第二章 数
列 极 限
§1 数列极限概念
若函数 f 的定义域为全体正整数集合 N + , 则称
f : N+ → R 或 f (n), n ∈N+
为数列 .因正整数集N + 的元素可按由小到大的顺序排列, 故数列 f ( n ) 也可写 作
a1 ,a2,
,an,
,
或简单地记为{ an } , 其中 an 称为该数列的通项 .
关于数列极限, 先举一个我国古代有关数列的例子 .
例1古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话“:
一尺之棰, 日
取其半,万世不竭”,其含义是:一根长为一尺的木棒,每天截下一半,这样的过程 可以无限制地进行下去.
把每天截下部分的长度列出如下( 单位为尺) :
111第一天截下,第二天截下, , 第 n 天截 下, 数列
2
2 1 1 2
这样就得到一个
2
1 1
n
,, , n, 或 n .
2 222211 不难看出 , 数列 的通项 随着 n 的无限增大而无限地接近于 0 .一般地 2 2
说,对于数列{an},若当n 无限增大时an能无限地接近某一个常数a,则称此数列 为收敛数列,常数a 称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛数列.
收敛数列的特性是“随着n 的无限增大, an 无限地接近某一常数a”.这就 是说,当n充分大时,数列的通项an与常数a之差的绝对值可以任意小.下面 我们给出收敛数列及其极限的精确定义.
定义1设{ an } 为数列, a 为定数 .若对任给的正数ε, 总存在正整数 N , 使 得当 n >N 时有
an - a <ε,
则称数列{ an } 收敛于 a , 定数 a 称为数列{ an } 的极限, 并记作
n
n
24
第二章 数 列 极限
n →∞
lim an = a ① , 或 an → a( n → ∞) ,
读作“当n趋于无穷大时, an 的极限等于a或an 趋于a”.
若数列{ an } 没有极限, 则称{ an } 不收敛, 或称{ an } 为发散数列 .
定义1 常称为数列极限的ε-Ν定义 .下面举例说明如何根据ε- Ν定义 来验证数列极限 .
1例 2 证明lim α = 0 , 这里α为正数 .
n → ∞n
证 由于
1 1
= α, α- 0 nn
1 1 故对任给的ε>0 , 只要取 N= + 1 , 则当 n >N 时, 便有 εα
1 1 1 <ε. α< α<ε即 α- 0
n N n 1
这就证明了 lim α = 0 .
n → ∞ n
例 3 证明
分析 由于
3 n
lim 2 = 3 . n →∞ n- 3
2
3 n
2
- 3 2
n- 3
9 因此, 对任给的ε>0 , 只要<ε, 便有
n 2
3 n
9 9 ( n ≥3). ≤2
= n- 3 n
(1)
- 3 n2 - 3
<ε, (2)
9 即当 n >时, ( 2) 式成立 .又由于( 1) 式是在 n≥3 的条件下成立的, 故应取
ε
9
N = max 3 , . (3)
ε
9证 任给 ε>0 , 取 N = max 3 , .据分析, 当 n >N 时有(2 ) 式成立 .于是
ε
本题得证 .
注本例在求N的过程中,(1)式中运用了适当放大的方法,这样求N就 比较方便.但应注意这种放大必须“适当”,以根据给定的ε能确定出N .又(3)式
①
记号lim是拉丁文limes(极限)一词的前三个字母.由于n限于取正整数,所以在表示数列极限的记号中把
n→+∞简单地写作n→∞.
§1 数列极限概念 25
给出的 N 不一定是正整数 .一般地, 在定义1 中 N 不一定限于正整数, 而只要 它是正数即可 .
n
例 4 证明lim q = 0 , 这里 | q | < 1 .
n →∞
1证 若 q = 0 , 则结果是显 然的 .现设 0 < | q | < 1 .记 h = - 1 , 则 h > 0 .
| q |
我们有
n n 1 q- 0 = q =,
n
(1 + h ) 并由 (1 + h) ≥1 + nh 得到
1 1 . q ≤1 + nh (4) 1n 对任给的ε>0 , 只要取 N = , 则当 n >N 时, 由( 4) 式得|q- 0 |<ε.这 εh n 就证明了lim q = 0. n →∞ 1 当 q = 时, 就是前面例1 的结果 . 2 注 本例还可利用对数函数 y = lg x 的严格增性来证明( 见第一章§4 例6 的注及(2 ) 式) , 简述如下: 对任给的ε>0 ( 不妨设ε<1 ) , 为使| q-0 | =| q | <ε, 只要 lgεnlg q lg q lg ε于是, 只要取 N = 即可 . lg | q | n 例 5 证明lim a = 1 , 其中 a > 0 . n →∞ n n 证 当 a = 1 时 , 结论显然成立 .现设 a > 1 .记 α= a - 1 , 则 α> 0 .由 a = ( 1 + α) ≥ 1 + nα = 1 + n( a n - 1 ) 得 1 n 1 1 n a - 1 (5) a n - 1 ≤ n . 1 1 a - 1 任给ε>0 , 由( 5) 式可见, 当 n >= N 时, 就有 a n - 1 <ε, 即|a n -1 | ε <ε.所以lim a = 1 .对于 0 n →∞ n 关于数列极限的ε- N 定义, 通过以上几个例子, 读者已有了初步的认识 . 对此还应着重注意下面几点: 1.ε的任意性 定义1 中正数ε的作用在于衡量数列通项an 与定数 a 的 接近程度, ε愈小, 表示接近得愈好; 而正数ε可以任意地小, 说明 an 与 a 可以 26 第二章 数 列 极限 接近到任何程度 .然而, 尽管ε有其任意性, 但一经给出, 就暂时地被确定下来, ε2 以便依靠它来求出N .又ε既是任意小的正数,那么,3ε或ε等等同样也是 2 ε 2 任意小的正数, 因此定义1 中不等式|an - a | <ε中的ε可用, 3ε或ε等来代 2 替 .同时, 正由于ε是任意小正数, 我们可限定ε小于一个确定的正数( 如在例4 的注给出的证明方法中限定ε< 1 ).另外, 定义1 中的|an - a |<ε也可改写成 | an - a | ≤ε. 2. N 的相应性 一般说 , N 随ε的变小而变大 , 由此常把 N 写作N(ε) , 来 强调 N 是依赖于ε的; 但这并不意味着 N 是由ε所唯一确定的, 因为对给定的 ε, 比如当 N = 100 时能使得当 n >N 时有 | an - a | <ε, 则 N = 101 或更大时 此 不等式自然也成立 .这里重要的是 N 的存在性, 而不在于它的值的大小 .另外, 定义 1 中的 n >N 也可改写成 n≥N . 3.从几何意义上看“, 当n>N 时有|an - a|<ε”意味着:所有下标大于N 的项 an 都落在邻域 U( a;ε) 内; 而在 U ( a;ε) 之外, 数列{ an } 中的项至多只有 N 个( 有限个).反之, 任给ε>0 , 若在 U ( a;ε) 之外数列{ an } 中的项只有有限 个, 设这有限个项的最大下标为 N , 则当 n >N 时有 an ∈U ( a;ε) , 即当 n >N 时有| an - a |<ε.由此, 我们可写出数列极限的一种等价定义如下: 定义1′ 任给ε> 0 , 若在 U( a;ε) 之外数列{ an } 中的项至多只有有限个, 则称数列{ an } 收敛于极限 a . 由定义1′可知,若存在某ε0 >0,使得数列{an}中有无穷多个项落在U(a; ε0 )之外,则{an}一定不以a为极限. 例6 证明{ n} 和{ (-1) } 都是发散数列 . 2 证对任何a∈R,取ε0 =1,则数列{n }中所有满足n>a+1的项(有无 22 穷多个) 显然都落在 U ( a;ε0 ) 之外, 故{ n } 不以任何数 a 为极限, 即{ n } 为发 散数列 . n n 至于数列{ ( - 1) } , 当 a = 1 时取ε= 1 , 则在 U( a;ε) 之外有{ (-1 ) } 中 0 0 2 n 的所有奇数项;当a≠1 时取ε0 = 1 n |a -1|,则在U(a;ε0 )之外有{( - 1) }中 2 n n 的所有偶数项 .所以{ (- 1 ) } 不以任何数 a 为极限, 即{ (- 1 ) } 为发散数列 . 例 7 设lim xn = lim yn =a , 作数列{ zn } 如下: n →∞ n →∞ 证明lim zn = a. n →∞ { zn } : x1 , y1 , x2 ,y2 , , xn ,yn, . 证 因 lim xn = lim yn = a , 故对任给的 ε>0 , 数列{xn } 和{ yn } 中落在 n →∞ n →∞ U( a;ε) 之外的项都至多只有有限个 .所以数列{ zn } 中落在 U ( a;ε) 之外的项 §1 数列极限概念 27 也至多只有有限个.故由定义1′,证得lim zn = a . n →∞ 例8设{an }为给定的数列,{bn}为对{an}增加、减少或改变有限项之后得 到的数列.证明:数列{bn}与{an}同时为收敛或发散,且在收敛时两者的极限相 等. 证 设{ an } 为收敛数列, 且lim an = a .按定义1′,对任给的ε>0,数列{an} n →∞ 中落在 U( a;ε) 之外的项至多只有有限个 .而数列{ bn } 是对{ an } 增加、减少或改 变有限项之后得到的, 故从某一项开始, { bn } 中的每一项都是{ an } 中确定的一 项, 所以{ bn } 中落在 U( a;ε) 之外的项也至多只有有限个 .这就证得lim bn = a . n →∞ 现设{an}发散.倘若{bn}收敛,则因{an}可看成是对{bn}增加、减少或改变 有限项之后得到的数列,故由刚才所证,{an}收敛,矛盾.所以当{an}发散时 { bn } 也发散. 在所有收敛数列中, 有一类重要的数列, 称为无穷小数列, 其定义如下: 定义 2 若lim an = 0 , 则称{ an } 为无穷小数列 . n →∞ 前面例1、2、4 中的数列都是无穷小数列 .由无穷小数列的定义, 读者不难证 明如下命题: 定理2.1 数列{ an } 收敛于 a 的充要条件是: { an - a} 为无穷小数列 . 习 题 1. 设 an = 1 + ( - 1) n , n = 1 ,2, , a = 0. n ( 1) 对下列 ε分别求出极限定义中相应的N : ε1 = 0 .1,ε2 = 0.01, ε3 = 0.001; ( 2) 对ε1 ,ε2 ,ε3 可找到相应的 N , 这是否证明了 an 趋于 0 ? 应该怎样做才对; ( 3) 对给定的 ε是否只能找到一个N ? 2. 按ε- N 定义证明: 2 + n n 3 n 3 ( 1) lim = 1 ; ( 2) lim = ; 2 n→∞n+1 n→ ∞ 2 n-1 2 n ! π ( 3) lim =0; (4)limsin =0; n n→∞ n n→ ∞n n( 5) lim = 0 ( a > 1) . n n →∞a 3. 根据例 2 , 例 4 和例 5 的结果求出下列极限, 并指出哪些是无穷小数列: n 1 1 ( 1) lim ; (2 ) lim 3 ; (3 ) lim ; 3n →∞ n→∞ n n→ ∞ n 1 1 ( 4) lim ; ( 5) lim ; ( 6) lim n 10 ; nnn→ ∞ n→∞ n→∞3 2 28 第二章 数 列 极限 1 ( 7) lim n . n→ ∞ 2 4. 证明: 若 lim an = a , 则对任一正整数 k , 有 lim an + k = a . n→∞ n →∞ 5.试用定义1′证明: n 1( - 1 ) ( 1)数列{ } 不以1 为极限; ( 2) 数列{ n} 发散 . n ( - 1 ) n 6. 证明定理 2.1 , 并应用它证明数列 1 + 的极限是 1 . n 7. 证明: 若 lim an = a , 则 lim | an | = | a | .当且仅当 a 为何值时反之也成立 ? n→∞ n→∞ 8. 按ε- N 定义证明: ( 1) lim( n→ ∞ n→ ∞ n +1- 1 + 2 +3+ n ) = 0 ; (2) lim n→∞ n3 + n =0; ( 3) lim an = 1 ,其中 n - 1 an = , n 2 n+ n , n n 为偶数, n 为奇数. §2 收敛数列的性质 收敛数列有如下一些重要性质: 定理2.2 ( 唯一性) 若数列{ an } 收敛, 则它只有一个极限 . 证 设 a 是{ an } 的一个极限 .我们证明: 对任何数 b≠a , b 不是{ an } 的极 1 限.事实上,若取ε0 = |b- a|,则按定义1′,在U(a;ε0)之外至多只有{an}中 2 有限个项,从而在U(b;ε0 )内至多只有{an }中有限个项,所以b 不是{an }的极 限 .这就证明了收敛数列只能有一个极限. 一个收敛数列一般含有无穷多个数,而它的极限只是一个数.我们单凭这一 个数就能精确地估计出几乎全体项的大小 .以下收敛数列的一些性质, 大都基于 这一事实. 定理2.3 ( 有界性) 若数列{ an } 收敛, 则{ an } 为有界数列, 即存在正数 M , 使得对一切正整数 n 有 n →∞ an ≤ M . 证 设lim an = a .取 ε= 1 , 存在正数 N , 对一切 n >N 有 an - a <1 即 a - 1 M = max{ a1 , a2 , , aN , a - 1 , a+1 }, §2 收敛数列的性质 29 则对一切正整数 n 都有 | an | ≤ M . 注 有界性只是数列收敛的必要条件, 而非充分条件 .例如数列{ ( - 1) } 有 界, 但它并不收敛( 见§1 例6). 定理2 .4 ( 保号性) 若lim an = a>0(或<0),则对任何a′∈(0, a)(或a′ n →∞ n ∈(a,0)),存在正数N,使得当n>N时有an >a′(或an -ε= a′,这就证得结果.对于a<0的情形,也可类似地证明. a 注 在应用保号性时 , 经常取 a′= . 2 定理2.5 ( 保不等式性) 设{ an } 与{ bn } 均为收敛数列 .若存在正数 N0 , 使 得当 N >N 0 时有 an ≤bn , 则lim an ≤lim bn . n→ ∞ n →∞ 证 设 lim an = a , lim bn = b .任给 ε>0 , 分别存在正数 N1 与 N2 , 使得当n n →∞ n →∞ >N1 时有 a - ε 当 n >N 2 时有 bn < b +ε. 取 N = max{ N0 ,N1 ,N2 } , 则当 n >N 时, 按假设及不等式( 1) 和(2 ) 有 a - ε < an ≤ bn < b + ε, n →∞ 由此得到 a n →∞ lim bn . 请读者自行思考: 如果把定理2.5 中的条件 an ≤bn 换成严格不等式 an < bn , 那么能否把结论换成lim an < lim bn ? n →∞ n →∞ 例 1 设 an ≥0( n = 1 ,2, ).证明:若lim an = a , 则 n →∞ n →∞ lim an = a. (3) 证 由定理 2.5 可得 a≥0 . 若 a = 0 , 则由lim an = 0 , 任给ε> 0 , 存在正数 N , 使得当 n >N 时有 an < n →∞ ε,从而 2 an <ε即| an - 0|<ε,故有lim n →∞ an = 0 . an - a a . 若 a > 0 ,则有 an - a a = an - an + a ≤ 任给ε>0 , 由lim an = a , 存在正数 N , 使得当 n >N 时有 n →∞ an - a < aε, 30 第二章 数 列 极限 从而| an - a|<ε.(3)式得证. 定理2 .6 ( 迫敛性) 设收敛数列{ an } , { bn } 都以 a 为极限, 数列{ cn } 满足: 存在正数 N0 , 当 n >N0 时有 则数列{ cn } 收敛, 且lim cn = a . n →∞ n →∞ an ≤ cn ≤ bn, (4) 证 任给ε>0 , 由lim an = lim bn = a , 分别存在正数 N1 与 N2 , 使得 当 n > n →∞ N1 时有 当 n >N 2 时有 a - ε bn < a +ε. 取 N = max{ N0 ,N1 ,N2 } , 则当 n >N 时, 不等式( 4) 、( 5) 、( 6) 同时成立, 即有 a - ε < an ≤ cn ≤ bn < a + ε . 从而有 | cn - a | <ε, 这就证得所要的结果. 定理2.6 不仅给出了判定数列收敛的一种方法, 而且也提供了一个求极限 的工具 . 例 2 求数列{ n n n} 的极限. n = 1 + hn , 这里 hn > 0 ( n >1) ,则有 n n( n - 1) 2 n = ( 1 + hn) > hn . 2 2 由上式得 0 n - 1 2 1 ≤ an = 1 + hn ≤1+ . n - 1 数列1+ 时有1+ n 解 记an = (7) 2 n -1 2 -1 n - 1 2是收敛于1 的, 因对任给的ε> 0 , 取 N = 1 + , 则 当 n >N ε <ε.于是,不等式(7)的左右两边的极限皆为1,故由迫敛 2 性证得lim n = 1 . n →∞ 在求数列极限时, 常需要使用极限的四则运算法则 . 定理2 .7 ( 四则运算法则) 若{ an } 与{ bn } 为收敛数列, 则{ an +bn } , { an - bn } , { an·bn } 也都是收敛数列, 且有 lim ( an ± bn ) = lim an ± lim bn , n →∞ n →∞ n →∞ lim ( an · bn ) = lim an · lim bn . n →∞ n →∞ n →∞ 特别当 bn 为常数c 时有 §2 收敛数列的性质 31 lim ( an + c) = lim an + c, lim can = c lim an . n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ 若再假设 bn ≠0 及lim bn ≠0 , 则 n →∞ an b n 也是收敛数列, 且有 lim an bn n → ∞ = lim an lim bn . n→∞ n→∞ an证 由于 a - b = a + ( - 1) b 及 1 , 因此我们只须证明关于和、 n n n n =an · bn bn 积与倒数运算的结论即可 . 设lim an = a , lim bn = b , 则对任给的 ε> 0 , 分别存在正数 N1 与 N2 , 使得 n →∞ n →∞ an - a <ε, 当n> <ε, 当n> N1, N2 . bn - b 取 N = max{ N1 , N2 } , 则当 n >N 时上述两不等式同时成立 , 从而有 1. | ( an + bn ) - ( a + b) | ≤ | an - a | + | bn - b| < 2εª lim ( an + bn ) = a + b . n →∞ 2. | an bn - ab| = | ( an - a) bn + a( bn - b) | ≤ | an - a | | bn | + | a | | bn - b| . ( 8) 由收敛数列的有界性定理, 存在正数 M , 对一切 n 有| bn | anbn - ab < (M+ 由ε的任意性, 这就证得lim an bn =ab. n →∞ a )ε. 3. 由于lim bn =b≠0 , 根据收敛数列的保号性, 存在正数 N 3 , 使得当 n > n →∞ 1N3 时有 | bn | > |b|.取N′=max{ N2 , N3},则当n>N′时有 2 b 2 bn - b 2ε 1 1 = bn - <- bnb bn b < 2 . b2 b 1 1 由ε的任意性, 这就证得lim = . b n → ∞bn 例 3 求 + + a1 n + a0 am n + am - 1 n , lim k - 1 k n →∞ bk n + b k - 1 n + + b1 n + b0 其中 m≤ k , am ≠0, bk ≠0. 解 以 n 同乘分子分母后 ,所求极限式化为 n →∞ m m - 1 - k lim am n m - k + am - 1 n m - 1 - k + bk + bk - 1 n n→ ∞ + a1 n 1 - k + a0 n 1 - k - k - 1 + + b1 n + b0 n - k . 由§1 例2 知, 当α> 0 时有lim n - α = 0.于是, 当 m =k 时, 上式除了分子分母 32 第二章 数 列 极限 的第一项分别为 am 与 bk 外, 其余各项的极限皆为 0 , 故此时所求的极限等于 am 当 m n →∞ m - k →0(n→∞),故此时所求的极限等于0.综上所述, m -1 lim amn m k + am -1 n + + a1 n + a0 + b1 n + bn = am bm 0, , k= m, k> m. bk n + bk - 1 n a k - 1 + n 例 4 求lim , 其中 a≠ -1. n n → ∞ a+ 1 a n 1解 若 a = 1 , 则显然有lim = ; n n → ∞ a+1 2 若| a |< 1 , 则由lim an = 0 得 n →∞ 若| a | > 1 , 则 n a lim n = lim a (lima n→∞ a+ 1 n→∞ n →∞ n n + 1 ) = 0; 1 = lim 1 = 1 . = n →∞ n 1 1 +0 n → ∞ a+ 1 1 + n a lim 例 5 求lim n( n →∞ n a n +1- n)= n ). n n +1+ =n 1 , 1 1 + + 1 n 解 n( n +1- 1 由 1 + →1 ( n→∞ ) 及例1 得 n n→ ∞ lim n( n +1 - n ) = lim n →∞ + 1 n 最后, 我们给出数列的子列概念和关于子列的一个重要定理. nk < ,则数列 an ,an , 1 2 1 + 1 1 1 = . 2 定义1 设{an}为数列,{nk}为正整数集N+ 的无限子集,且n1 k < 称为数列{ an } 的一个子列, 简记为{ an k } . 注1 由定义1可见, { an } 的子列{ ank } 的各项都选自{ an } , 且保持这些项在 { an } 中的先后次序 .{ an k } 中的第 k 项是{ an } 中的第 nk 项, 故总有 nk ≥k .实际 上{ nk } 本身也是正整数列{ n}的子列 . 例如, 子列{ a2 k } 由数列{ an } 的所有偶数项所组成, 而子列{ a2 k - 1 } 则由{ an } §2 收敛数列的性质 33 的所有奇数项所组成 .又{ an } 本身也是{ an } 的一个子列, 此时 nk =k ,k = 1 , 2 , . 注2 数列{ an } 本身以及{ an } 去掉有限项后得到的子列, 称为{ an } 的平凡 子列; 不是平凡子列的子列, 称为{ an } 的非平凡子列 .例如{ a2 k } 和{ a2 k - 1 } 都是 {an}的非平凡子列.由上节例8可知:数列{an}与它的任一平凡子列同为收敛 或发散,且在收敛时有相同的极限. 定理2.8 数列{ an } 收敛的充要条件是: { an } 的任何非平凡子列都收敛 . 证 必要性 设 lim an = a , { an } 是{ an } 的任一子列 .任给ε>0 , 存在正数 n →∞ k N , 使得当 k >N 时有| ak - a | <ε.由于 nk ≥ k, 故当 k >N 时更有 nk >N , 从 而也有|an - a|<ε,这就证明了{an }收敛(且与{an}有相同的极限). k k 充分性 考虑{ an } 的非平凡子列{ a2 k } , { a2 k - 1 } 与{ a3 k }.按假设, 它们都收 敛 .由于{ a6 k } 既是{ a2 k } , 又是{ a3 k } 的子列, 故由刚才证明的必要性, k→ ∞ lim a2 k = lim a6 k = lim a3k . k → ∞ k→ ∞ (9) (10) 又{ a6 k - 3 } 既是{ a2 k - 1 } 又是{ a3 k } 的子列, 同样可得 (9)式与(10)式给出 k→∞ lim a2 k - 1 = lim a3k . k→ ∞ k→ ∞ lim a2 k = lim a2 k - 1 . k → ∞ 所以由上节例7 可知{ an } 收敛 . 由定理2.8的证明可见,若数列{an}的任何非平凡子列都收敛,则所有这些 子列与{ an}必收敛于同一个极限.于是,若数列{an}有一个子列发散,或有两个 子列收敛而极限不相等,则数列{an}一定发散.例如数列{(-1)n},其偶数项组 成的子列{( -1)}收敛于1,而奇数项组成的子列{(-1)}收敛于-1,从而 nπ2 k-1 n {(-1)}发散.再如数列sin ,它的奇数项组成的子列 sin π 即为 2 2 nπk - 1 { ( - 1) } , 由于这个子列发散 , 故数列 sin 发散 .由此可见, 定理2.8 是判 2 断数列发散的有力工具 . 2n 2k- 1 习 题 1. 求下列极限: 1 + 2 n n + 3 n +1 (1) lim 3 , ( 2)lim n→∞ ; n→ ∞ 4 n+ 2 n + 3 n n2 n (-2) +3 2 (3) lim+ n - n) ; n→∞ ( 4)lim( n n + 1 n +1 ; n→ ∞ ( - 2 ) + 3 n n n (5) lim ( 1+ 2+ + 10) ; n→ ∞ 3 2 34 第二章 数 列 极限 1 1 + 1 n . 21 ++ (6) lim 2 22 n→∞1 1 ++ + n 3 32 3 2. 设 lim an = a , lim bn = b , 且 a N 时有 an n→∞ 3. 设{ an } 为无穷小数列, { bn } 为有界数列, 证明: { an bn }为无穷小数列 . 4. 求下列极限: (1) lim 1 + 1 + n→∞ 1·2 2·3 (2) lim ( 2 2 2 n→ ∞ 4 8 2n + 1 ; n( n + 1 ) 2 ) ; 2 n - 1 (3) lim 1 + 3 + + ; n→∞ 2 22 n 2n 1 (4) lim 1 - ; n→ ∞ n 1 1 (5) lim 1 + + + ;222 n→∞ ( n + 1) ( 2 n) n 1 1 1 (6) lim ++ +2 2 2 n→ ∞ n+ 1 n+ 2 n+ n . 5.设{ an }与{ bn } 中一个是收敛数列, 另一个是发散数列 .证明{ an ± bn } 是发散数列 .又 an 问{ an bn}和 ( bn ≠0 )是否必为发散数列? b n 6. 证明以下数列发散: n nπ n ncos . (1) ( - 1 ) ; ( 2) { n( - 1 ) } ; (3) n + 1 4 7.判断以下结论是否成立(若成立,说明理由;若不成立,举出反例) : (1) 若{a2k- 1}和{a2k}都收敛,则{an }收敛; (2) 若{ a3 k - 2 } , { a3 k - 1 } 和{ a3 k } 都收敛, 且有相同极限, 则{ an } 收敛 . 8. 求下列极限: 1 3(1) lim n→ ∞ 2 4 n p =1 2 n - 1 ;2n ∑ p ! (2) lim; n→∞ n! (3) lim [ ( n + 1)α - nα ] , 0 <α< 1; n→ ∞ (4) lim(1+α)(1+α) n→ ∞ 2 (1+α 2 n ) , |α| < 1. 9. 设 a1 ,a2 , ,am 为m个正数,证明: lim n→ ∞ n + a 1 + a2 n n + a m = max {a1 , a2 , n , am }. 10. 设 lim an = a .证明: n→∞ [ nan ] (1) lim = a; n n→ ∞ n→ ∞ (2) 若 a > 0 , an > 0 , 则 lim an = 1 . n §3 数列极限存在的条件 35 §3 数列极限存在的条件 在研究比较复杂的数列极限问题时,通常先考察该数列是否有极限(极限的 存在性问题);若有极限,再考虑如何计算此极限(极限值的计算问题).这是极限 理论的两个基本问题.在实际应用中,解决了数列{an}极限的存在性问题之后, 即使极限值的计算较为困难,但由于当n充分大时,an能充分接近其极限a,故 可用 an 作为 a 的近似值 .本节将重点讨论极限的存在性问题. 为了确定某个数列是否存在极限, 当然不可能将每个实数依定义一一验证, 根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断 . 首先讨论单调数列, 其定义与单调函数相仿 .若数列{ an } 的各项满足关系 式 an ≤ an+1 ( an ≥ an + 1 ), 1 则称{an}为递增(递减)数列.递增数列和递减数列统称为单调数列.如 n n2( -1)递减数列, 与{n}为递增数列,而 则不是单调数列 . n + 1 n 定理2.9 ( 单调有界定理) 在实数系中, 有界的单调数列必有极限 . n 为 证 不妨设{an}为有上界的递增数列.由确界原理,数列{an}有上确界,记 a=sup{an}.下面证明a就是{an}的极限.事实上,任给ε>0,按上确界的定 义,存在数列{an}中某一项aN,使得a-ε 另一方面, 由于 a 是{ an } 的一个上界, 故对一切 an 都有 an ≤a n →∞ a - ε < an < a + ε, 这就证得lim an = a .同理可证有下界的递减数列必有极限, 且其极限即为它的 下确界 . 例 1 设 1an = 1 + α 1 + + α 2 3 其中实数α≥2 .证明数列{ an } 收敛 . 1 + α , n = 1 ,2, n , 证 显然{ an } 是递增的, 下证{ an } 有上界 .事实上, 1 11 1 an ≤ 1 + + + + ≤ 1 + 1 + + 2 2·3 2 2 1·2 n23 + 1 ( n - 1) n 36 第二章 数 列 极限 =1+ 11 1 - + 2 2 - 13 + . + 1 1 n - 1 - n 1 = 2 - <2 , n = 1 , 2, n 于是由单调有界定理, { an } 收敛 . 例 2 证明数列 2, 2+ 2, , 2+ 2+ n个根号 + 2, 收敛,并求其极限. 证 记an = 证明{an}有上界. 2+ 2+ + 2,易见数列{an}是递增的.现用数学归纳法 来 2 + an < 2 + 2 = 2 , 从而对一 显然 a1 = 2 < 2 .假设 an < 2 , 则 有 an +1 = 切n有an <2,即{an}有上界. 由单调有界定理, 数列{ an } 有极限, 记为 a .由于 an + 1 = 2 + an , 对上式两边取极限得 a= 2 + a ,即有 ( a + 1) ( a - 2) = 0 , 解得 a = - 1 或 a = 2 . 由数列极限的保不等式性 , a = - 1 是不可能的, 故有 n →∞ 2 2 lim 2+ 2+ + 2 = 2 . S,则存在严格递增数列{xn} 例3 设S为有界数集.证明:若supS= aú ÌS , 使得lim xn = a . n →∞ 证因 a 是 S 的上确界 , 故对任给的 ε>0 , 存在 x ∈ S , 使得 x >a - ε .又 因aú S , 故 x a -ε< 现取ε1 =1,则存在x1∈S,使得 a - ε1 < 1 再取ε2 =min , a- x1 2