践探索 … …ｌ黜Ｉ－ －１轴 糖 ：ｌ莲 藏ｌ：｜． ｈ ｌ◇ ＿～空间龟量在立体几何中的应用＿ ＿ ： ≥ ≤ —． 口乔全福 ． ～ 谚 ≠ 用传统几何法研究空间中直线与平面位置 ｌｊ一关系、空间距离和空间角的问题时，需要作 面问题的相互转化，可有效提高学生空间想象能力、理 性 维能力和综合分析能力。 问题平面化，一般难度较大。 向量是一种重要的数学工具，利用空间向量表示 空间点、直线、平面等元素，建立立体图形与空间向 量之间的联系，将立体几何问题转化为空间向量问题， 空间距离主要是两点间的距离和点到平面的距 离，前者可利用向量的模即两点间的距离公式求解；后 者可利用平面的法向量代入公式求解；其他距离问题 均可转化为这两种距离问题。 进行空间向量的运算，然后作出运算结果的几何解释， 进而得出几何结论，即几何问题转化为向量代数运算 问题，是研究立体几何问题的简易方法。下面举例说 明之。 一例２．在例ｌ的条件下，求直线ｃＤ到平面 曰的距离。 解：因为底面Ａ曰ｃＤ是正方形，ＣＤ／／Ａ Ｂ，∞不包含 于平面 ，ＡＢ包含于平面 Ｂ，所以∞∥平面 曰。 的距离即是直线ｃＤ到 的距离。因为 因此ｃＤ上任意一点到平面 空间向量与空间图形的位置关系 平面 的距离，不妨求点Ｄ到平面 、利用直线的方向向量和平面的法向量，只需简单 直线 的一个方向向量为ｃ＝（１，０，０），平面 日的一 的运算，即可证明空间直线与直线、直线与平面、平面 与平 之 ．个法向量为ｐ （１，０，１），因此直线ｃＤ到平面 曰的距 例１， 。 一． 日 如图．存四格锥Ｐ一 ＢＣＤ中．底面 ＢＣＤ县ＴＦ 离 斧＝ 。一 底面Ａ曰∞，肋＝。ｃ，点Ｅ是 中 ．线所成的角、直线与平面 ｃ 睡 ∥）求证平面一； ：既 平面Ｅ肋。 需求出直线的方向向量与平面的法向量，辜 ．萎 嵩 言 体现了向量 以 证明：以Ｄ为坐标原点，分别 ／ １． ｃ、ＤＰ所在直线为 轴、ｙ 二＿ 二 轴、ｚ轴，建立如图所示空间直角 坐标系。设正方体的棱长为１，则 法的优越性。 解量为 ：例３在例１的条件下，求二面角ｃ一船一Ｄ的大小。 ：设二面角ｃ一既｝一Ｄ的大小为 。平面既｝ｃ的法向 的法向量为ｌ，：（１，－１，Ｏ），则 （０，１，１），平面 ＇０，。 （１，１＇０）’ｃ（０’１，ｏ）’Ｄ（ｏ’０，０） 。，｛，… ：｛ ｛）， ÷，÷， ），Ｐ（０，０，１） 因为二面角ｃ一船一Ｄ是锐角，所以 ＝６０。 平㈩ ．面ＥＤＢ的一个法向量为ｍ：（－１，１，－１），口．Ｊ，ｌ ×（－１） 方向向一＝（１，０，－１ ，亚面 嘉 。 ，＋０ｘｌ＋（－１）×（一１）＝０，且直线 不包含于平面肋 ，所 以 ∥平面Ｅ册 （２）因为直线朋的一个方向向量为西＝（１，１，一１），平 面Ｅ肋的—个法向量为ｎ＝（１，１，一１），显然６ ，所以 ∥，ｌ， 因此既｝上平面肼Ｄ 取ｉ向 夹角余 值 正 角还是钝角则需要通过图形来确定。 向量具有数与形两大特征向量的运算能有效、 简洁地描述图形中的数量关系和空间形式加之向量 与坐标系有着紧密的联系用向量作为工具来研究立 ，，≤磊 茎 ，体几何可题，面面平行或垂直问题可转化为其法向量平行或垂 直问题。应用“化归思想”进行线线问题、线面问题、面 真正实现了形与数的有初结合。 （作者单位：大通县第一完全中学） （责任编辑 陈景东） ｔｊ３６