第三讲 复数域上的极限与连续

一．定义距离(两个复数之间的距离)

两个复数z1x1iy1,z2x2iyz的距离为

(z1,z2)z1z2(x1x2)2(y1y2)2.

有了两个复数之间的距离后,容易得出下面的结论

max{x1x2,y1y2}z1z2x1x2y1y2(如图2.1).

二．复数序列的极限

z£,使得 复数列{zn}n1,存在0z0limzn对0,N0,当nN时,有

nznz0.

图2.1 引理 若znxniyn,n1,2,L,z0x0iy0,则

limxx0nnlimznz0. nlimyy0nn三．复函数的极限

定义 设f:D£单值函数wf(z),z0x0iy0是D的一个聚点(非孤立点).若对于0,0,当0zz0时,有f(z)A,则称f(z)当zz0时以A为极限,记为

zz0limf(z)A.

引理 设zxiy,z0x0iy0,wf(z)u(x,y)iv(x,y),Aaib,则有

limu(x,y)a(x,y)(x0,y0). limf(z)Azz0limv(x,y)b(x,y)(x0,y0)四．复函数的连续

定义 设wf(z)定义在复数集D上,z0x0iy0D是D的一个聚点,若

zz0limf(z)f(z0),则称f(z)在点z0连续.

注:若点z0是D的一个孤立点,则f(z)在点z0连续.

引理 复函数wf(z)uiv在点z0x0iy0连续函数u(x,y),v(x,y)在点(x0,y0)连续.

复函数wf(z)在点集D上的每一点连续,则f(z)是D上的连续函数.

五．复级数

定义 设复数列{u}kk1,复数项级数的前

n项之和snuk(n1,2,L),

k1n然而得部分和序列{sn},级数和

uk1k@limsn,即ukAlimsnA.

nk1nuakibk,Aa0ib0,有 引理 复数列{uk}k1,若kaka0k1. uAkk1bbk0k1绝对收敛:级数

uk1k收敛,则称

uk1k绝对收敛.

级数

uk1k绝对收敛当且仅当级数

ak1k和级数

bk1k收敛.

六．复函数列{uk(z)}k1

设复函项级数

u(z),在点zkk10D,使复数列uk(z0)收敛,则称复函数

k1列在点z0收敛,z0称为复函数列的收敛点.收敛域={所有收敛点}.

复函项级数

u(z)绝对收敛u(z)收敛.

kkk1k1xxx2xnLL 补充内容:实数域上有e11!2!n!x3x2n1n sinxxL(1)L

3!(2n1)!2nx2nx cosx1L(1)L 2!(2n)!下面把上面的情况推广到复数域上:

ix(ix)2(ix)nLL(x¡) (1)形式上的令e11!2!n!ix由i21得eixcosxisinx. 下面是对Euler公式的严格定义和证明:

zz2znL设z£,对n1,2,L,令zn1得到序列{zn},不妨设

1!2!n!mn,那么

zn1zn2zmzn1zn2zm (1) zmznLL(n1)!(n2)!m!(n1)!(n2)!m!2znzzzL},{an}收敛于e,因为{an}再对实数序列进行分析{an11!2!n!收敛,由柯西准则有

L

(n1)!(n2)!m!由(1)可知{zn}也是柯西序列,所以{zn}收敛.记{zn}的极限为ez, 即z£定义

zz2znzne1LL

1!2!n!k1n!zzn1zn2zmzn级数收敛且绝对收敛,收敛域为整个复数域£.

k1n!z3z2n1n(2)形式上的令sinzzL(1)L

3!(2n1)!z3z2n1n定义序列znzL(1),利用上面同样的方法,可得

3!(2n1)!2n1z3zsinzzL(1)nL

3!(2n1)!2nz2nz(3)同理,也有cosz1L(1)L 2!(2n)!由(1)(2)(3)得证eizcoszisinz(Euler公式). 练习:

1. 设z(1i)3

(1)z表示为实部虚部的形式; (2)求z,argz(,); (3)求z的Euler指数表示;

(4)z的三角表达式;

解 (1)Qz(1i)3(1i)2(1i)2i(1i)12i,Rez2,Imz2. (2)z(1i)31i(2)322; argzarctan3i43Imz3arctan(1). Rez4(3)z22e.

(4)z22(cosisin)22(343422i). 222. 求(1)e1i;(2)cosi;(3)sini;(4)Re1i. 1i解 (1)Qe1ieeie(cos1isin1)Re(e1i)ecos1,Im(e1i)esin1.

eiieiie1e(2)cosi. 22eiieiie1e(ee1)i(3)sini. 2i2i21i(1i)21i(4)Qi,Re0.

1i(1i)(1i)1i3. (1)i;(2)lni;(3)Imln(1).

13解 (1)iie131313argi2ki()3ei(22k3)e2i(k)63

6当k0时,(i)0e13icoscos6isin631i; 22当k1时,(i)1e135i65531isini; 662233isini. 22当k2时,(i)2e(2)lnilnii(3i2cos22k)i(22k),k¢.

(3)ln(1)i(2k)i(2k1),Imln(1)(2k1).