2010年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5分）（2010•重庆）在等比数列{an}中，a2010=8a2007，则公比q的值为（ ） A．2

B．3

C．4

D．8

【考点】等比数列的性质． 【专题】计算题．

【分析】利用等比数列的通项公式，分别表示出a2010和a2007，两式相除即可求得q3，进而求得q． 【解答】解：

∴q=2 故选A

【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．

2．（5分）（2010•重庆）已知向量，满足•=0，||=1，||=2，则|2﹣|=（ ） A．0

B．

C．4

D．8

【考点】向量的模． 【专题】计算题．

【分析】利用题中条件，把所求|2【解答】解：∵∴|2故选B．

【点评】本题考查向量模的求法，考查计算能力，是基础题． 3．（5分）（2010•重庆）

=（ ）

|=

|平方再开方即可

=0，||=1，||=2，

=

=

=2

A．﹣1 B．﹣ C． D．1

1

【考点】极限及其运算． 【专题】计算题．

【分析】先进行通分，然后消除零因子，可以把

简化为

，由此可得答案．

【解答】解：===﹣，

故选B．

【点评】本题考查函数的极限，解题时要注意消除零因子．

4．（5分）（2010•重庆）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（ ） A．﹣2 B．4

C．6

D．8

【考点】简单线性规划的应用． 【专题】计算题．

【分析】先根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过点B时，z最大值即可． 【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示， 设z=2x+y，

∵直线z=2x+y过可行域内B（3，0）的时候z最大，最大值为6， 故选C．

【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 5．（5分）（2010•重庆）函数

的图象（ ）

A．关于原点对称 B．关于直线y=x对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 【考点】奇偶函数图象的对称性． 【专题】计算题．

2

【分析】题设条件用意不明显，本题解题方法应从选项中突破，由于四个选项中有两个选项是与奇偶性有关的，故先验证奇偶性较好， 【解答】解：

，

∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称 故选D．

【点评】考查函数的对称性，宜从奇偶性入手研究．

6．（5分）（2010•重庆）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜A．ω=1，φ=

B．ω=1，φ=﹣

C．ω=2，φ=

）的部分图象如图所示，则（ ）

D．ω=2，φ=﹣

【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【专题】计算题；综合题．

【分析】通过图象求出函数的周期，再求出ω，由（【解答】解：由图象可知：T=所以 2×故选D．

【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查视图能力，逻辑推理能力．

7．（5分）（2010•重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（ ） A．3

B．4

C．

D．

+φ=

，φ=﹣

．

，1）确定φ，推出选项．

，1）在图象上，

=π，∴ω=2；（

【考点】基本不等式． 【专题】计算题．

【分析】首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用

代入已知条件，化简为函数求最值．

，

【解答】解：考察基本不等式

3

整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0 即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0， 所以x+2y≥4 故选B．

【点评】此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式需要同学们多加注意．

8．（5分）（2010•重庆）直线y=

与圆心为D的圆

（θ∈[0，2π））交与A、B两点，

在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，

则直线AD与BD的倾斜角之和为（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】圆的参数方程；直线的倾斜角；直线和圆的方程的应用． 【专题】计算题．

【分析】根据题目条件画出圆的图象与直线的图象，再利用圆的性质建立两个倾斜角的等量关系，化简整理即可求出．

【解答】解：数形结合，∠1=α﹣30°，∠2=30°+π﹣β， 由圆的性质可知∠1=∠2，∴α﹣30°=30°+π﹣β， 故α+β=故选C．

【点评】本题主要考查了圆的参数方程，以及直线的倾斜角和直线和圆的方程的应用，属于基础题．

9．（5分）（2010•重庆）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（ ） A．504种 B．960种

C．1008种 D．1108种

，

【考点】排列及排列数公式；排列、组合的实际应用． 【专题】压轴题．

4

【分析】本题的要求比较多，有三个条件，甲、乙排在相邻两天可以把甲和乙看做一个元素，注意两者之间有一个排列，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则可以甲乙排1、2号或6、7号，或是甲乙排中间，丙排7号或不排7号，根据分类原理得到结果． 【解答】解：分两类：

第一类：甲乙相邻排1、2号或6、7号，这时先排甲和乙，有2×全排列有

种，因此共有2×A22A41A44=384种方法

种，然后排丁，有

种，剩下其他四个人

第二类：甲乙相邻排中间，

若丙排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4×若丙不排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4×着排丁，丁不排在10月7日，有

种，然后丙在7号，剩下四个人全排列有种，然后排丙，丙不再1号和7号，有

种，

种， 种，接

种，剩下3个人全排列，有

因此共有（4A22A44+4A22A31A31A33）=624种方法， 故共有1008种不同的排法 故选C．

【点评】本题主要考查分类计数原理，分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．本题条件比较多，容易出错，解题时要注意．

10．（5分）（2010•重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．抛物线

D．双曲线

【考点】抛物线的定义；双曲线的标准方程． 【专题】计算题；压轴题；分类讨论．

【分析】先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程可得，设空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）根据它到两条异面直线的距离相等，求得z的表达式，把z=0和z=a代入即可求得x和y的关系，根据其方程判断轨迹．

5

【解答】解：先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程就分别是y=0，z=0 和x=0，z=a（a是两异面直线公垂线长度，是个常数） 空间内任意点设它的坐标是（x，y，z） 那么由已知，它到两条异面直线的距离相等，即

=

两边平方，化简可得z=

（y2﹣x2+a2）

过一条直线且平行于另一条直线的平面是z=0和z=a 分别代入所得式子 z=0时

代入可以得到y2﹣x2=﹣a2，图形是个双曲线 z=a时

代入可以得到y2﹣x2=a2，图形也是个双曲线 故选D

【点评】本题主要考查了双曲线的方程．考查了学生分析归纳和推理的能力． 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 11．（5分）（2010•重庆）已知复数z=1+i，则【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】计算题．

【分析】把复数z=1+I代入要求的式子，应用复数相除的法则化简得到结果． 【解答】解：故答案为﹣2i．

【点评】本题考查复数代数形式的运算法则．

12．（5分）（2010•重庆）设U={0，1，2，3}，A={x∈U|x2+mx=0}，若∁UA={1，2}，则实数m= ﹣3 ．

6

= ﹣2i ．

=，

【考点】补集及其运算． 【专题】计算题．

【分析】由题意分析，得到A={0，3}，后由根与系数直接间的关系求出m的值 【解答】解；∵U={0，1，2，3}、∁UA={1，2}， ∴A={0，3}，

∴0、3是方程x2+mx=0的两个根， ∴0+3=﹣m， ∴m=﹣3， 故答案为：﹣3．

【点评】本题考查集合的运算即补集的运算及根与系数之间的关系，关键是由题意得出集合A．

13．（5分）（2010•重庆）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为 【考点】互斥事件的概率加法公式．

【分析】在两次罚球中至多命中一次的对立事件是两次都命中，设出命中的概率P，由对立事件的概率公式列出方程，求出命中一次的概率．

【解答】解：设罚球的命中的概率为P， 由两次罚球中至多命中一次的概率为得∴

，

， ．

故答案为：．

【点评】对立事件公式的应用经常在概率计算中出现，从正面做包含的事件较多，可以从反面来解决，注意区分互斥事件和对立事件之间的关系．

14．（5分）（2010•重庆）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足线的距离为

．

7

=3，则弦AB的中点到准

【考点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；抛物线的定义． 【专题】计算题；压轴题．

【分析】设BF=m，由抛物线的定义知AA1和BB1，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得x1+x2的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离．

【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知 AA1=3m，BB1=m

∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，直线AB方程为

与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0 所以AB中点到准线距离为故答案为

【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题．常需要利用抛物线的定义来解决．

15．（5分）（2010•重庆）已知函数f（x）满足：则f（2010）=

．

，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），

【考点】抽象函数及其应用；函数的周期性． 【专题】计算题；压轴题．

【分析】由于题目问的是f（2010），项数较大，故马上判断函数势必是周期函数，所以集中精力找周期即可；周期的寻找方法可以是不完全归纳推理出，也可以是演绎推理得出． 【解答】解：取x=1，y=0得法一：根据已知知

取x=1，y=1得f（2）=﹣ 取x=2，y=1得f（3）=﹣

8

取x=2，y=2得f（4）=﹣ 取x=3，y=2得f（5）= 取x=3，y=3得f（6）= 猜想得周期为6 法二：取x=1，y=0得

取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n﹣1）， 同理f（n+1）=f（n+2）+f（n） 联立得f（n+2）=﹣f（n﹣1） 所以f（n）=﹣f（n+3）=f（n+6） 所以函数是周期函数，周期T=6， 故f（2010）=f（0）= 故答案为：．

【点评】准确找出周期是此类问题（项数很大）的关键，分别可以用归纳法和演绎法得出周期，解题时根据自己熟悉的方法得出即可．

三、解答题（共6小题，满分75分）

16．（13分）（2010•重庆）设函数f（x）=cos（x+π）+2cos2，x∈R． （1）求f（x）的值域；

（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=【考点】正弦函数的定义域和值域；正弦定理；余弦定理． 【专题】计算题．

【分析】（I）将f（x）=cos（x+π）+2

化简，变形后可以用三角函数的有界性求值域．

，求a的值．

（II）由f（B）=1 求出∠B，利用余弦定理建立关于a的方程求出a． 【解答】解：（I）f（x）=cos（x+π）+2=cosxcosπ﹣sinxsinπ+cosx+1

9

=﹣cosx﹣=cosx﹣=sin（x+

sinx+cosx+1 sinx+1 ）+1

因此函数f（x）的值域为[0，2] （II）由f（B）=1 得sin（B+又B是三角形的内角，所以B=

）+1=1，即sin（B+

）=0，即B+

=0或π，B=

或﹣

由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB 即1=a2+3﹣3a，整理a2﹣3a+2=0 解得a=1或a=2

答：（I）函数f（x）的值域为[0，2] （II）a=1或a=2

【点评】考查利用三角函数的有界性求值域与利用余弦定理解三角形，属基本题型，用来训练答题者熟练三角恒等变形公式与余弦定理．

17．（13分）（2010•重庆）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起．若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求： （Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率； （Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率．

【考点】等可能事件的概率；排列、组合及简单计数问题． 【专题】计算题．

【分析】（1）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，满足条件的事件是甲和乙的演出序号都是偶数，根据等可能事件的概率公式得到结果．

（2）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，甲和乙两个单位的演出序号不相邻，的对立事件是甲和乙两个单位的演出序号相邻，根据对立事件的概率公式得到结果．

10

【解答】解：（1）考虑甲和乙两个单位的排列，

甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果， 设A表示甲和乙的演出序号都是偶数，共有A32=6种结果， ∴所求的概率P（A）=

=

（2）考虑甲和乙两个单位的排列，

甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果， 设B表示甲和乙两个单位的演出序号不相邻，

则表示甲和乙两个单位的演出序号相邻，共有5A22=10种结果 ∴P（B）=1﹣P（）=1﹣=．

【点评】本题主要考查古典概型和对立事件，正难则反是解题时要时刻注意的，我们尽量用简单的方法来解题，这样可以避免一些繁琐的运算，使得题目看起来更加容易． 18．（13分）（2010•重庆）已知函数

，其中实数a≠1．

（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）若f（x）在x=1处取得极值，试讨论f（x）的单调性． 【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．

【分析】首先求出函数的导数及在点f（0）处的值，然后求出在该点的切线方程，第二问根据函数的导数与极值的关系求出a的值，然后根据函数的导数与单调性的关系讨论函数的单调性． 【解答】解：（1）

当a=2时，f′（0）=，而f（0）=﹣，

所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：y﹣（﹣）=（x﹣0），即7x﹣4y﹣2=0． （2）因为a≠1，由（1）可知

=

；

=

，

又因为f（x）在x=1处取得极值， 所以

，解得a=﹣3；

11

此时

=

，定义域（﹣1，3）∪（3，+∞）；

，

由f′（x）=0得x1=1，x2=7，当﹣1＜x＜1或x＞7时f′（x）＞0； 当1＜x＜7且x≠3时f′（x）＜0；

由上讨论可知f（x）在（﹣1，1]，[7，+∞）时是增函数，在[1，3），（3，7]上是减函数． 【点评】掌握函数的导数与极值和单调性的关系．

19．（12分）（2010•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=点E是棱PB的中点．

（1）求直线AD与平面PBC的距离； （2）若AD=

，求二面角A﹣EC﹣D的平面角的余弦值．

，

【考点】点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题． 【专题】计算题；综合题；空间角．

【分析】（1）先根据AD∥BC，推断出AD∥平面PBC，进而可知直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，根据PA⊥底面ABCD，判断出PA⊥AB，知△PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，进而可知AE⊥PB，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB的底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，进而可推断出AE之长即为直线AD与平面PBC的距离．Rt△PAB中，根据PA和AB求得AE．

（2）过点D作DF⊥CE，过点F做FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而求得DE在Rt△CBE中，利用勾股定理求得CE，进而可知CE=CD推断出△CDE为等边三角形，求得DF，因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG平行且等于AE的一半，从而求得FG，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，求得DG，最后利用余弦定理求得答案．

12

【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，从而AD∥平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，

因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，知△PAB为等腰直角三角形，

又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB的底面ABCD内的射影， 由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC， 故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离， 在Rt△PAB中，PA=AB=所以AE=PB=

， =

（2）过点D作DF⊥CE于F，过点F做FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角． 由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB， 故AD⊥AE，从而DE=在Rt△CBE中，CE=

==

，由CD=

，

=

所以△CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且DF=CD•sin

因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG∥AE．且FG=AE， 从而FG=

，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，DG=

=，

所以cos∠DFG==

【点评】本题主要考查了点，线，面的距离计算．在求两面角问题时关键是找到两个面的平面角． 20．（12分）（2010•重庆）已知以原点O为中心，（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

（2）如图，已知过点M（x1，y1）的直线l1：x1x+4y1y=4与过点N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直线l2：x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求△OGH的面积． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质． 【专题】计算题；压轴题．

13

为右焦点的双曲线C的离心率．

【分析】（1）设C的标准方程为（a＞0，b＞0），由题意知a=2，b=1，由此可求出C的标准方程

和渐近线方程．

（2）由题意知，点E（xE，yE）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，因此直线MN的方程为xEx+4yEy=4．设G，H分别是直线MN与渐近线x﹣2y=0及x+2y=0的交点，则与x轴的交战为Q，则

，由此可求△OGH的面积．

，设MN

【解答】解：（1）设C的标准方程为则由题意知∴a=2，b=1， ∴C的标准方程为∴C的渐近线方程为

．

，

，

（a＞0，b＞0），

，即x﹣2y=0和x+2y=0．

（2）由题意知，点E（xE，yE）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上， 因此有xEx+4yEy=4上，因此直线MN的方程为xEx+4yEy=4． 设G，H分别是直线MN与渐近线x﹣2y=0及x+2y=0的交点， 由方程组

及

，解得

，

，

设MN与x轴的交点为Q，则在直线xEx+4yEy=4k，令y=0得∵xE2﹣4yE2=4， ∴=

=．

【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，仔细解答． 21．（12分）（2010•重庆）在数列{an}中，a1=1，an+1=can+cn+1（2n+1）（n∈N*），其中实数c≠0．

14

（1）求{an}的通项公式；

（2）若对一切k∈N*有a2k＞azk﹣1，求c的取值范围． 【考点】数列递推式；数学归纳法． 【专题】计算题；压轴题；探究型；归纳法．

【分析】（1）根据a1，a2和a3猜测an=（n2﹣1）cn+cn﹣1，进而用数学归纳法证明．

（2）把（1）中求得的an代入a2k＞azk﹣1，整理得（4k2﹣1）c2﹣（4k2﹣4k﹣1）c﹣1＞0，分别表示ck和又ck'，根据ck＜﹣

，最后综合答案可得．

＜1求得c≥1，再根据ck'＜0，判断出单调递增知ck'≥c1'求得＜

【解答】解：（1）由a1=1，a2=ca1+c23=（22﹣1）c2+c a3=ca2+c3•5=（32﹣1）c3+c2， 猜测an=（n2﹣1）cn+cn﹣1， 下面用数学归纳法证明， 当n=1是，等式成立

假设当n=k，等式成立即ak=（k2﹣1）ck+ck﹣1，

则当n=k+1时ak+1=cak+ck+1（2k+1）=（k2+2k）ck+1+ck=[（k+1）2﹣1]ck+1+ck， 综上an=（n2﹣1）cn+cn﹣1，对任意n∈N都成立． （2）由a2k＞azk﹣1得

[（2k）2﹣1]c2k+c2k﹣1＞[（2k﹣1）2﹣1]c2k﹣1+c2k﹣2， 因c2k﹣2＞0，所以（4k2﹣1）c2﹣（4k2﹣4k﹣1）c﹣1＞0 解此不等式得c＞ck，或c＜ck'，其中 ck=

ck'=

15

易知又由ck＜

ck=1

＜

＜1

=4k2+1，知

因此由c＞ck对一切k∈N成立得c≥1 又ck'=

＜0，可知

单调递增，故ck'≥c1'对一切k∈N*成立，因此由c＜ck'对一切k∈N*成立得c＜﹣从而c的取值范围是（﹣∞，﹣

）∪[1，+∞]

【点评】本题主要考查了数列的递推式．考查了学生综合运用所学知识和实际的运算能力．

16