一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．命题“若a＞b，则2a＞2b”的逆否命题是（ ） A．若a≤b，则2a≤2b B．若a＞b，则2a≤2b C．若2a≤2b，则 a≤b D．若2a≤2b，则 a＞b
2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
A．方程x+ax+b=0没有实根 B．方程x+ax+b=0至多有一个实根 C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D．方程x+ax+b=0恰好有两个实根 3．双曲线的焦点坐标是（ ） A． B． C．（±2，0）
D．（0，±2）
333
3
4．甲、乙两人下棋，和棋概率为，乙获胜概率为，甲获胜概率是（ ） A．
B．
C．
D．
5．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（ ） A．e
2
B．e C． D．ln2
6．如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（ ）
A．84，84 B．84，85 C．86，84 D．84，86
7．如图，M是半径R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（ ） A．﹣4 B．﹣2 C．4
D．2
9．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（xi，yi）（i=1，2，…8），其回归直线方程是A．
x+a，且x1+x2+x3+…+x8=2（y1+y2+y3+…+y8）=6，则实数a的值是（ ）
C．
D．
B．
2
10．若抛物线y=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（ ） A．（7，±
） B．（14，±
） C．（7，±2
） D．（﹣7，±2
）
11．已知函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A．a≥3 B．a=3 C．a≤3 D．0＜a＜3 12．已知有相同两焦点F1、F2的椭圆则△F1PF2的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．B直角三角形 C．钝有三角形 D．等腰三角形
13．若命题“∀x∈R，ax2﹣ax﹣2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A．[﹣8，0] B．（﹣8，0] C．[﹣8，0）
D．（﹣8，0） 和双曲线
，P是它们的一个交点，
14．设f（x），g（x）是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f'（x）•g（x）﹣f（x）•g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（ ）
A．f（x）•g（x）＞f（b）•g（b） B．f（x）•g（a）＞f（a）•g（x） C．f（x）•g（b）＞f（b）•g（x） D．f（x）•g（x）＞f（a）•g（a）
15．已知抛物线C：y=4x的交点为F，直线y=x﹣1与C相交于A，B两点，与双曲线E：
2
﹣=2（a＞0，b＞0）的渐近线相交于M，N两点，若线段AB与MN的中点相同，则双曲线
E离心率为（ ）
A．
B．2 C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 16．已知i是虚数单位，则
= ．
17．对任意非零实数a、b，若a⊗b的运算原理如图程序框图所示，则3⊗2= ．
18．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为 ．
19．曲线C的方程为，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得的点数，记事
件A为“方程表示焦点在x轴上的椭圆”，那么事件A发生的概率P（A）= ．
x
20．在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
21．已知曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=2． （1）将C测参数方程化为普通方程；
（2）直线l与曲线C交于A，B两点，求AB的长度．
22．设p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； （2）p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
23．某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．
（1）应收集多少位女生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． P（K2≥k0） k0 附：K=
2
．
0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 ．
0.005 7.879
24．在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，﹣的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A，B两点． （1）写出C的方程；
），（0，）的距离之和等于4，设点P
（2）若⊥，求k的值．
．
25．已知函数f（x）=（1）求f（x）的最大值； （2）当x＞0时，f（x）＞
，求正实数a的取值范围．
2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．命题“若a＞b，则2a＞2b”的逆否命题是（ ） A．若a≤b，则2a≤2b B．若a＞b，则2a≤2b C．若2a≤2b，则 a≤b D．若2a≤2b，则 a＞b 【考点】21：四种命题．
【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，写出即可． 【解答】解：命题“若a＞b，则2＞2”的逆否命题是 “若2≤2，则a≤b”， 故选：C．
2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
A．方程x+ax+b=0没有实根 B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根 C．方程x+ax+b=0至多有两个实根 D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根 【考点】R9：反证法与放缩法．
【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．
【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，
∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x+ax+b=0没有实根． 故选：A． 3．双曲线
的焦点坐标是（ ）
3
3
33a
b
a
b
A． B． C．（±2，0） D．（0，±2）
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线方程，可得该双曲线的焦点在x轴上，由平方关系算出c=即可得到双曲线的焦点坐标． 【解答】解：∵双曲线方程为
2
2
=2，
∴双曲线的焦点在x轴上，且a=3，b=1 由此可得c=
=2，
∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0） 故选：C
4．甲、乙两人下棋，和棋概率为，乙获胜概率为，甲获胜概率是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】C7：等可能事件的概率．
【分析】由于甲获胜与两个人和棋或乙获胜成立；甲获胜概率等于1减去和棋概率再减去乙获胜概率即可．
【解答】解：甲获胜概率是1﹣故选C
5．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（ ） A．e
2
B．e C． D．ln2
【考点】65：导数的乘法与除法法则．
【分析】利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f'（x0）=2解方程即可． 【解答】解：∵f（x）=xlnx ∴
∵f′（x0）=2 ∴lnx0+1=2 ∴x0=e，
故选B．
6．如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（ ）
A．84，84 B．84，85 C．86，84 D．84，86 【考点】BA：茎叶图．
【分析】根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和众数
【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后， 所剩数据84，84，86，84，87的中位数为84； 众数为：84； 故选A．
7．如图，M是半径R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过
R的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】CF：几何概型．
【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦MN的长度超过R的图形测度，再代入几何概型计算公式求解． 【解答】解：本题利用几何概型求解．测度是弧长． 根据题意可得，满足条件：“弦MN的长度超过
R”对应的弧，
其构成的区域是半圆则弦MN的长度超过故选：D．
，
R的概率是P=．
8．已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（ ） A．﹣4 B．﹣2 C．4
D．2
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】可求导数得到f′（x）=3x﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值．
【解答】解：f′（x）=3x﹣12；
∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0； ∴x=2是f（x）的极小值点； 又a为f（x）的极小值点； ∴a=2． 故选D．
9．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（xi，yi）（i=1，2，…8），其回归直线方程是A．
x+a，且x1+x2+x3+…+x8=2（y1+y2+y3+…+y8）=6，则实数a的值是（ ）
C．
D．
2
2
B．
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：∵x1+x2+x3+…+x8=2（y1+y2+y3+…+y8）=6， ∴=， =，
∴样本中心点的坐标为（，）， 代入回归直线方程得， =×+a， ∴a=．
故选：B
10．若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（ ） A．（7，±
） B．（14，±
） C．（7，±2
） D．（﹣7，±2
）
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】设P的坐标为（m，n），根据抛物线的定义得m+2=9，解出m=7，再将点P（7，n）代入抛物线方程，解之可得n=±2【解答】解：设P（m，n），则
∵点P到抛物线y2=8x焦点的距离为9，
∴点P到抛物线y2=8x准线x=﹣2的距离也为9，可得m+2=9，m=7 ∵点P（7，n）在抛物线y=8x上 ∴n=8×7=56，可得n=±2
2
2
，由此得到点P的坐标．
，
），
因此，可得点P的坐标为（7，±2故选C．
11．已知函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A．a≥3 B．a=3 C．a≤3 D．0＜a＜3 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出导函数，令导函数小于等于0在（0，2）内恒成立，分离出参数a，求出函数的范围，得到a的范围．
【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣ax2+1在（0，2）内单调递减， ∴f′（x）=3x﹣2ax≤0在（0，2）内恒成立， 即∵
在（0，2）内恒成立， ，
2
∴a≥3， 故选A
12．已知有相同两焦点F1、F2的椭圆则△F1PF2的形状是（ ）
和双曲线
，P是它们的一个交点，
A．锐角三角形 B．B直角三角形 C．钝有三角形 D．等腰三角形 【考点】KF：圆锥曲线的共同特征．
【分析】由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2轴长为2到结论．
【解答】解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长22
，不
①
，双曲线的实轴长为
，双曲线的实
，不妨令P在双曲线的右支上，根据椭圆和双曲线的性质以及勾股定理即可得
妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=4 又|F1F2|=4，
∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|， 则△F1PF2的形状是直角三角形 故选B．
2
2
②
13．若命题“∀x∈R，ax2﹣ax﹣2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A．[﹣8，0] B．（﹣8，0] C．[﹣8，0） 【考点】2H：全称命题．
【分析】对a分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出． 【解答】解：命题“∀x∈R，ax﹣ax﹣2≤0”是真命题， 令f（x）=ax2﹣ax﹣2， a=0时，f（x）=﹣2＜0成立．
a≠0时，∀x∈R，f（x）=ax2﹣ax﹣2≤0恒成立，则8≤a＜0．
综上可得：﹣8≤a≤0． 故选：A．
14．设f（x），g（x）是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f'（x）•g（x）﹣f（x）•g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（ ）
，解得﹣
2
D．（﹣8，0）
A．f（x）•g（x）＞f（b）•g（b） B．f（x）•g（a）＞f（a）•g（x） C．f（x）•g（b）＞f（b）•g（x） D．f（x）•g（x）＞f（a）•g（a） 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】令F（x）=判断出结论．
【解答】解：令F（x）=
，则F′（x）=
＜0，x∈R．
，可得F′（x）=
＜0，x∈R．即可
∴函数F（x）在（a，b）上单调递减． ∴F（a）＞F（b），即故选：A．
15．已知抛物线C：y=4x的交点为F，直线y=x﹣1与C相交于A，B两点，与双曲线E：
2
＞，化为：f（x）g（b）＞f（b）g（x）．
﹣=2（a＞0，b＞0）的渐近线相交于M，N两点，若线段AB与MN的中点相同，则双曲线
E离心率为（ ） A．
B．2
C．
D．
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】将直线方程代入抛物线方程，由韦达定理及中点坐标公式求得AB的中点D，将直线方程代入渐近线方程，求得M和N点坐标，则
=3，即可求得a=
b，e==
=．
【解答】解：由题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点D，
，整理得：x2﹣6x+1=0，
由韦达定理可知：x1+x2=6， xD=
=3，则yD=xD﹣1=3，
∴线段AB的中点坐标为D（3，2）．
直线y=x﹣1与双曲线的渐近线y=x联立，可得M（与双曲线的渐近线y=﹣x联立，可得N（
，﹣
，），
），
∴线段MN的中点坐标为（∵线段AB与MN的中点相同， ∴
=3，
，），
∴a=b，
则e==故选：C．
=
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 16．已知i是虚数单位，则
= 1+2i ．
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：
=
，
故答案为：1+2i．
17．对任意非零实数a、b，若a⊗b的运算原理如图程序框图所示，则3⊗2= 2 ．
【考点】EF：程序框图．
【分析】根据a⊗b的运算原理知a=3，b=2，通过程序框图知须执行【解答】解：由题意知，a=3，b=2； 再由程序框图得，3≤2不成立， 故执行得到3⊗2=
， =2．
，故把值代入求解．
故答案为：2．
18．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为 48 ．
【考点】84：等差数列的通项公式；8B：数列的应用．
【分析】先找到数的分布规律，求出第n﹣1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行从左向右的第3个数，代入n=10可得．
【解答】解：由排列的规律可得，第n﹣1行结束的时候共排了1+2+3+…+（n﹣1） =
=
个数，
+3=
，
∴第n行从左向右的第3个数为
把n=10代入可得第10行从左向右的第3个数为48 故答案为：48
19．曲线C的方程为
，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得的点数，记事
件A为“方程表示焦点在x轴上的椭圆”，那么事件A发生的概率P（A）= ．
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】易得总的基本事件共36个，表示椭圆的共15个，由概率公式可得． 【解答】解：m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数共6×6=36， ∵事件A表示焦点在x轴上的椭圆”
∴m＞n，列举可得事件A包含（2，1），（3，1），（3，2）， （4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2）， （5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3）， （6，4），（6，5）共15个 ∴P（A）=故答案为：
20．在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是
（e+e﹣1） ．
x
=
，
【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】先设切点坐标为（m，e），然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m处的导数，从而求出切线的斜率，求出切线方程，从而求出点M的纵坐标，同理可求出点N的纵坐标，将t用m表示出来，最后借助导数的方法求出函数的最大值即可． 【解答】解：设切点坐标为（m，em）．
∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣em=em（x﹣m）． 令x=0，解得y=（1﹣m）em．
过点P作l的垂线的切线方程为y﹣em=﹣e﹣m（x﹣m）．
m
令x=0，解得y=e+me．
∴线段MN的中点的纵坐标为t= [（2﹣m）em+me﹣m]． t'= [﹣em+（2﹣m）em+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1． 当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0． ∴当m=1时t取最大值（e+e）． 故答案为：（e+e﹣1）．
三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 21．已知曲线C的参数方程为
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴
﹣1
m﹣m
为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=2． （1）将C测参数方程化为普通方程；
（2）直线l与曲线C交于A，B两点，求AB的长度． 【考点】QH：参数方程化成普通方程．
【分析】（1）消去参数t，求出C的普通方程即可；（2）求出直线l的普通方程，联立直线和圆，求出弦长即可．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为即
，故（x﹣4）2+（y﹣5）2=25；
（t为参数），
（2）∵直线l的极坐标方程为ρsinθ=2， ∴直线l的普通方程为y=2， 由
，
解得或，
故|AB|=8．
22．设p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； （2）p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
．
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；2E：复合命题的真假．
【分析】（1）利用一元二次不等式和分式不等式的解法即可化简命题p，q，命题p与q都为真命题，即可得出．
（2）p是q的必要不充分条件，可得
，即可解出．
【解答】解：（1）当a=1，（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得1＜x＜3， 由
．解得2＜x≤3，
∵p，q均正确， ∴2＜x＜3，
故实数x的取值范围为（2，3）， （2）p是q的必要不充分条件， ∵p为a＜x＜3a， ∴
，
解得1＜a≤2，
故实数a的取值范围（1，2]．
23．某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．
（1）应收集多少位女生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． P（K2≥k0） k0 附：K2=
0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 ．
0.005 7.879
【考点】BL：独立性检验．
【分析】（1）根据频率分布直方图进行求解即可．
（2）由频率分布直方图先求出对应的频率，即可估计对应的概率． （3）利用独立性检验进行求解即可 【解答】解：（1）300×
=90，所以应收集90位女生的样本数据．
（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，
所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．
（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表
每周平均体育运动时间 不超过4小时 每周平均体育运动时间 超过4小时 总计 结合列联表可算得K2=
210 =
90 ≈4.762＞3.841
300 165 60 225 男生 45 女生 30 总计 75 所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
24．在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，﹣的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A，B两点． （1）写出C的方程；
），（0，
）的距离之和等于4，设点P
（2）若⊥，求k的值．
【考点】J3：轨迹方程；KH：直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（1）由题中条件：“点P到两点（0，﹣合椭圆的定义知其轨迹式样，从而求得其方程．
（2）先将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y得到一个一元二次方程，再利用根与系数的关系结合向量垂直的条件列关于k方程式即可求得参数k值． 【解答】解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，﹣为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b=
），（0，
2
），（0，）的距离之和等于4，”结
）=1．
=1，故曲线C的方程为x+
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足消去y并整理得
（k2+4）x2+2kx﹣3=0， 故x1+x2=﹣∵
⊥
，x1x2=﹣
．
∴x1x2+y1y2=0．
∵y1y2=kx1x2+k（x1+x2）+1， ∴x1x2+y1y2=﹣
25．已知函数f（x）=（1）求f（x）的最大值； （2）当x＞0时，f（x）＞
，求正实数a的取值范围． ．
﹣
﹣
+1=0，化简得﹣4k2+1=0，所以k=±．
2
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3H：函数的最值及其几何意义；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）令分母xex+1=g（x），利用导数研究其单调性可得：x=﹣1时函数g（x）取得极小值，g（﹣1）＞0．可得函数f（x）的定义域为R．f′（x）=
，利用导数
研究其单调性可得：x=0时，函数f（x）取得极大值即最大值． （2）当x＞0时，f（x）＞
，a＞0，⇔（ax2﹣x+1）ex﹣1＞0．x＞0，a＞0．令h
）ex．对a分
（x）=（ax2﹣x+1）ex﹣1，x＞0，a＞0．h（0）=0．h′（x）=ax（x﹣类讨论利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
【解答】解：（1）令分母xex+1=g（x），可得：g′（x）=ex（1+x），可得x=﹣1时函数g（x）取得极小值，g（﹣1）=1﹣＞0． ∴函数f（x）的定义域为R． f′（x）=
，可得x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；x＞0时，
f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴x=0时，函数f（x）取得极大值即最大值，f（0）=1． （2）当x＞0时，f（x）＞
，a＞0，⇔（ax﹣x+1）e﹣1＞0．x＞0，a＞0．
2
x
令h（x）=（ax2﹣x+1）ex﹣1，x＞0，a＞0．h（0）=0． 则h′（x）=ax（x﹣
）ex．
①a≥时，h′（x）=ax2ex＞0，函数h（x）在x＞0时单调递增，∴h（x）＞h（0）=0，满足条件．
②0＜a＜时，函数h（x）在x=
处取得极小值即最小值，x∈
时单调递
减，∴h（x）＜h（0）=0，不满足条件，舍去． 综上可得：正实数a的取值范围是
．
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