高三数学第一轮复习单元测试 《集合与函数》

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合A{1,2},则满足AB{1,2,3}的集合B的个数是

A．1 B．3

x(x1)3（ ）

C．4 D．8

2

2．已知集合M＝｛x|

A．

，N＝｛y|y＝3x＋1，xR｝，则MN＝ 0｝（ ）

B．{x|x1} C．｛x|x1｝ D．{x| x1或x0}

3．有限集合S中元素个数记作cardS，设A、B都为有限集合，给出下列命题： ①AB的充要条件是cardAB= cardA+ cardB； ②AB的必要条件是cardAcardB； ③AB的充分条件是cardAcardB； ④AB的充要条件是cardAcardB.

其中真命题的序号是

A．③、④ B．①、② C．①、④ D．②、③ 4．已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，则M∩N＝ （ ） A． B．｛x|0＜x＜3｝ C．｛x|1＜x＜3｝ D．｛x|2＜x＜3｝ 5．函数ylog22xxxx1(x1)的反函数是 （ ）

212xx A．y21(x0)B．y2xx21(x0)C．y(x0)D．y212xx(x0)

6．函数f(x)133x2lg(3x1)的定义域是

13 （ ）

1x A．(,) B．(,1) C．(111,) D．(,) 3337．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

A．yx,xR B．ysinx,xR

1xyx,xR D．y(),xR

213（ ）

8．函数yf(x)的反函数yf(x)的图象与y轴交于点

P(0,2)（如图2所示），则方程f(x)0的根是x（ ）

A．4 B．3 C．2

2D．1

（ ）

9．已知函数f(x)ax2ax4(0a3),若x1x2,x1x21a,则

A．f(x1)f(x2) B．f(x1)f(x2)

C．f(x1)f(x2) D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定

10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），

.如，明文1,2,3,4对应密文已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a2b,2bc,2c3d,4d例5,7,18,1当接收方收到密文6.14,9,23,28时，则解密得到的明文为

（ ）

A．7,6,1,4 B．6,4,1,7 C．4,6,1,7 D．1,6,4,7

11．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f（x）表示弧AB与弦AB所 围成的弓形面积的2倍，则函数y=f（x）的图象是（ ）

12．关于x的方程x1x1k0，给出下列四个命题：

①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是 （ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.

22213．函数fx对于任意实数x满足条件fx2－

1fx，若f15,则ff5_______.

－

－

14．设f（x）＝log3（x＋6）的反函数为f1（x），若〔f1（m）＋6〕〔f1（n）＋6〕＝27，则f（m＋n）＝___________________．

ex,x0.115．设g(x)则g(g())__________．

2lnx,x0.16．设

fxlg2x2x，则

x2ff2x的定义域为_____________ ．

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

2 已知函数f(x)x(lga2)xlgb满足f(1)2且对于任意xR, 恒有f(x)2x成立.

（1）求实数a,b的值; （2）解不等式f(x)x5.

18（本小题满分12分） 20个下岗职工开了50亩荒地，这些地可以种蔬菜、棉花、水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳力和预计的产值如下：

蔬 菜 棉 花 水 稻 每亩需劳力 12每亩预计产值 1100元 750元 600元 1314问怎样安排，才能使每亩地都种上作物，所有职工都有工作，而且农作物的预计总产值达到最高？

19．（本小题满分12分）已知函数f(x)ax2bx1 (a,b为实数),xR,

f(x) (x0) F(x) f(x) (x0)（1）若f(1)0,且函数f(x)的值域为[0, ),求F(x)的表达式;

（2）在（1）的条件下, 当x[2, 2]时, g(x)f(x)kx是单调函数, 求实数k的取值范围; （3）设mn0, mn0,a0且f(x)为偶函数, 判断F(m)＋F(n)能否大于零? 20．（满分12分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）－x2+y_=f（x）－x2+x. （1）若f（2）－3,求f（1）;又若f（0）=a,求f（a）;

（2）设有且仅有一个实数x0,使得f（x0）= x0,求函数f（x）的解析表达式. 21．（本小题满分12分）

设函数f(x)x24x5.

（1）在区间[2,6]上画出函数f(x)的图像； （2）设集合Axf(x)5,并给出证明；

（3）当k2时，求证：在区间[1,5]上，ykx3k的图像位于函数f(x)图像的 上方.

B(,2][0,4][6,). 试判断集合A和B 之间的关系，

22．（本小题满分14分）

设a为实数，记函数f(x)a1x21x1x的最大值为g（a）.

（1）设t＝1x1x，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）； （2）求g（a）；

（2）试求满足g(a)g()的所有实数a．

a1

参（1）

1．C．A{1,2}，AB{1,2,3}，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A{1,2}的子集 个数问题，所以满足题目条件的集合B共有24个.故选择答案C． 2．C．M＝｛x|x1或x0｝，N＝｛y|y1｝故选C

23．B．选由cardAB= cardA+ cardB+ cardAB知cardAB= cardA+ cardBcardAB=0AB.由AB的定义知cardAcardB. 4．D． Nxlog2x1xx2,用数轴表示可得答案D． 5．A．∵

ylog2xx1 ∴

11x1xx12y 即ylog22x2xx

021xx1 ∵x1 ∴ ∴函数ylog2xx1xx11 即y

(x1)的反函数为yx21(x0).

16．B．由x03x1013x1，故选

B．

7．B．在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇

函数,是减函数;故选A．

8．C．利用互为反函数的图象关于直线y=x对称，得点（2，0）在原函数yf(x)的图象上，即f(2)0， 所以根为x=2.故选C

9． B．取特值a1,x12,x22,f2f2，选B；或二次函数其函数值的大小关系，分类研究对 成轴和区间的关系的方法， 易知函数的对成轴为x1,开口向上的抛物线, 由x1x2, x1+x2=0，需 分类研究x1x2和对成轴的关系,用单调性和离对成轴的远近作判断,故选B;

10．B．理解明文密文（加密），密文明文（解密）为一种变换或为一种对应关系，构建方程组求解，

xa2b依提意用明文表示密文的变换公式为y2bcz2c3dm4d14a2b92bc,232c3d284ddcba7146，于是密文14，9，23，28满足，即有 ，

选B； 11．D．当x=

f(2时,阴影部分面积为

14个圆减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,故此时）在直线y=x的下方,故应在C、D中选;而当x=

32)2[322)2[412]222,即点（

22,2时, ,阴影部分

32面积为（

3234个圆加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,即f(）在直线y=x的上方,故选D．

22]2,即点

,212．B．本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令

x1t(t0)①，则方程化为ttk0②，作出函数yx1的图象，结合函数的图象可知：

222（1）当t=0或t>1时方程①有2个不等的根；（2）当03个根. 故当t=0时，代入方程②，解得k=0此时方程②有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根；当方程②有两个不等正根时，即0k14此时方程②有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程x1t2的解有8个，即原方程的解有8个；当k个；故选B． 13

f14时，方程②有两个相等正根t＝

12，相应的原方程的解有4

．由

fx21fx1得

15fx41fx2f(x)，所以f(5f)(1，则

f5－

f(5)f(1).

－

＋n

f(12)－

14．f1（x）＝3x－6故〔f1（m）＋6〕〔f1（x）＋6〕＝3m3n＝3m

m＋n＝3f（m＋n）＝log3（3＋6）＝2． 15．g(g(12))g(ln12)eln12＝27

12．

x22,，解得x4,11,4. 2。故2222.x16．由

2x2x0得，f(x)的定义域为2x 故

x2ff2x的定义域为4,11,4.

ab10.…②又f(x)2x恒成立, 有

17． （1） 由f(1)2,知, lgblga10,…① ∴

xxlgalgb0恒成立,故(lga)4lgb0．

22

将①式代入上式得:(lga)22lgb10, 即(lgb1)20,故lgb1． 即b10, 代入② 得,a100．

222 （2）f(x)x4x1, f(x)x5,即x4x1x5, ∴x3x40,

解得:

4x1, ∴不等式的解集为{x|4x1}．

18．设种蔬菜、棉花、水稻分别为x亩，y亩，z亩，总产值为u，

依题意得x+y+z=50，1x1y1z20，则u=1100x+750y+600z=43500+50x.

234∴ x0,y=90－3x0,z=wx－400,得20x30,∴当x=30时，u取得大值43500，此时y=0,z=20. ∴安排15个职工种30亩蔬菜，5个职工种20亩水稻，可使产值高达45000元．

19 （1） ∵f(1)0, ∴ab10,又xR, f(x)0恒成立,

∴a02b4a0, ∴b24(b1)0, b2, a1∴f(x)x22x1(x1)2.

2(x1) ∴F(x) (x0) 2(x1) (x0)22 （2） 则g(x)f(x)kxx2x1kxx(2k)x1

2k2(2k)42(x)12,

当

k222或

k222时, 即k6或k2时, g(x)是单调函数.

（3） ∵f(x)是偶函数∴f(x)ax21,2ax1 (x0)F(x)2ax1 (x0),

∵mn0,设mn,则n0.又mn0, mn0, ∴|m|  |n|F(m)＋F(n) f(m)f(n)(am21)an21a(mn)0,∴F(m)＋F(n)能大于零.

2220．（1）因为对任意xεR，有f（f（x）－ x2 + x）=f（x）－ x2 +x，所以f（f（2）－ 22+2）=f（2）－ 22+2.

又由f（2）=3，得f（3－22+2）－3－22+2，即f（1）=1. 若f（0）=a，则f（a－02+0）=a－02+0，即f（a）=A． （2）因为对任意xεR，有f（f（x））－ x2 +x）=f（x）－ x2 +x.

又因为有且只有一个实数x0,使得f（x0）－ x0. 所以对任意xεR，有f（x）－ x2 +x= x0.

在上式中令x= x0,有f（x0）－x0 + x0= x0, 又因为f（x0）－ x0，所以x0－ x0=0，故x0=0或x0=1. 若x0=0，则f（x）－ x2 +x=0，即f（x）= x2 –x. 但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质， 故x2≠0. 若x2=1,则有f（x）－ x2 +x=1，即f（x）= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件. 综上，所求函数为f（x）= x2 –x+1（xR）. 21．（1） （2）方程f(x)5的解分别是214,0,422和

214，

由于f(x)在(,1]和[2,5]上单调递 在[1,2]和[5,)上单调递增，因此 A,214[0,4]214,. 由

2146,2142,BA.

减，

于

（3）[解法一] 当x[1,5]时，

f(x)x24x5. g(x)k(x3)(x224x5)

k2 x 4k(k4)x(3k5)x2220k3，

k2,4k221. 又1x5，

4k2 ① 当1 g(x)min4k21，即2k6时，取x，

k20k314k102.

 16(k10)2,(k10)20， 则g(x)min0. ② 当

4k21，即k6时，取x1， g(x)min＝2k0.

由 ①、②可知，当k2时，g(x)0，x[1,5].

因此，在区间[1,5]上，yk(x3)的图像位于函数f(x)图像的上方. [解法二] 当x[1,5]时，f(x)x24x5.

由yk(x3),yx24x5, 得x2(k4)x(3k5)0，

令 (k4)24(3k5)0，解得 k2或k18，

在区间[1,5]上，当k2时，y2(x3)的图像与函数f(x)的图像只交于一点(1,8)； 当k18时，y18(x3)的图像与函数f(x)的图像没有交点.

如图可知，由于直线yk(x3)过点(3,0)，当k2时，直线yk(x3)是由直线

y2(x3)绕点(3,0)逆时针方向旋转得到. 因此，在区间[1,5]上，yk(x3)的图像 位于函数f(x)图像的上方. 22．（1）∵t1x1x，∴要使t有意义，必须1x0且1x0，即1x1

∵t2221x2[2,4]，且t0……① ∴t的取值范围是[2,2]。 由①得：1x212t1，∴m(t)a(12212t1)t2212at2ta，t[2,2]。

（2）由题意知g(a)即为函数m(t)∵直线t1aatta，t[2,2]的最大值，

是抛物线m(t)12at2ta的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：

1）当a0时，函数ym(t)，t[2,2]的图象是开口向上的抛物线的一段， 由t1a0知m(t)在t[2,2]上单调递增，故g(a)m(2)a2；

2）当a0时，m(t)t，t[2,2]，有g(a)=2；

3）当a0时，，函数ym(t)，t[2,2]的图象是开口向下的抛物线的一段，

1a1a1a若t(0,2]即a2222时，g(a)m(2),]时，g(a)m(212，

若t若t(2,2]即a((2,)即a(a2=1a2a21a)a12a，

12,0)时，g(a)m(2)a2．

(a12)12)综上所述，有g(a),(22．

)a22(a （3）当a2212时，g(a)a21232222；

当a时，a[,21)，12a(22,1]，∴a12a，

g(a)a12a2(a)(12a)2，故当a22时，g(a)2；

110，由g(a)g()知：a22，故a1； aaa111当a0时，a1，故a1或1，从而有g(a)2或g()aaa1要使g(a)g()，必须有a2，12，即2a2，

a22a21此时，g(a)2g()。

a当a0时，

12，

综上所述，满足g(a)g()的所有实数a为：a12a22或a1．