高中物理竞赛磁场内容讲解

磁 场

一、恒定电流的磁场

1、直线电流的磁场

通有电流强度为I的无限长直导线，距导线为R处的磁感应强度为：B度为I的有限长直导线为R处的P点的磁感应强度为：

0I；如下图距通有电流强2RB0I(coscos)----------------------------------① 4R

若P点在通电直导线的延长线上，则R=0 α=0 β=π 无法直接应用上述式子计算，可进行如下变换

11d1d2sin()lR 22上式中d1、d2分别为P点到A、B的距离，l为直导线的长度

所以：R0Ilcoscosd1d2sin() 代入①式得：B4d1d2sin()l2cos

令

ycoscossin()2222sincossin222y0

coscos

将α=0 β=π代入上式得

所以：在通电直导线的延长线上任意一点的磁感应强度为B

0

2、微小电流元产生的磁场

微小电流元的磁场，根据直线电流的磁场公式B0I(coscos)得： 4r第1页

奥林匹克物理竞赛辅导《磁场》 Ⅰ若、都是锐角，如左图，有：

B0II(coscos)=0(sin1sin2) 4r4r0，所以B因1、20II(sin1sin2)0(12) 4r4r所以：B0I 4rⅡ若、中有一个是钝角，如（右图），则：

B0II(coscos)0[sin(0)sin0]-------------①

4d4rcos0sin(0)sin0sincos0cossin0sin0

因0，所以：

sin(0)sin0sincos0cos0--------------------------------②

②式代入①式得：B0I 4r 总上所述，电流元I在空间某点产生的磁场为：B为电流元端点与该点连线张开的角度。

0I4r，式中r为电流元到该点的距离，3、环形电流的磁场

半径为R的圆环通有电流I，则 Ⅰ、环心处的磁场：B

0III004R4R2R第2页

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Ⅱ、在垂直于环面的轴线上，距环心为x处的磁场：

BBisin0IIsinsin04r4r------------①

rR2x2sinR----------------------------------------------------------------②

Rx2Rr22----------------------------------------------------------③

2RRx22-----------------------------------------------④

将②③④代入①得：B0IR22(R2x2)32

结论：半径为R的金属园环，其内通有电流I，则在过环心垂直于园环面的直线上与环心距离为x的一点，磁感应强度为：B0IR22(x2R2)32

若x0，即环心处的磁感应强度为：B0I2R

4、磁极子在轴线上距其中心为x的点产生的磁场为：B0pm 2x3磁极子在平行与其平面距中心为x的点产生的磁场，以边长为L、通电电流为I的磁极子为例：

B因x0IIL()024x0.5Lx0.5L4x0.25L2L，所以，

L0pm，代入上式，并略去二级无穷小量，得：B4x3x

以上结论可推广到其它磁极子。 有一磁极子，磁矩为求p点的磁场

根据磁极子在轴线上和在平行与其平面的某点产生的磁场公式可得p点磁场的两个分量分别为：

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pm， p点距磁极子距离为x，p点与磁极子中心连线与磁极子轴线成角，

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Bx0pmcos2x322

By0pmsin4x3

BBxBy0pmsin24cos234x

5、无限长直螺线管的电流的磁场

若无限长直螺线管单位长度的匝数为n，通有电流I，则螺线管内部的磁感应强度B1、螺线管端口的磁感应强度B2分别为：

B10nI B2的顶点的磁感应强度

10nI 2例1、水平放置的边长为L的正三角形导线框内通有恒定电流I，求以该正三角形为底面的正四面体

例2、边长为L的正方形线圈通有电流I，求 （1）正方形中心处的磁感应强度为多少?

（2）过正方形中心垂直于线圈平面的轴线上一点P距正方形中心为x，P点的磁感应强度为多少？若x>>L，求P点的磁感应强度的近似值。

例3、对磁现象的成功解释最早是由安培提出来的，按照安培的计算，长直细导线通过恒定电流I，并被弯成“V”形，半张角为α，如图所示。在“V”形导线包围面以外对称轴上的P点（OP=d）的磁感应强度B的大小正比于tan2。安培的研究后来被总结到麦克斯韦电磁理论中而被普遍接受。求

（1） P点的磁感应强度B的方向

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（2） 按照安培的研究，P点的磁感应强度B的大小为：Bktan2，k?

（3） p/点是对称轴上与P点关于顶点O对称的点，P/点的磁感应强度的大小为多少？

例4、有一无限长的金属圆筒，今在圆筒中沿轴线方向通入均匀电流，试证明在筒内任意一点的磁感应强度都为零。

例5、在半径为R的木球上紧密的绕有细导线，相邻线圈可认为相互平行，以单层盖住半个球面，如图所示。导线中通有电流I，线圈总匝数为N，试按以下两种情况求球心处的磁感应强度。

（1） 线圈沿球的半径方向均匀分布 （2） 线圈沿球的弧面方向均匀分布

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例6、一根很长的直长铜导线，载有电流I，导线的横截面半径为R，在导线内以轴线为边界，沿半径方向做一个平面S，如图所示。求通过每米导线内S平面的磁通量。

例7、（1）电流均匀地通过宽为2d的无限长平面导体薄板，电流强度为I。通过板的中心并与板面垂直的直线上有一点P，P到板的距离为x，不计板的厚度，求P点的磁感应强度。

（2）无限大的导体平面，以面电流密度i均匀通有电流，求空间一点的磁感应强度。 （3）厚度为2d的无限大导体平板，电流密度为

例8、如图所示，一半径为R的无限长半圆柱面导体，其上电流与其轴线上一无限长直导线的电流等值同向，电流强度为I，均匀分布。求

（1） 轴线上直导线单位长度所受的力

（2） 若用另一无限长直导线（通有与半圆柱面导体相同的电流）代替半圆柱面导体，产生同样

的作用力，该导线应放在何处？

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j，求空间一点的磁感应强度。

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例9、将一均匀分布着面电流的无限大载流平面放入均匀磁场中，平面中电流方向垂直于纸面向里。已知平面两侧的磁感应强度分别为B1、B2，如图所示。求该载流平面上单位面积所受的磁场力的大小和方向。

例10、在半径为R的无限长均匀金属圆柱体内平行于轴线挖去一半径为r的无限长圆柱体，两圆柱体轴线间距离为a，今在此空心导体中沿轴线通一均匀电流I，求空心部分的轴线上任意一点的磁感应强度。

例11、真空中有一个无限长的薄壁导体圆筒，截面半径为R，通以均匀恒定的电流I，将其沿轴线切成两半，分开一极小距离，设电流分布不变，试求其中一部分上L长度的电流受到的安培力。

例12、半径为R载有电流I1的导体圆环与载有电流I2的无限长直导线AB共面。AB通过圆环的铅直直径且与圆环彼此绝缘。求圆环所受的力。

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例13、（1）如图所示，两个完全相同的导体环A、B的中心都在Z轴（竖直方向）上，两环面平行且水平，分别位于Z=±h的平面，为使两环相互排斥，它们通的电流方向相同还是相反？

（2）一个通有电流的导体园环，能够不用任何机械的情况下飘浮在水平的超导平面之上。假设平面Z=0就是一个水平的超导平面，A是一个通有电流的导体园环，它的质量为m，半径为r（r>>h），求A平衡时距离超导平面的距离。

（3）如果A环在竖直方向上微振动，求其振动周期。

例14、长同为L、质量同为m的两根细长匀质导体棒，与两根自由长度同为l0（l0<第8页

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例15、将截面半径为r=9.85cm的铜管插进另一个截面半径为R=10cm的等长的铜管中，两管之间留有均匀的d=1.5mm的缝隙，在缝隙中充满变压器油，油的相对介电常数为ε=5。两管的轴水平，并垂直于磁子午线，细铜管内有一小磁针，它可以在水平面内自由旋转。两铜管构成的电容器用静电机充电至30kV，外管开始以f=50r/s的转速匀速转动，求磁针偏离磁子午面的角度。已知地磁场的水平分量为Bz=2×10-5T，真空中的磁导率与介电常数之积满足：001c2，c为光速，该问题中认为铜管长度远大

于其半径，两铜管构成的电容器可近似使用平行板电容器公式。

二、带电粒子在磁场中的运动

（一）用运动分解法解决带电粒子在磁场中的运动问题

例1、如图所示，光滑绝缘水平面上，有一质量m，带电量为+q的小球，该空间有场强为E水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B.现将小球由静止释放，求小球运动中的最大速率。

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例2、如图所示，磁感强度为B的水平匀强磁场的上边界为水平线MN，边界线MN以下磁场分布范围较宽，今有一质量为m、带电量为q的正电粒子以速度υ0竖直向下射入磁场中，粒子重力不可忽略，求粒子向下运动的最大距离及粒子从磁场中飞出点与入射点之间的距离。

例3、如图所示，在真空中建立一坐标系xoy-z，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向下，z轴正方向垂直于纸面向里，在0yL的区域内有沿z

轴正方向的匀强磁场，

L0.8m，

q50C/kg的带正电质点在x0、y0.20m、z0处由m静止释放，将带电质点经过原点的时刻定为t0的时刻，求带电质点在磁场中任一时刻t的位置坐标，

B0.1T。今把一何质比k并求它刚离开磁场时的位置和速度。取g

10m/s2

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例4、如图所示，磁感强度为B的匀强磁场有一水平的上边界，质量为m、带电量为+q的微粒（重力不能忽略）从边界上O点以与边界成θ角方向，大小为υ0的速度斜向上射出，微粒运动一段时间后恰好经过边界上的P点，已知OP=L，试讨论物理量m、q、B、υ0应满足的条件。

（二）综合性问题

例1、如图所示，在一磁感强度为B的无限大的匀强磁场中，一个粒子质量为m、电量为-q，在匀强磁场中运动，这个粒子在运动过程中受到大小恒为F的阻力作用。现在从y轴上P点沿x轴正方向发射这个粒子，初速度大小为υ0，不计重力，设OP=（1）粒子发射后作什么运动？

（2）粒子的这种运动可用一种什么样的力学模型来模拟？

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mv0qB，问 ：

奥林匹克物理竞赛辅导《磁场》 （3）若粒子的初速度为v0

例2（15届决赛）、如图所示，在半径为R的圆形平面内分布有匀强磁场，磁场方向与圆面垂直且指向纸外，圆面的周界是一刚性的圆环。SD是圆环的一条直径，一束质量和电量都相等的带正电的粒子以不同的速度沿垂直于磁场的方向从S点射入磁场，速度方向与SD的夹角不超过300，粒子的重力不计。已知这种粒子在该磁场中做匀速圆周运动的周期为T. 在D点圆环上有一小孔，只要粒子到达D点，该粒子就从小孔穿出磁场区域。设粒子与圆环的碰撞为完全弹性的，每次碰撞后粒子的电量都不变，不考虑粒子间的相互作用与相互碰撞。求满足以下条件的那些粒子在射入磁场时的速度的大小和方向。粒子在磁场内运动的总时间为T且与圆环的碰撞不超过6次，其中最后一次“碰撞”是正好到达D点。

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F2(3)，求粒子从发射到第一次到达x轴的时间和位置。 qB3奥林匹克物理竞赛辅导《磁场》

例3、（16届决赛）围绕地球周围的磁场是两极强，中间弱的空间分布。1958年，范·阿伦通过人造卫星搜集到的资料研究了带电粒子在地球磁场空间中的运动情况后，得出了在距地面几千公里和几万公里的高空存在着电磁辐射带（范·阿伦辐射带）的结论。有人在实验室中通过实验装置形成了如图所示的磁场分布区域MM/，在该区域中，沿z轴从左到右由强变弱再变强，对称轴为PP/。已知z轴上O点的磁感应强度大小为B0，两端的磁感应强度大小为BM，现有一束质量均为m、电量均为q、速度大小均为υ0的不计重力的粒子，在O点以与z轴成不同的投射角α向右半空间发射。设磁场足够强，粒子只能在由紧邻z轴的磁感线围成的截面积很小的“磁力管”内运动。试分析说明具有不同的投射角α的粒子在磁场区域的运动情况。

提示：在理论上可以证明：在细“磁力管”的管壁上粒子垂直磁场方向的速度v的平方与“磁力管”轴上的磁感应强度的大小B之比为一常数。

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例4、如图所示，S为一粒子发射源，它均匀地向各个方向持续发射质量为m、电量为q的正粒子（不计重力），发射速率恒为υ0，在发射源S的旁边有一半径为R的圆屏，沿SO方向加一磁感强度为B的匀强磁场，发射源到圆屏的垂线恰好过圆屏的中心，则打在圆屏上的粒子占总发射粒子的比例是多少？

例5、空间有半径为R、长度L很短的圆柱形磁场区域，圆柱形的轴为x轴，磁场中任意一点的磁感应强度都与到x轴的距离r成正比，即B=kr，k为常数。磁场关于x轴有轴对称性，磁感线是以x轴为中心的圆形。一簇质量为m、电量为q的正粒子（不计重力），以平行于x轴的很大的速度υ穿过该磁场。试分析粒子穿过磁场后的运动情况。

例6、在云室中，有如图所示方向的匀强磁场，一质子在其内做半径为r1的匀速圆周运动。现有一未知粒子沿x轴方向进入云室，并与质子发生完全弹性碰撞，碰后未知粒子朝与x轴、y轴均成450角方向做匀速直线运动，质子则绕半径r2的新轨道做匀速圆周运动，且r1和r2恰成黄金分割，问未知粒子是什么？

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例7、在xyz坐标系中，质量为m、电量为-q的不计重力的带负电粒子，从坐标原点O以速度υ射出，υ的方向在yOz平面内，与y轴正向成300角，如图所示。要使粒子经过点A（a、0、a），空间存在沿OA方向的匀强磁场，求磁感应强度的大小。

例8、一不计重力的带电粒子，以一定速度射入某一区域，粒子受到的空气阻力大小与其速度成正比，粒子停止运动前运动的距离为10cm，保持粒子的初速度不变，在该区域垂直于粒子运动方向加一匀强磁场，结果，粒子停止运动时与入射点相距6cm，若把磁感强度的大小减小为原来的一半，其它条件不变，则粒子停止运动时与入射点相距多远？

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例9、如图所示，一窄束单能（动能为定值）氩离子通过一扇形匀强磁场，图中线在进出磁场时离子束的轴线都与磁场的边界垂直。求质量数为m1600，此束射

36和m240的氩同位素离子

束的发散角。

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