．（5分）已知x24x10，求代数式(x2)2(x3)(x3)x2的值． 21．（5分）已知：ABC，CD平分ACB．

求作：菱形DFCE，使点F在BC边上点E在AC边上，下面是尺规作图过程作法：①分别1以C、D为圆心，大于CD为半径作弧，两弧分别交于点M、N；

2②作直线MN分别与AC、BC交于点E、F；

③连接DE、DF，DC与EF的交点记为点G；四边形DFCE为所求作的菱形． （1）利用直尺和圆规依做法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：DEEC，DFFC，

EF为DC的垂直平分线．

DEEC， EDCECD． CD平分ACB， ECDDCB．

第4页（共31页）

EDCDCB．

 // ( )（填推理依据）．

同理可证DF//CE，

四边形DFCE为平行四边形．

又 ，

四边形DFCE为菱形．

22．（6分）已知：如图，在菱形ABCD中，BEAD于点E，延长AD至F，使DFAE，连接CF．

（1）求证：四边形EBCF是矩形； （2）若sinA3，CF3，求AF的长． 5

k23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，正比例函数yx与反比例函数y(k0,x0)的

x图象相交于点P(1,1)． （1）求k的值；

（2）过点M(0,a)平行于x轴的直线，分别与第一象限内的正比例函数yx、反比例函数y

k1的图象相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)当a2时，求x1x2的取值范围． x2第5页（共31页）

24．（6分）如图，AB是O的直径，C是O上一点，D是OB中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F，FD上有一点E，CEEF． （1）求证：CE是O的切线；

3（2）如果sinF，EF1，求AB的长．

5

25．（5分）2021年是中国党成立100周年某中学面向学校全体师生征集“礼赞百年”活动作品，作品类别包括征文、书法、绘画．该中学学生小明统计了学校30个教学班上交活动作品的数量（单位：份），相关信息如下：

a．小明所在中学30个教学班上交作品的数量统计图：

第6页（共31页）

b．小明所在中学各班学生上交作品数量的平均数如表：

班级 初一年级初二年级初三年级 (10个班） (10个班） (10个班）平均数 110 80 40 （1）该中学各班学生上交作品数量的平均数约为 （结果取整数）；

（2）已知该中学全体教师上交作品的数量恰好是该校各班级中，上交作品数量最多的班级与最少的班级的数量差，则全体教师上交作品的数量为 份．

（3）记该中学初一年级学生上交作品数量的方差为s12，初二年级学生上交作品数量的方差

22为s2，初三年级学生上交作品数量的方差为s32．直接写出s12，s2，s32的大小关系．

26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数yx22tx1． （1）求该二次函数的对称轴；

（2）若点M(t2,m)，N(t3,n)在抛物线yx22x1上，试比较m、n的大小； （3）若对于1x13且x23，P(x1，y1)，Q(x2，y2)是抛物线yx22tx1上的任意两点，

第7页（共31页）

都有y1y2，求t的取值范围．

27．（7分）在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转(090)得到线段AE，AE与CD延长线相交于点F，过B作BG//AF交CF于点G，连接BE． （1）如图1，求证：BGC2AEB；

（2）当(4590)时，依题意补全图2，用等式表示线段AH，EF，DG之间的数量关系，并证明．

28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，点A是平面内一点，过点A的直线交O于点B和点C(ABAC)，0BC1，我们把点B称为点A关于O的“斜射点”． （1）如图，在点A1(1,1)，A2(0,31)，A3(，0)中，存在关于O的“斜射点”的是 ． 22（2）已知若A(0,2)，点A关于O的斜射点”为点B，则点B的坐标可以是 ．（写出两个即可）

（3）若点A直线ykxk上，点A关于O的“斜射点”为B(1,0)，画出示意图，直接写出k的取值范围．

第8页（共31页）

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2021年北京市门头沟区中考数学一模试卷

参与试题解析

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个

1．（2分）如图，在ABC中，BC边上的高是( )

A．CD 【解答】解：

B．AE

AFBC，

C．AF D．AH

BC边上的高是AF，

故选：C．

2．（2分）根据国家卫健委官网统计，截至2021年4月10日，31个省（自治区、直辖市）和生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗147.1万剂次，将147.1万用科学记数法表示为( ) A．1.471104

B．1.471108

C．1.471109

D．1.4711010

【解答】解：147.1万1.471108． 故选：B．

3．（2分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )

A．等边三角形 B．平行四边形

C．等腰梯形 D．圆

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；

第10页（共31页）

D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确．

故选：D．

4．（2分）某个几何体的展开图如图所示，该几何体是( )

A．三棱柱

B．三棱锥

C．长方体

D．圆柱

【解答】解：三个长方形和两个等腰三角形折叠后，能围成的几何体是三棱柱． 故选：A．

5．（2分）内角和与外角和相等的图形是( ) A．三角形

B．四边形

C．五边形

D．六边形

【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意 (n2)180360，

解得n4． 故选：B．

6．（2分）如图，直线AB，CD交于点O，射线OE平分COB，若BOD40，则AOE等于( )

A．40

B．100

C．110

D．140

【解答】解：BOD40，

AOCBOD40，BOC180BOD140，

11COEBOC14070，

22AOEAOCCOE4070110，

故选：C．

第11页（共31页）

7．（2分）点a，b在数轴上的位置如图所示，且满足ab0，ab0，则原点所在的位置有可能是( )

A．点A

B．点B

C．点C

D．点D

【解答】解：ab0，且数轴上a在b的左侧， a0，b0， ab0，

|a||b|，即a离原点的距离小于b离原点的距离，

点B可能是原点，

故选：B．

8．（2分）在物理实验室实验中，为了研究杠杆的平衡条件，设计了如下实验，如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，则力F与力臂L满足的函数关系是( )

A．正比例函数关系 C．一次函数关系

【解答】解：确保杠杆水平平衡，

力F与力臂L满足的函数关系是反比例函数关系，

B．反比例函数关系 D．二次函数关系

故选：B．

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．（2分）如果式子x3在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 x3 ． 【解答】解：

x3在实数范围内有意义，

x30，

解得x3． 故答案为：x3．

第12页（共31页）

10．（2分）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，那么BACACB C是网格线交点，135 ．

【解答】解：设小正方形的边长是1，则AOBO3，

AB323232， AOB是等腰直角三角形， OABOBA45， ADC90， DACDCA90，

BACACB180OABDAC90DCA 180904590 135，

故答案为：135．

11．（2分）请你写出一个大于2小于3的无理数是 【解答】解：24，39，

写出一个大于2小于3的无理数是5等．

5等 ．

故答案为5等．本题答案不唯一．

x212．（2分）已知xy1且|x|1，写出一组符合条件的值  ．

y1【解答】解：|x|1，

第13页（共31页）

x1或x1，

取x2，则xy1， y1

x2

y1x2故答案为：．

y113．（2分）已知一元二次方程ax2x10(a0)，有两个实数根，则a的取值范围是 a且a0 ．

【解答】解：关于x的一元二次方程ax2x10有两个实数根，

△b24ac(1)24a114a0，

14解得：a1， 41且a0． 4a的取值范围是a故答案为：a1且a0． 414．（2分）如图，在O中，ACBC，AB8，半径r5，则DC 2 ．

【解答】解：连接OA，如图所示： ACBC，AB8，

OCAB，ADBDADO90，

1AB4， 2在RtOAD中，由勾股定理得：ODOA2AD252423， DCOCOD532，

故答案为：2．

第14页（共31页）

15．（2分）下面是某小区随机抽取的100户家庭的月用电量情况统计表： 月户用电量x（千瓦时/户/月） 户数（户) 5 22 27 31 15 x240 240x300 300x350 350x400 400 从中任意抽出一个家庭进行用电情况调查，则抽到的家庭月用电量为第二档（用电量大于240小于等于400为第二档）的概率为 4 ． 5【解答】解：100户家庭中，用电量大于240小于等于400有22273180户，

抽到的家庭月用电量为第二档（用电量大于240小于等于400为第二档）的概率为

804 ，

1005故答案为：

4． 516．（2分）以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要 33 分钟． 用时 种类 米饭 炒菜1 炒菜2 汤 准备时间加工时间（分钟） （分钟） 3 5 5 5 30 6 8 15 【解答】解：33033（分钟）， 答：妈妈做晚饭最少要用33分钟， 故答案为：33．

三、解答题（本题共68分，第17～21题每小题5分，第22～24题每小题5分，第25题5

第15页（共31页）

分，第26题6分，第27～28题每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 117．（5分）计算：|2|(2021)02sin45()1．

2【解答】解：原式2122122

22 21．

2x13(x1)18．（5分）解不等式组：5x．

x32【解答】解：解不等式2x13(x1)，得x2， 解不等式

5x1x3，得x， 231则不等式组的解集为x2．

319．（5分）已知，如图，ABC是等边三角形，BDAC于D，E是BC延长线上的一点，

DBDE．求E的度数．

【解答】解：ABC是等边三角形， ABBC，ABC60， BDAC，

1DBCABD6030，

2DBDE，

EDBC30．

20．（5分）已知x24x10，求代数式(x2)2(x3)(x3)x2的值． 【解答】解：原式x24x4x29x2 x24x13， x24x10，

第16页（共31页）

x24x1，

则原式11314．

21．（5分）已知：ABC，CD平分ACB．

求作：菱形DFCE，使点F在BC边上点E在AC边上，下面是尺规作图过程作法：①分别1以C、D为圆心，大于CD为半径作弧，两弧分别交于点M、N；

2②作直线MN分别与AC、BC交于点E、F；

③连接DE、DF，DC与EF的交点记为点G；四边形DFCE为所求作的菱形． （1）利用直尺和圆规依做法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：DEEC，DFFC，

EF为DC的垂直平分线．

DEEC， EDCECD． CD平分ACB， ECDDCB． EDCDCB．

 DE // ( )（填推理依据）．

同理可证DF//CE，

四边形DFCE为平行四边形．

又 ，

四边形DFCE为菱形．

【解答】（1）解：如图，四边形DFCE为所求作；

第17页（共31页）

（2）证明：DEEC，DFFC，

EF为DC的垂直平分线．

DEEC， EDCECD． CD平分ACB， ECDDCB． EDCDCB．

， DE//CF（内错角相等两直线平行）同理可证DF//CE，

四边形DFCE为平行四边形．

又EDEC，

四边形DFCE为菱形．

故意答案为DE，CF，内错角相等两直线平行；EDEC．

22．（6分）已知：如图，在菱形ABCD中，BEAD于点E，延长AD至F，使DFAE，连接CF．

（1）求证：四边形EBCF是矩形； （2）若sinA3，CF3，求AF的长． 5

【解答】（1）证明：四边形ABCD菱形，

第18页（共31页）

ADBC，AD//BC，

又DFAE，

DFDEAEDE，

即：EFAD， EFBC，

四边形EBCF是平行四边形，

又BEAD，

BEF90．

四边形EBCF是矩形；

（2）解：四边形ABCD菱形， ABBC，

四边形EBCF是矩形， EFBC，BECF3，

BEAD，

AEB90，

sinA3BE，BE3， 5ABAB5，

2222EFBCAB5，AEABBE534，

AFAEEF459．

k23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，正比例函数yx与反比例函数y(k0,x0)的

x图象相交于点P(1,1)． （1）求k的值；

（2）过点M(0,a)平行于x轴的直线，分别与第一象限内的正比例函数yx、反比例函数y

k1的图象相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)当a2时，求x1x2的取值范围． x2第19页（共31页）

k【解答】解：（1）反比例函数y(k0,x0)的图象经过点P(1,1)，

x1k， 1k1，

（2）由题意得：y1y2a， x1y1a，x211， y2ax1x2aa0， a1， a112a2， aax1x22，

当a11111时，M(0,)，A(，)，B(2,)， 22222152， 22x1x21当a2，M(0,2)，A(2,2)，B(，2)，

2x1x2215， 225． 2x1x2的取值范围为：2x1x224．（6分）如图，AB是O的直径，C是O上一点，D是OB中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F，FD上有一点E，CEEF． （1）求证：CE是O的切线；

3（2）如果sinF，EF1，求AB的长．

5第20页（共31页）

【解答】（1）证明：如图1，连接OC，

FDAB，

1F90， CEEF，OAOC， 3F，12， 2390， ECO90， OCCE， OC是O的半径， CE是O的切线；

（2）解：如图2

FDAB，sinF3， 5设AD3k，AF5k，可得FD4k，

D为OB中点，

111ODDBOBOAAD，

223DBk，

连接CB交FD于点G，

AB为O直径，

ACBFCB90，

FB，

DBk，

第21页（共31页）

313GDk，可得FGk，

44FCB90， 5F34， F3， 45， CEEFEG，

EF1，

FG2，



813k2，k，

13432． 13AB4k

25．（5分）2021年是中国党成立100周年某中学面向学校全体师生征集“礼赞百年”活动作品，作品类别包括征文、书法、绘画．该中学学生小明统计了学校30个教学班上交活动作品的数量（单位：份），相关信息如下：

第22页（共31页）

a．小明所在中学30个教学班上交作品的数量统计图：

b．小明所在中学各班学生上交作品数量的平均数如表：

班级 初一年级初二年级初三年级 (10个班） (10个班） (10个班）平均数 110 80 40 （1）该中学各班学生上交作品数量的平均数约为 77 （结果取整数）；

（2）已知该中学全体教师上交作品的数量恰好是该校各班级中，上交作品数量最多的班级与最少的班级的数量差，则全体教师上交作品的数量为 份．

（3）记该中学初一年级学生上交作品数量的方差为s12，初二年级学生上交作品数量的方差

22为s2，初三年级学生上交作品数量的方差为s32．直接写出s12，s2，s32的大小关系．

【解答】解：（1）该中学各班学生上交作品数量的平均数为： 1101080104010230077（份)，

10101030故答案为：77．

（2）上交作品数量最多的班级是初一年级6班140份，最少的班级是初三年级10班10份，

第23页（共31页）

全体教师上交作品的数量14010130份， 故答案为：130；

（3）初一年级学生上交作品数量的方差为： s121(2021022022023023020102302102)420， 10初二年级学生上交作品数量的方差为： s221(10202102102022020102102102)100， 10初三年级学生上交作品数量的方差为： s321(202302102102022020102102202)250， 10420250100，

s12s32s22．

26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数yx22tx1． （1）求该二次函数的对称轴；

（2）若点M(t2,m)，N(t3,n)在抛物线yx22x1上，试比较m、n的大小； （3）若对于1x13且x23，P(x1，y1)，Q(x2，y2)是抛物线yx22tx1上的任意两点，都有y1y2，求t的取值范围．

【解答】解：（1）

yx22tx2(xt)2t22

抛物线的对称轴为直线xt；

（2）抛物线开口向上，对称轴为直线xt，

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点M(t3,m)关于对称轴的对称点为(t3,m)，

tt3t5，

mn，

故答案为；

（3）当t1时，此时1x13，x23都有y1y2，符合题意； 当t1时，令xx11时，y1y2，不符合题意． 综上所述：t1．

27．（7分）在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转(090)得到线段AE，AE与CD延长线相交于点F，过B作BG//AF交CF于点G，连接BE． （1）如图1，求证：BGC2AEB；

（2）当(4590)时，依题意补全图2，用等式表示线段AH，EF，DG之间的数量关系，并证明．

【解答】解：（1）证明：边AD绕点A逆时针旋转(090)得到线段AE，

ADAE，

正方形ABCD，

ABADAE， AEBABE，

BG//AF， AEBGBE， ABEAEBGBE， ABG2AEB，

正方形ABCD， AB//CD， BGCABG，

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BGC2AEB；

（2）补全图2如下：

线段AH，EF，DG之间的数量关系为：EFAHDG，理由如下：

在DC上取DNAH，连接AN交BG于M，交BE于P，连接HM，EM，如图：

正方形ABCD，

ABAD，ADNBAH90，

又DNAH，

ADNBAH(SAS)，

DNAAHB，DANABH， DNADAN90， DANAHB90， APH90， BPMBPA90，

由（1）知ABEGBE， 且BPBP，

ABPMBP(ASA)，

ABMB，

而BHBH，ABEGBE， ABHMBH(SAS)， HABHMB90，

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A、H、M、B共圆，

AHBAMBGMN， DNAGMN， GNGM，

CF//AB，BG//AF，

四边形ABGF是平行四边形，

BGAF，

AFADABMB，

EFGM， EFGN， GNDGDN， EFDGAH．

28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，点A是平面内一点，过点A的直线交O于点B和点C(ABAC)，0BC1，我们把点B称为点A关于O的“斜射点”． （1）如图，在点A1(1,1)，A2(0,A2 ．

31存在关于O的“斜射点”的是 A1，)，A3(，0)中，

22（2）已知若A(0,2)，点A关于O的斜射点”为点B，则点B的坐标可以是 ．（写出两个即可）

（3）若点A直线ykxk上，点A关于O的“斜射点”为B(1,0)，画出示意图，直接写出k的取值范围．

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【解答】解：（1）如图1，由图象可知，对于O外的任意一点A，都存在点A关于O的“斜射点”， 点A1在O外，

点A1存在关于

； O的“斜射点”

过点A2作弦B2C2与y轴垂直，连接OC2， 则A2C2A2B212(B2C21，

点A2存在关于

321)， 22； O的“斜射点”

过点A3作弦B3C3与x轴垂直，连接OB3， 设点O到弦B3C3的距离为d， 则A3B312d21d2，

当B3C3x轴时，d的值最大，此时A3B3的值最小，B3C3的值也最小； 13， A3B312()222B3C33， B3C31，

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点A3不存在关于

． O的“斜射点”

故答案为：A1，A2．

（2）如图2，设O交x轴于点C，

连接AC交O于点B，作ODAC于点D、BEy轴于点E， 则ODCODBAEB90， OA2，OC1，AOC90，

AC22125， BCCDOCcosACO1251， 5155， 5BC点B是点A关于； O的“斜射点”

AB52535， 55BEABsinOAC35131； 555BE1tanOAC， AE236AE2BE2，

55OE2， 5534B(，)．

5534同理，点B关于y轴的对称点也符合题意，其坐标为(，).

553434故答案为：(，)，(，)．

5555（3）如图3，当k0时，直线ykxk交y轴于点D(0,k)， 当OBD60时，连接OC， OCOB，

BOC是等边三角形， BCOB1，

此时，点B是点A关于O的“斜射点”， ODOBtan603，

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当OD3时，BC1，

k3；

如图4，当k0时，同理可得，当k3时，点B是点A关于O的“斜射点”． 综上所述，k的取值范围是：k3或k3．

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