2021年北京市门头沟区中考数学一模试卷
一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个
1.(2分)如图,在ABC中,BC边上的高是( )
A.CD
B.AE
C.AF
D.AH
2.(2分)根据国家卫健委官网统计,截至2021年4月10日,31个省(自治区、直辖市)和生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗147.1万剂次,将147.1万用科学记数法表示为( ) A.1.471104
B.1.471108
C.1.471109
D.1.4711010
3.(2分)在下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A.等边三角形 B.平行四边形
C.等腰梯形 D.圆
4.(2分)某个几何体的展开图如图所示,该几何体是( )
A.三棱柱
B.三棱锥
C.长方体
D.圆柱
5.(2分)内角和与外角和相等的图形是( ) A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
6.(2分)如图,直线AB,CD交于点O,射线OE平分COB,若BOD40,则AOE第1页(共31页)
等于( )
A.40
B.100
C.110
D.140
7.(2分)点a,b在数轴上的位置如图所示,且满足ab0,ab0,则原点所在的位置有可能是( )
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
8.(2分)在物理实验室实验中,为了研究杠杆的平衡条件,设计了如下实验,如图,铁架台左侧钩码的个数与位置都不变,在保证杠杆水平平衡的条件下,右侧采取变动钩码数量即改变力F,或调整钩码位置即改变力臂L,确保杠杆水平平衡,则力F与力臂L满足的函数关系是( )
A.正比例函数关系 C.一次函数关系
二、填空题(本题共16分,每小题2分)
9.(2分)如果式子x3在实数范围内有意义,那么x的取值范围是 .
10.(2分)如图所示的网格是正方形网格,点A,B,那么BACACB C是网格线交点,
B.反比例函数关系 D.二次函数关系
.
第2页(共31页)
11.(2分)请你写出一个大于2小于3的无理数是 . 12.(2分)已知xy1且|x|1,写出一组符合条件的值 .
13.(2分)已知一元二次方程ax2x10(a0),有两个实数根,则a的取值范围是 . 14.(2分)如图,在O中,ACBC,AB8,半径r5,则DC .
15.(2分)下面是某小区随机抽取的100户家庭的月用电量情况统计表: 月户用电量x(千瓦时/户/月) 户数(户) 5 22 27 31 15 x240 240x300 300x350 350x400 400 从中任意抽出一个家庭进行用电情况调查,则抽到的家庭月用电量为第二档(用电量大于240小于等于400为第二档)的概率为 .
16.(2分)以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表,有一个炒菜锅,一个电饭煲,一个煲汤锅,两个燃气灶可用,做好这顿晚餐一般情况下至少需要 分钟. 用时 种类 米饭 炒菜1 准备时间加工时间(分钟) (分钟) 3 5 30 6 第3页(共31页)
炒菜2 汤 5 5 8 15 三、解答题(本题共68分,第17~21题每小题5分,第22~24题每小题5分,第25题5分,第26题6分,第27~28题每小题5分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 117.(5分)计算:|2|(2021)02sin45()1.
22x13(x1)18.(5分)解不等式组:5x.
x3219.(5分)已知,如图,ABC是等边三角形,BDAC于D,E是BC延长线上的一点,
DBDE.求E的度数.
20.(5分)已知x24x10,求代数式(x2)2(x3)(x3)x2的值. 21.(5分)已知:ABC,CD平分ACB.
求作:菱形DFCE,使点F在BC边上点E在AC边上,下面是尺规作图过程作法:①分别1以C、D为圆心,大于CD为半径作弧,两弧分别交于点M、N;
2②作直线MN分别与AC、BC交于点E、F;
③连接DE、DF,DC与EF的交点记为点G;四边形DFCE为所求作的菱形. (1)利用直尺和圆规依做法补全图形(保留作图痕迹); (2)完成下面的证明. 证明:DEEC,DFFC,
EF为DC的垂直平分线.
DEEC, EDCECD. CD平分ACB, ECDDCB.
第4页(共31页)
EDCDCB.
// ( )(填推理依据).
同理可证DF//CE,
四边形DFCE为平行四边形.
又 ,
四边形DFCE为菱形.
22.(6分)已知:如图,在菱形ABCD中,BEAD于点E,延长AD至F,使DFAE,连接CF.
(1)求证:四边形EBCF是矩形; (2)若sinA3,CF3,求AF的长. 5
k23.(6分)在平面直角坐标系xOy中,正比例函数yx与反比例函数y(k0,x0)的
x图象相交于点P(1,1). (1)求k的值;
(2)过点M(0,a)平行于x轴的直线,分别与第一象限内的正比例函数yx、反比例函数y
k1的图象相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)当a2时,求x1x2的取值范围. x2第5页(共31页)
24.(6分)如图,AB是O的直径,C是O上一点,D是OB中点,过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F,FD上有一点E,CEEF. (1)求证:CE是O的切线;
3(2)如果sinF,EF1,求AB的长.
5
25.(5分)2021年是中国党成立100周年某中学面向学校全体师生征集“礼赞百年”活动作品,作品类别包括征文、书法、绘画.该中学学生小明统计了学校30个教学班上交活动作品的数量(单位:份),相关信息如下:
a.小明所在中学30个教学班上交作品的数量统计图:
第6页(共31页)
b.小明所在中学各班学生上交作品数量的平均数如表:
班级 初一年级初二年级初三年级 (10个班) (10个班) (10个班)平均数 110 80 40 (1)该中学各班学生上交作品数量的平均数约为 (结果取整数);
(2)已知该中学全体教师上交作品的数量恰好是该校各班级中,上交作品数量最多的班级与最少的班级的数量差,则全体教师上交作品的数量为 份.
(3)记该中学初一年级学生上交作品数量的方差为s12,初二年级学生上交作品数量的方差
22为s2,初三年级学生上交作品数量的方差为s32.直接写出s12,s2,s32的大小关系.
26.(6分)在平面直角坐标系xOy中,已知关于x的二次函数yx22tx1. (1)求该二次函数的对称轴;
(2)若点M(t2,m),N(t3,n)在抛物线yx22x1上,试比较m、n的大小; (3)若对于1x13且x23,P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线yx22tx1上的任意两点,
第7页(共31页)
都有y1y2,求t的取值范围.
27.(7分)在正方形ABCD中,将边AD绕点A逆时针旋转(090)得到线段AE,AE与CD延长线相交于点F,过B作BG//AF交CF于点G,连接BE. (1)如图1,求证:BGC2AEB;
(2)当(4590)时,依题意补全图2,用等式表示线段AH,EF,DG之间的数量关系,并证明.
28.(7分)在平面直角坐标系xOy中,O的半径为1,点A是平面内一点,过点A的直线交O于点B和点C(ABAC),0BC1,我们把点B称为点A关于O的“斜射点”. (1)如图,在点A1(1,1),A2(0,31),A3(,0)中,存在关于O的“斜射点”的是 . 22(2)已知若A(0,2),点A关于O的斜射点”为点B,则点B的坐标可以是 .(写出两个即可)
(3)若点A直线ykxk上,点A关于O的“斜射点”为B(1,0),画出示意图,直接写出k的取值范围.
第8页(共31页)
第9页(共31页)
2021年北京市门头沟区中考数学一模试卷
参与试题解析
一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个
1.(2分)如图,在ABC中,BC边上的高是( )
A.CD 【解答】解:
B.AE
AFBC,
C.AF D.AH
BC边上的高是AF,
故选:C.
2.(2分)根据国家卫健委官网统计,截至2021年4月10日,31个省(自治区、直辖市)和生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗147.1万剂次,将147.1万用科学记数法表示为( ) A.1.471104
B.1.471108
C.1.471109
D.1.4711010
【解答】解:147.1万1.471108. 故选:B.
3.(2分)在下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A.等边三角形 B.平行四边形
C.等腰梯形 D.圆
【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形.故此选项错误;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形.故此选项错误;
C、是轴对称图形,不是中心对称图形.故此选项错误;
第10页(共31页)
D、是轴对称图形,也是中心对称图形.故此选项正确.
故选:D.
4.(2分)某个几何体的展开图如图所示,该几何体是( )
A.三棱柱
B.三棱锥
C.长方体
D.圆柱
【解答】解:三个长方形和两个等腰三角形折叠后,能围成的几何体是三棱柱. 故选:A.
5.(2分)内角和与外角和相等的图形是( ) A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
【解答】解:设多边形的边数为n,根据题意 (n2)180360,
解得n4. 故选:B.
6.(2分)如图,直线AB,CD交于点O,射线OE平分COB,若BOD40,则AOE等于( )
A.40
B.100
C.110
D.140
【解答】解:BOD40,
AOCBOD40,BOC180BOD140,
11COEBOC14070,
22AOEAOCCOE4070110,
故选:C.
第11页(共31页)
7.(2分)点a,b在数轴上的位置如图所示,且满足ab0,ab0,则原点所在的位置有可能是( )
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
【解答】解:ab0,且数轴上a在b的左侧, a0,b0, ab0,
|a||b|,即a离原点的距离小于b离原点的距离,
点B可能是原点,
故选:B.
8.(2分)在物理实验室实验中,为了研究杠杆的平衡条件,设计了如下实验,如图,铁架台左侧钩码的个数与位置都不变,在保证杠杆水平平衡的条件下,右侧采取变动钩码数量即改变力F,或调整钩码位置即改变力臂L,确保杠杆水平平衡,则力F与力臂L满足的函数关系是( )
A.正比例函数关系 C.一次函数关系
【解答】解:确保杠杆水平平衡,
力F与力臂L满足的函数关系是反比例函数关系,
B.反比例函数关系 D.二次函数关系
故选:B.
二、填空题(本题共16分,每小题2分)
9.(2分)如果式子x3在实数范围内有意义,那么x的取值范围是 x3 . 【解答】解:
x3在实数范围内有意义,
x30,
解得x3. 故答案为:x3.
第12页(共31页)
10.(2分)如图所示的网格是正方形网格,点A,B,那么BACACB C是网格线交点,135 .
【解答】解:设小正方形的边长是1,则AOBO3,
AB323232, AOB是等腰直角三角形, OABOBA45, ADC90, DACDCA90,
BACACB180OABDAC90DCA 180904590 135,
故答案为:135.
11.(2分)请你写出一个大于2小于3的无理数是 【解答】解:24,39,
写出一个大于2小于3的无理数是5等.
5等 .
故答案为5等.本题答案不唯一.
x212.(2分)已知xy1且|x|1,写出一组符合条件的值 .
y1【解答】解:|x|1,
第13页(共31页)
x1或x1,
取x2,则xy1, y1
x2
y1x2故答案为:.
y113.(2分)已知一元二次方程ax2x10(a0),有两个实数根,则a的取值范围是 a且a0 .
【解答】解:关于x的一元二次方程ax2x10有两个实数根,
△b24ac(1)24a114a0,
14解得:a1, 41且a0. 4a的取值范围是a故答案为:a1且a0. 414.(2分)如图,在O中,ACBC,AB8,半径r5,则DC 2 .
【解答】解:连接OA,如图所示: ACBC,AB8,
OCAB,ADBDADO90,
1AB4, 2在RtOAD中,由勾股定理得:ODOA2AD252423, DCOCOD532,
故答案为:2.
第14页(共31页)
15.(2分)下面是某小区随机抽取的100户家庭的月用电量情况统计表: 月户用电量x(千瓦时/户/月) 户数(户) 5 22 27 31 15 x240 240x300 300x350 350x400 400 从中任意抽出一个家庭进行用电情况调查,则抽到的家庭月用电量为第二档(用电量大于240小于等于400为第二档)的概率为 4 . 5【解答】解:100户家庭中,用电量大于240小于等于400有22273180户,
抽到的家庭月用电量为第二档(用电量大于240小于等于400为第二档)的概率为
804 ,
1005故答案为:
4. 516.(2分)以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表,有一个炒菜锅,一个电饭煲,一个煲汤锅,两个燃气灶可用,做好这顿晚餐一般情况下至少需要 33 分钟. 用时 种类 米饭 炒菜1 炒菜2 汤 准备时间加工时间(分钟) (分钟) 3 5 5 5 30 6 8 15 【解答】解:33033(分钟), 答:妈妈做晚饭最少要用33分钟, 故答案为:33.
三、解答题(本题共68分,第17~21题每小题5分,第22~24题每小题5分,第25题5
第15页(共31页)
分,第26题6分,第27~28题每小题5分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 117.(5分)计算:|2|(2021)02sin45()1.
2【解答】解:原式2122122
22 21.
2x13(x1)18.(5分)解不等式组:5x.
x32【解答】解:解不等式2x13(x1),得x2, 解不等式
5x1x3,得x, 231则不等式组的解集为x2.
319.(5分)已知,如图,ABC是等边三角形,BDAC于D,E是BC延长线上的一点,
DBDE.求E的度数.
【解答】解:ABC是等边三角形, ABBC,ABC60, BDAC,
1DBCABD6030,
2DBDE,
EDBC30.
20.(5分)已知x24x10,求代数式(x2)2(x3)(x3)x2的值. 【解答】解:原式x24x4x29x2 x24x13, x24x10,
第16页(共31页)
x24x1,
则原式11314.
21.(5分)已知:ABC,CD平分ACB.
求作:菱形DFCE,使点F在BC边上点E在AC边上,下面是尺规作图过程作法:①分别1以C、D为圆心,大于CD为半径作弧,两弧分别交于点M、N;
2②作直线MN分别与AC、BC交于点E、F;
③连接DE、DF,DC与EF的交点记为点G;四边形DFCE为所求作的菱形. (1)利用直尺和圆规依做法补全图形(保留作图痕迹); (2)完成下面的证明. 证明:DEEC,DFFC,
EF为DC的垂直平分线.
DEEC, EDCECD. CD平分ACB, ECDDCB. EDCDCB.
DE // ( )(填推理依据).
同理可证DF//CE,
四边形DFCE为平行四边形.
又 ,
四边形DFCE为菱形.
【解答】(1)解:如图,四边形DFCE为所求作;
第17页(共31页)
(2)证明:DEEC,DFFC,
EF为DC的垂直平分线.
DEEC, EDCECD. CD平分ACB, ECDDCB. EDCDCB.
, DE//CF(内错角相等两直线平行)同理可证DF//CE,
四边形DFCE为平行四边形.
又EDEC,
四边形DFCE为菱形.
故意答案为DE,CF,内错角相等两直线平行;EDEC.
22.(6分)已知:如图,在菱形ABCD中,BEAD于点E,延长AD至F,使DFAE,连接CF.
(1)求证:四边形EBCF是矩形; (2)若sinA3,CF3,求AF的长. 5
【解答】(1)证明:四边形ABCD菱形,
第18页(共31页)
ADBC,AD//BC,
又DFAE,
DFDEAEDE,
即:EFAD, EFBC,
四边形EBCF是平行四边形,
又BEAD,
BEF90.
四边形EBCF是矩形;
(2)解:四边形ABCD菱形, ABBC,
四边形EBCF是矩形, EFBC,BECF3,
BEAD,
AEB90,
sinA3BE,BE3, 5ABAB5,
2222EFBCAB5,AEABBE534,
AFAEEF459.
k23.(6分)在平面直角坐标系xOy中,正比例函数yx与反比例函数y(k0,x0)的
x图象相交于点P(1,1). (1)求k的值;
(2)过点M(0,a)平行于x轴的直线,分别与第一象限内的正比例函数yx、反比例函数y
k1的图象相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)当a2时,求x1x2的取值范围. x2第19页(共31页)
k【解答】解:(1)反比例函数y(k0,x0)的图象经过点P(1,1),
x1k, 1k1,
(2)由题意得:y1y2a, x1y1a,x211, y2ax1x2aa0, a1, a112a2, aax1x22,
当a11111时,M(0,),A(,),B(2,), 22222152, 22x1x21当a2,M(0,2),A(2,2),B(,2),
2x1x2215, 225. 2x1x2的取值范围为:2x1x224.(6分)如图,AB是O的直径,C是O上一点,D是OB中点,过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F,FD上有一点E,CEEF. (1)求证:CE是O的切线;
3(2)如果sinF,EF1,求AB的长.
5第20页(共31页)
【解答】(1)证明:如图1,连接OC,
FDAB,
1F90, CEEF,OAOC, 3F,12, 2390, ECO90, OCCE, OC是O的半径, CE是O的切线;
(2)解:如图2
FDAB,sinF3, 5设AD3k,AF5k,可得FD4k,
D为OB中点,
111ODDBOBOAAD,
223DBk,
连接CB交FD于点G,
AB为O直径,
ACBFCB90,
FB,
DBk,
第21页(共31页)
313GDk,可得FGk,
44FCB90, 5F34, F3, 45, CEEFEG,
EF1,
FG2,
813k2,k,
13432. 13AB4k
25.(5分)2021年是中国党成立100周年某中学面向学校全体师生征集“礼赞百年”活动作品,作品类别包括征文、书法、绘画.该中学学生小明统计了学校30个教学班上交活动作品的数量(单位:份),相关信息如下:
第22页(共31页)
a.小明所在中学30个教学班上交作品的数量统计图:
b.小明所在中学各班学生上交作品数量的平均数如表:
班级 初一年级初二年级初三年级 (10个班) (10个班) (10个班)平均数 110 80 40 (1)该中学各班学生上交作品数量的平均数约为 77 (结果取整数);
(2)已知该中学全体教师上交作品的数量恰好是该校各班级中,上交作品数量最多的班级与最少的班级的数量差,则全体教师上交作品的数量为 份.
(3)记该中学初一年级学生上交作品数量的方差为s12,初二年级学生上交作品数量的方差
22为s2,初三年级学生上交作品数量的方差为s32.直接写出s12,s2,s32的大小关系.
【解答】解:(1)该中学各班学生上交作品数量的平均数为: 1101080104010230077(份),
10101030故答案为:77.
(2)上交作品数量最多的班级是初一年级6班140份,最少的班级是初三年级10班10份,
第23页(共31页)
全体教师上交作品的数量14010130份, 故答案为:130;
(3)初一年级学生上交作品数量的方差为: s121(2021022022023023020102302102)420, 10初二年级学生上交作品数量的方差为: s221(10202102102022020102102102)100, 10初三年级学生上交作品数量的方差为: s321(202302102102022020102102202)250, 10420250100,
s12s32s22.
26.(6分)在平面直角坐标系xOy中,已知关于x的二次函数yx22tx1. (1)求该二次函数的对称轴;
(2)若点M(t2,m),N(t3,n)在抛物线yx22x1上,试比较m、n的大小; (3)若对于1x13且x23,P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线yx22tx1上的任意两点,都有y1y2,求t的取值范围.
【解答】解:(1)
yx22tx2(xt)2t22
抛物线的对称轴为直线xt;
(2)抛物线开口向上,对称轴为直线xt,
第24页(共31页)
点M(t3,m)关于对称轴的对称点为(t3,m),
tt3t5,
mn,
故答案为;
(3)当t1时,此时1x13,x23都有y1y2,符合题意; 当t1时,令xx11时,y1y2,不符合题意. 综上所述:t1.
27.(7分)在正方形ABCD中,将边AD绕点A逆时针旋转(090)得到线段AE,AE与CD延长线相交于点F,过B作BG//AF交CF于点G,连接BE. (1)如图1,求证:BGC2AEB;
(2)当(4590)时,依题意补全图2,用等式表示线段AH,EF,DG之间的数量关系,并证明.
【解答】解:(1)证明:边AD绕点A逆时针旋转(090)得到线段AE,
ADAE,
正方形ABCD,
ABADAE, AEBABE,
BG//AF, AEBGBE, ABEAEBGBE, ABG2AEB,
正方形ABCD, AB//CD, BGCABG,
第25页(共31页)
BGC2AEB;
(2)补全图2如下:
线段AH,EF,DG之间的数量关系为:EFAHDG,理由如下:
在DC上取DNAH,连接AN交BG于M,交BE于P,连接HM,EM,如图:
正方形ABCD,
ABAD,ADNBAH90,
又DNAH,
ADNBAH(SAS),
DNAAHB,DANABH, DNADAN90, DANAHB90, APH90, BPMBPA90,
由(1)知ABEGBE, 且BPBP,
ABPMBP(ASA),
ABMB,
而BHBH,ABEGBE, ABHMBH(SAS), HABHMB90,
第26页(共31页)
A、H、M、B共圆,
AHBAMBGMN, DNAGMN, GNGM,
CF//AB,BG//AF,
四边形ABGF是平行四边形,
BGAF,
AFADABMB,
EFGM, EFGN, GNDGDN, EFDGAH.
28.(7分)在平面直角坐标系xOy中,O的半径为1,点A是平面内一点,过点A的直线交O于点B和点C(ABAC),0BC1,我们把点B称为点A关于O的“斜射点”. (1)如图,在点A1(1,1),A2(0,A2 .
31存在关于O的“斜射点”的是 A1,),A3(,0)中,
22(2)已知若A(0,2),点A关于O的斜射点”为点B,则点B的坐标可以是 .(写出两个即可)
(3)若点A直线ykxk上,点A关于O的“斜射点”为B(1,0),画出示意图,直接写出k的取值范围.
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【解答】解:(1)如图1,由图象可知,对于O外的任意一点A,都存在点A关于O的“斜射点”, 点A1在O外,
点A1存在关于
; O的“斜射点”
过点A2作弦B2C2与y轴垂直,连接OC2, 则A2C2A2B212(B2C21,
点A2存在关于
321), 22; O的“斜射点”
过点A3作弦B3C3与x轴垂直,连接OB3, 设点O到弦B3C3的距离为d, 则A3B312d21d2,
当B3C3x轴时,d的值最大,此时A3B3的值最小,B3C3的值也最小; 13, A3B312()222B3C33, B3C31,
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点A3不存在关于
. O的“斜射点”
故答案为:A1,A2.
(2)如图2,设O交x轴于点C,
连接AC交O于点B,作ODAC于点D、BEy轴于点E, 则ODCODBAEB90, OA2,OC1,AOC90,
AC22125, BCCDOCcosACO1251, 5155, 5BC点B是点A关于; O的“斜射点”
AB52535, 55BEABsinOAC35131; 555BE1tanOAC, AE236AE2BE2,
55OE2, 5534B(,).
5534同理,点B关于y轴的对称点也符合题意,其坐标为(,).
553434故答案为:(,),(,).
5555(3)如图3,当k0时,直线ykxk交y轴于点D(0,k), 当OBD60时,连接OC, OCOB,
BOC是等边三角形, BCOB1,
此时,点B是点A关于O的“斜射点”, ODOBtan603,
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当OD3时,BC1,
k3;
如图4,当k0时,同理可得,当k3时,点B是点A关于O的“斜射点”. 综上所述,k的取值范围是:k3或k3.
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