高三数学第一轮复习单元测试 《集合与函数》

高三数学第一轮复习单元测试— 《集合与函数》

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合A{1,2},则满足AB{1,2,3}的集合B的个数是

A．1 B．3

C．4

D．8

（ ）

2．已知集合M＝｛x|

A．

x0｝，N＝｛y|y＝3x2＋1，xR｝，则MN＝ （ ） 3(x1)B．{x|x1} C．｛x|x1｝ D．{x| x1或x0}

3．有限集合S中元素个数记作cardS，设A、B都为有限集合，给出下列命题： ①AB的充要条件是cardAB= cardA+ cardB； ②AB的必要条件是cardAcardB； ③AB的充分条件是cardAcardB； ④AB的充要条件是cardAcardB.

其中真命题的序号是

A．③、④ B．①、② C．①、④ D．②、③ 4．已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，则M∩N＝ （ ） A． B．｛x|0＜x＜3｝ C．｛x|1＜x＜3｝ D．｛x|2＜x＜3｝ 5．函数ylog2x(x1)的反函数是 x1 （ ）

2x2x2x12x1(x0)B．yx(x0)C．yx(x0)D．yx(x0) A．yx2121226．函数f(x)3x21xlg(3x1)的定义域是

131133（ ）

A．(,)

13B．(,1) C．(,) D．(,)

（ ）

137．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

3A．yx,xR B．ysinx,xR

1yx,xR D．y()x,xR

218．函数yf(x)的反函数yf(x)的图象与y轴交于点

P(0,2)（如图2所示），则方程f(x)0的根是x（ ）

A．4 B．3 C．2

D．1

1 / 9

29．已知函数f(x)ax2ax4(0a3),若x1x2,x1x21a,则

（ ）

A．f(x1)f(x2) B．f(x1)f(x2)

C．f(x1)f(x2) D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定

10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a2b,2bc,2c3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文

5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为

A．7,6,1,4

B．6,4,1,7

C．4,6,1,7 D．1,6,4,7

（ ）

11．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f（x）表示弧AB与弦AB所 围成的弓形面积的2倍，则函数y=f（x）的图象是（ ）

12．关于x的方程x1x1k0，给出下列四个命题：

①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是 （ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.

13．函数fx对于任意实数x满足条件fx21，若f15,则ff5_______.

fx14．设f（x）＝log3（x＋6）的反函数为f1（x），若〔f1（m）＋6〕〔f1（n）＋6〕＝27，则f（m＋n）＝___________________．

－

－

－

222ex,x0.115．设g(x)则g(g())__________．

2lnx,x0.x216．设fxlg2x，则ff的定义域为_____________ ．

2x2x三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

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已知函数f(x)x(lga2)xlgb满足f(1)2且对于任意xR, 恒有f(x)2x成立. （1）求实数a,b的值; （2）解不等式f(x)x5.

18（本小题满分12分） 20个下岗职工开了50亩荒地，这些地可以种蔬菜、棉花、水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳力和预计的产值如下：

蔬 菜 棉 花 水 稻 每亩需劳力 1 22每亩预计产值 1100元 750元 600元 1 31 4问怎样安排，才能使每亩地都种上作物，所有职工都有工作，而且农作物的预计总产值达到最高？

19．（本小题满分12分）已知函数f(x)axbx1 (a,b为实数),xR,

(x0) f(x) F(x) f(x) (x0)2（1）若f(1)0,且函数f(x)的值域为[0, ),求F(x)的表达式;

（2）在（1）的条件下, 当x[2, 2]时, g(x)f(x)kx是单调函数, 求实数k的取值范围; （3）设mn0, mn0,a0且f(x)为偶函数, 判断F(m)＋F(n)能否大于零? 20．（满分12分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）－x2+y_=f（x）－x2+x. （1）若f（2）－3,求f（1）;又若f（0）=a,求f（a）;

（2）设有且仅有一个实数x0,使得f（x0）= x0,求函数f（x）的解析表达式. 21．（本小题满分12分）

设函数f(x)x24x5.

（1）在区间[2,6]上画出函数f(x)的图像； （2）设集合Axf(x)5,并给出证明；

3 / 9

B(,2][0,4][6,). 试判断集合A和B 之间的关系，

（3）当k2时，求证：在区间[1,5]上，ykx3k的图像位于函数f(x)图像的 上方.

22．（本小题满分14分）

设a为实数，记函数f(x)a1x21x1x的最大值为g（a）.

（1）设t＝1x1x，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）； （2）求g（a）；

1 （2）试求满足g(a)g()的所有实数a．

a

参（1）

1．C．A{1,2}，AB{1,2,3}，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A{1,2}的子集

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个数问题，所以满足题目条件的集合B共有224个.故选择答案C． 2．C．M＝｛x|x1或x0｝，N＝｛y|y1｝故选C 3．B．选由cardAB= cardA+ cardB+ cardA cardBcardAB知cardAB= cardA+

B=0AB.由AB的定义知cardAcardB.

4．D． Nxlog2x1xx2,用数轴表示可得答案D．

x5．A．∵ ylog2x ∴x2y 即yx2

21x1x1 ∵x1 ∴x111 即ylog2x0

x1x1x1x ∴函数ylog2x(x1)的反函数为yx2(x0).

21x11x016．B．由x1，故选B． 33x107．B．在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是

奇

函数,是减函数;故选A．

8．C．利用互为反函数的图象关于直线y=x对称，得点（2，0）在原函数yf(x)的图象上，即f(2)0， 所以根为x=2.故选C

9． B．取特值a1,x12,x22,f2f2，选B；或二次函数其函数值的大小关系，分类研究对 成轴和区间的关系的方法， 易知函数的对成轴为x1,开口向上的抛物线, 由x1x2, x1+x2=0，需 分类研究x1x2和对成轴的关系,用单调性和离对成轴的远近作判断,故选B;

10．B．理解明文密文（加密），密文明文（解密）为一种变换或为一种对应关系，构建方程组求解，

xa2b依提意用明文表示密文的变换公式为y2bc，于是密文14，9，23，28满足，即有

z2c3dm4d14a2bd792bcc1，,232c3db4284da6选B；

1时,阴影部分面积为个圆减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,故此时2412,即点（,2）在直线y=x的下方,故应在C、D中选;而当x=3时, ,阴影部分f()2[]222242223323面积为个圆加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,即f()2[,即点]242223（,2）在直线y=x的上方,故选D．

211．D．当x=

12．B．本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令

x21t(t0)①，则方程化为t2tk0②，作出函数yx21的图象，结合函数的图象可知：

（1）当t=0或t>1时方程①有2个不等的根；（2）当05 / 9

故当t=0时，代入方程②，解得k=0此时方程②有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根；当

1此时方程②有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程x21t411的解有8个，即原方程的解有8个；当k时，方程②有两个相等正根t＝，相应的原方程的解有4

42方程②有两个不等正根时，即0k个；故选B． 13

．

由

fx21fx得

fx41f(x)fx2，所以

f(5)f(1)5，则

ff5f(5)f(1)－

11.

f(12)5－

－

＋n

14．f1（x）＝3x－6故〔f1（m）＋6〕•〔f1（x）＋6〕＝3m•3n＝3m

m＋n＝3f（m＋n）＝log3（3＋6）＝2．

1ln1115．g(g())g(ln)e21．

222＝27

x2x22,16．由，解得x4,10得，f(x)的定义域为2x2。故22x222.x1,4.

故

x2ff的定义域为2x4,11,4.

a10.…②又f(x)2x恒成立, 有b17． （1） 由f(1)2,知, lgblga10,…① ∴

x2xlgalgb0恒成立,故(lga)24lgb0．

将①式代入上式得:(lga)2lgb10, 即(lgb1)0,故lgb1． 即b10, 代入② 得,a100．

22222 （2）f(x)x4x1, f(x)x5,即x4x1x5, ∴x3x40, 解得: 4x1, ∴不等式的解集为{x|4x1}．

18．设种蔬菜、棉花、水稻分别为x亩，y亩，z亩，总产值为u，

依题意得x+y+z=50，1x1y1z20，则u=1100x+750y+600z=43500+50x.

234∴ x0,y=90－3x0,z=wx－400,得20x30,∴当x=30时，u取得大值43500，此时y=0,z=20.

∴安排15个职工种30亩蔬菜，5个职工种20亩水稻，可使产值高达45000元．

19 （1） ∵f(1)0, ∴ab10,又xR, f(x)0恒成立,

∴a02b4a0, ∴b24(b1)0, b2, a1∴f(x)x22x1(x1)2.

2(x0) (x1) ∴F(x)2(x1) (x0) （2） 则g(x)f(x)kxx2x1kxx(2k)x1

222k2(2k)2, (x)1246 / 9

当

k2k22或2时, 即k6或k2时, g(x)是单调函数. 22ax1 (x0)22(x0), ax1 （3） ∵f(x)是偶函数∴f(x)ax1,F(x)2 ∵mn0,设mn,则n0.又mn0, mn0, ∴|m|  |n|F(m)＋F(n)

f(m)f(n)(am1)an1a(mn)0,∴F(m)＋F(n)能大于零.

20．（1）因为对任意xεR，有f（f（x）－ x2 + x）=f（x）－ x2 +x，所以f（f（2）－ 22+2）=f（2）－ 22+2.

又由f（2）=3，得f（3－22+2）－3－22+2，即f（1）=1. 若f（0）=a，则f（a－02+0）=a－02+0，即f（a）=A． （2）因为对任意xεR，有f（f（x））－ x2 +x）=f（x）－ x2 +x.

又因为有且只有一个实数x0,使得f（x0）－ x0. 所以对任意xεR，有f（x）－ x2 +x= x0.

在上式中令x= x0,有f（x0）－x0 + x0= x0, 又因为f（x0）－ x0，所以x0－ x0=0，故x0=0或x0=1. 若x0=0，则f（x）－ x2 +x=0，即f（x）= x2 –x. 但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质， 故x2≠0. 若x2=1,则有f（x）－ x2 +x=1，即f（x）= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件. 综上，所求函数为f（x）= x2 –x+1（xR）. 21．（1）

（2）方程f(x)5的解分别是214,0,4和214， 由于f(x)在(,1]和[2,5]上单调递 在[1,2]和[5,)上单调递增，因此 A,214[0,4]214,. 由

于

减，

2222222146,2142,BA.

（3）[解法一] 当x[1,5]时，f(x)x24x5. g(x)k(x3)(x24x5)

4kk220k36， x2(k4)x(3k5)x2424k1. 又1x5， 24k4k ① 当1， 1，即2k6时，取x22k220k3612 g(x)mink10.

44 k2, 16(k10)2,(k10)20， 则g(x)min0.

4k1，即k6时，取x1， g(x)min＝2k0. 2 由 ①、②可知，当k2时，g(x)0，x[1,5].

因此，在区间[1,5]上，yk(x3)的图像位于函数f(x)图像的上方.

② 当

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[解法二] 当x[1,5]时，f(x)x24x5.

yk(x3),2x(k4)x(3k5)0， 由 得2yx4x5, 令 (k4)24(3k5)0，解得 k2或k18，

在区间[1,5]上，当k2时，y2(x3)的图像与函数f(x)的图像只交于一点(1,8)； 当k18时，y18(x3)的图像与函数f(x)的图像没有交点.

如图可知，由于直线yk(x3)过点(3,0)，当k2时，直线yk(x3)是由直线

y2(x3)绕点(3,0)逆时针方向旋转得到. 因此，在区间[1,5]上，yk(x3)的图像 位于函数f(x)图像的上方.

22．（1）∵t1x1x，∴要使t有意义，必须1x0且1x0，即1x1 ∵t2221x2[2,4]，且t0……① ∴t的取值范围是[2,2]。 由①得：1x21211t1，∴m(t)a(t21)tat2ta，t[2,2]。 222 （2）由题意知g(a)即为函数m(t)1at2ta，t[2,2]的最大值，

2∵直线t112是抛物线m(t)atta的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论： a21）当a0时，函数ym(t)，t[2,2]的图象是开口向上的抛物线的一段， 由t10知m(t)在t[2,2]上单调递增，故g(a)m(2)a2； a2）当a0时，m(t)t，t[2,2]，有g(a)=2；

3）当a0时，，函数ym(t)，t[2,2]的图象是开口向下的抛物线的一段， 若t若t21(0,2]即a时，g(a)m(2)2，

2a111(2,2]即a(2,1]时，g(a)m()a，

22aa2a11若t(2,)即a(,0)时，g(a)m(2)a2．

a2a2综上所述，有g(a)=1a2a21(a)2． 21,(a)222(a)2 （3）当a13时，g(a)a22； 228 / 9

当1211221(,1]，∴a， )，a时，a[,2a2222a22112(a)()2，故当a2a2ag(a)a2时，g(a)2； 21110，由g(a)g()知：a22，故a1； aaa111当a0时，a1，故a1或1，从而有g(a)2或g()2，

aaa1要使g(a)g()，必须有a2，12，即2a2，

a22a21此时，g(a)2g()。

a当a0时，

21综上所述，满足g(a)g()的所有实数a为：2a或a1．

a2

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