2007年全国高考理科数学Ⅱ试题与答案

理科数学（必修+选修Ⅱ）

注意事项：

1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，

考试时间120分钟． 2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的

位置上． 3． 选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．

4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚

5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题）

本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：

如果事件A，B互斥，那么

P(AB)P(A)P(B)

球的表面积公式 S4πR2

其中R表示球的半径 球的体积公式

V43πR

3如果事件A，B相互，那么

P(AB)P(A)P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 n次重复试验中事件A恰好发生k次的概率

Pn(k)Cnp(1p)kknk 其中R表示球的半径

(k0，1，，2…，n)

一、选择题

1．sin210（ ）

32321212A． B． C． D．

2．函数ysinx的一个单调增区间是（ ）

， 3，  3，2 A．B．C．，D．3．设复数z满足

12izi，则z（ ）

A．2i B．2i C．2i 4．下列四个数中最大的是（ ） A．(ln2)2

B．ln(ln2)

C．ln2

D．2i

D．ln2

15．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD2DB，则（ ） CDCACB，

32112A． B． C． D．

33336．不等式

x1x420的解集是（ ）

A．(2，1) B．(2，) C．(2，1)(2，) D．(，2)(1，)

7．已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（ ） A．

B．

2104 C．

22 D．

32

8．已知曲线yA．3

x43lnx的一条切线的斜率为

12，则切点的横坐标为（ ）

12B．2 C．1 D．

9．把函数yex的图像按向量a(2， 3)平移，得到yf(x)的图像，则f(x)（ ）A．ex32 B．ex32 C．ex23 D．ex23

10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A．40种 B．60种 C．100种 D．120种 11．设F1，F2分别是双曲线

xa22yb22的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使F1AF290且AF13AF2，则双曲线的离心率为（ ）

52102152A． B．

2 C． D．5 12．设F为抛物线y4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FAFBFC0，

则FAFBFC（ ）

A．9 B．6 C．4 D．3

第Ⅱ卷（非选择题）

本卷共10题，共90分

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

113．(12x2)x的展开式中常数项为 ．（用数字作答）

x814．在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，2)(0)．若在(0，1)内取值的概率为0.4，则在(0，2)内取值的概率为 ．

15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2．

16．已知数列的通项an5n2，其前n项和为Sn，则limSnn2n→ ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分） 在△ABC中，已知内角A，边BC23．设内角Bx，周长为y．

（1）求函数yf(x)的解析式和定义域； （2）求y的最大值． 18．（本小题满分12分）

从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)0.96． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；

（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形， 侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点． （1）证明EF∥平面SAD；

（2）设SD2DC，求二面角AEFD的大小．

C

D A

E

B F

S

20．（本小题满分12分）

在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x（1）求圆O的方程；

（2）圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使PA，PO，PB成等比数列，求

PAPB的取值范围．

3y4相切．

21．（本小题满分12分） 设数列{an}的首项a1(0，，1)an（1）求{an}的通项公式；

（2）设bnan32an，证明bnbn1，其中n为正整数． 22．（本小题满分12分） 已知函数f(x)x3x．

（1）求曲线yf(x)在点M(t，f(t))处的切线方程；

（2）设a0，如果过点(a，b)可作曲线yf(x)的三条切线，证明：abf(a)．

3an12，n2，3，，4…．

2007年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参

评分说明：

1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主

要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容

和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的

一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3． 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题 1．D 2．C 7．A 8．A 二、填空题 13．42 三、解答题

17．解：（1）△ABC的内角和ABC，由A

应用正弦定理，知 ACBCsinAsinB23sinsinx4sinx，

，B0，C0得0B23．C 9．C

4．D 10．B

5．A 11．B

6．C 12．B

5214．0.8 15．242 16．

．

AB2sinC4sinx． sinABC 因为yABBCAC，

22x230x，

31sinx23 2

所以y4sinx4sin

（2）因为y4sinxcosx 43sinx523x，

 所以，当x，即x时，y取得最大值63．

18．解：（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，

． A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”则A0，A1互斥，且AA0A1，故

P(A)P(A0A1)

P(A0)P(A1)

(1p)C2p(1p)

1p221

于是0.961p2．

解得p10.2，p20.2（舍去）．

1，2． （2）的可能取值为0，若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220件，故

P(0)C80C1001223195．

P(1)C80C20C21001160495．

P(2)C20C1002219495．

所以的分布列为

 P 0 31951 1604952 19495 S

19．解法一： （1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．

∥连结AG，FG 12∥AB， CD，又CD ∥AE，AEFG为平行四边形． 故FG F

G H D A

E

B

EF∥AG，又AG平面SAD，EF平面SAD．

所以EF∥平面SAD．

△ADG为等 （2）不妨设DC2，则SD4，DG2，腰直角三角形．

M C

取AG中点H，连结DH，则DH⊥AG．

又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而ABAGA，

所以DH⊥面AEF．

取EF中点M，连结MH，则HM⊥EF． 连结DM，则DM⊥EF．

故DMH为二面角AEFD的平面角

tanDMHDHHM212．

z 所以二面角AEFD的大小为arctan2．

S 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系Dxyz．

设A(a， 0)，C(0，a，0)，0，0)，S(0，0，b)，则B(a，a，F aEa，，0，F2bEFa，0，2ab0，，， 22． b，则AGa，0，．

2G M D A x E B A C y b取SD的中点G0，0，2EFAG，EF∥AG，AG平面SAD，EF平面SAD，

所以EF∥平面SAD．

（2）不妨设A(1，1，0)，C(0，1，0)，S(0，0，2)，E1，，0，F0，，1． 0，0)，则B(1，22111111EF中点M，，，MD，，，EF(1，0，，1)MDEF0，MD⊥EF

222222111又EA0，，0，EAEF0，EA⊥EF，

2所以向量MD和EA的夹角等于二面角AEFD的平面角．

MDEA3cosMD，EA． 3MDEA所以二面角AEFD的大小为arccos33．

20．解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x3y4的距离，

即 r4132．

得圆O的方程为x2y24．

2（2）不妨设A(x1，0)，B(x2，0)，x1x2．由x4即得

A(2，0)，B(2，0)．

设P(x，y)，由PA，PO，PB成等比数列，得

(x2)y(x2)yxy，

222222即 x2y22．

PAPB(2x，y)(2x，y)

x4y2(y1).222

22xy4，由于点P在圆O内，故

22xy2.由此得y21．

所以PAPB的取值范围为[2，0)．

21．解：（1）由an

3an1212，n2，3，，4…，

整理得 1an(1an1)．

12又1a10，所以{1an}是首项为1a1，公比为1an1(1a1)232n1的等比数列，得

（2）方法一： 由（1）可知0an22那么，bn1bn

，故bn0．

an1(32an1)an(32an)22

3an3an2 32a(32an) n229an4(an1).22

又由（1）知an0且an1，故bn21bn20， 因此

bnbn1，n为正整数．

方法二：

由（1）可知0an因为an13an232，an1，

，

(3an)an23所以

bn1an132an1．

3an由an1可得an(32an)，

23an即 a(32an)an

22n2两边开平方得

an32an3an2an．

即 bnbn1，n为正整数．

222．解：（1）求函数f(x)的导数；f(x)3x1．

曲线yf(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为： 即

yf(t)f(t)(xt)， y(3t1)x2t．

23（2）如果有一条切线过点(a，b)，则存在t，使

b(3t1)a2t．

23于是，若过点(a，b)可作曲线yf(x)的三条切线，则方程

2t3atab0

32有三个相异的实数根． 记 g(t)2t33at2ab， 则 g(t)6t26at

6t(ta)．

当t变化时，g(t)，g(t)变化情况如下表：

t (，0) 0 0 极大值ab (0，a)  a (a，) g(t) g(t)   0 极小值bf(a)    由g(t)的单调性，当极大值ab0或极小值bf(a)0时，方程g(t)0最多有一个实数根；

当ab0时，解方程g(t)0得t0，t数根；

当bf(a)0时，解方程g(t)0得t的实数根．

综上，如果过(a，b)可作曲线yf(x)三条切线，即g(t)0有三个相异的实数根，

ab0，bf(a)0.a2，ta，即方程g(t)0只有两个相异3a2，即方程g(t)0只有两个相异的实

则

即 abf(a)．