2014广州二模

2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科） 参考公式：锥体的体积公式V1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 38．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行 第1行 第2行 第3行 第4行 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 排列，记aij表示第i行第j列的数，若 16 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分 1. 若复数z满足 iz2，其中i为虚数单位，则z的虚部为 A．2 B．2 C．2i D．2i 2．若函数yfx是函数y3x的反函数，则faij2014，则ij的值为 32 „ 1的值为 2第5行 A．257 B．256 „ C．254 D．253 2 14 18 30 34 „ 4 12 20 28 36 „ 6 10 22 26 38 „ 8 24 40 „ 表1  A．log3 B．log1232 C．9 D．3 3．命题“对任意xR，都有x3x2”的否定是 A．存在x，使得x3x2320R00 B．不存在x0R，使得x0x0 C．存在x，使得x3220R0x D．对任意xR，都有x30x 4. 将函数fx3sin2xcos2x(xR)的图象向左平移6个单位长度后得到函数ygx， 则函数ygx A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数 5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A．11136 B．3 C．2 D．8 6．设Fx2y21,F2分别是椭圆C:a2b21ab0的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若PF1F230，则椭圆C的离心率为 33422 A．16 B．13 C．336 D．3 正视图侧视图7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为 2 A．64 B．124 C．612 D．12122 俯视图图1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．不等式2x2x10的解集为 . n10．已知2x31x的展开式的常数项是第7项，则正整数n的值为 . 11．已知四边形ABCD是边长为a的正方形，若DE2EC,CF2FB，则AEAF的值为 . 2xy20,12．设x,y满足约束条件 8xy40,若目标函数zaxbya0,b0的最大值为8，则ab的最大值x0,y0.为 . 13．已知x表示不超过x的最大整数，例如1.52,1.51.设函数fxxx，当x0,n(nN*)时，函数fx的值域为集合A，则A中的元素个数为 . （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，直线xat,yt(t为参数)与 圆x1cos,ysin(为参数)相切，切点在第一象限，则实数a的值为 . 15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD中，点E在线段AB上，且AE12EB，连接DE,AC， AC与DE相交于点F，若△AEF的面积为1 cm2，则△AFD的面积为 cm2. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）

如图2，在△ABC中，D是边AC的中点，且ABAD1，BD233. B (1) 求cosA的值；

（2）求sinC的值.

图2

ADC 17．（本小题满分12分）

一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为5,15，15,25，25,35，35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a的值；

（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i组的频率为pi，第i组区间的中点值为xii1,2,3,,n，则样本数据的平均值为Xx1p1x2p2x3p3xnpn.）

（3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在5,15内

频率组距的小球个数为，求的分布列和数学期望.

0.032

a

0.02 0.018

O515253545重量/克 图318．（本小题满分14分）

如图4，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，

EF1，FBFC,BFC90，AE3. （1）求证：AB平面BCF；

EF（2）求直线AE与平面BDE所成角的正切值. DC A 图4 B

19．（本小题满分14分）

已知数列{a*n}的前n项和为Sn，且a10，对任意nN，都有nan1Snnn1.

（1）求数列an的通项公式；

（2）若数列bn满足anlog2nlog2bn，求数列bn的前n项和Tn. 20．（本小题满分14分）ks5u

已知定点F0,1和直线l:y1，过点F且与直线l相切的动圆圆心为点M，记点M的轨迹为曲线E. (1) 求曲线E的方程;

(2) 若点A的坐标为2,1, 直线l1:ykx1(kR，且k0)与曲线E相交于B,C两 点，直线AB,AC分别交直线l于点S,T. 试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个

定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.

21．（本小题满分14分）

已知函数fxalnxbx(a,bR)在点1,f1处的切线方程为x2y20. （1）求a,b的值； （2）当x1时，fxkx0恒成立，求实数k的取值范围； （3）证明：当nN*，且n2时，

12ln213ln31nlnn3n2n22n22n.

2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C B C D A C 二、填空题：

9．12,1 10．8 11．a2 12．4 13．n2n22 14．21 15．3

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

2223216．（1）解：ABAD1，BD233，∴cosAAB2AD2BD2112ABAD321113…4分

（2）解：由（1）知，cosA13，且0A ∴sinA1cos2A223. ……………6分

∵D是边AC的中点，∴AC2AD2.

AB2AC2BC212 在△ABC中，cosA2ABAC22BC221213，………8分解得BC333.………10分

122 由正弦定理得，

BCAB，………11分 ∴sinCABsinA3sinAsinCBC3326633. ……………12分

317．(1) 解：由题意，得0.020.032x0.018101， ………1分 解得x0.03.……2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为

X0.2100.32200.3300.184024.6（克）. ……………3分

由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分

（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在5,15内的概率为0.2，则B3,15.……………5分 3 的取值为0,1,2,3，……6分 P0C046421144835125，P1C355125， 23 P2C2141235512，5P3C31135125. ……………10分 ∴的分布列为：  0 1 2 3

……………11分

P 64125 48125 12125 1125 ∴E064125148125212125313131255. ………12分（或者E355）

18．（本小题满分14分）

（1）证明：取AB的中点M，连接EM，则AMMB1， ∵EF∥平面ABCD，EF平面ABFE，平面ABCD平面ABFEAB， ∴EF∥AB，即EF∥MB. ……………1分 ∵EFMB1∴四边形EMBF是平行四边形.……………2分

∴EM∥FB，EMFB 在Rt△BFC中，FB2FC2BC24，又FBFC，得FB2. ∴EM2. ………3分 在△AME中，AE3，AM1，EM2， ∴AM2EM23AE2，

∴AMEM. ……………4分∴AMFB，即ABFB.

∵四边形ABCD是正方形，∴ABBC.……………5分

∵FBBCB，FB平面BCF，BC平面BCF，∴AB平面BCF.…………6分 （2）证法1：连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点， 取BC的中点H，连接OH,EO，FH， EF 则OH∥AB，OH12AB1. C 由（1）知EF∥AB，且EF1D2AB，

∴EF∥OH，且EFOH.

OH ∴四边形EOHF是平行四边形.

AMB ∴EO∥FH，且EOFH1 .……………7分 由（1）知AB平面BCF，又FH平面BCF，

∴FHAB. ……………8分

∵FHBC，ABBCB,AB平面ABCD，BC平面ABCD，

∴FH平面ABCD. ……………9分 ∴EO平面ABCD. ∵AO平面ABCD，

∴EOAO. ……………10分 ∵AOBD，EOBDO,EO平面EBD，BD平面EBD，

∴AO平面EBD. ……………11分 ∴AEO是直线AE与平面BDE所成的角. ……………12分 在Rt△AOE中，tanAEOAOEO2. ……………13分 ∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为2. ……………14分 证法2：连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点， 取BC的中点H，连接OH,EO，FH， EzF 则OH∥AB，OH12AB1.

DC 由（1）知EF∥AB，且EF12AB， OHy ∴EF∥OH，且EFOH. AB ∴四边形EOHF是平行四边形.

Mx ∴EO∥FH，且EOFH1. ……………7分

由（1）知AB平面BCF，又FH平面BCF， ∴FHAB. ∵FHBC，ABBCB,AB平面ABCD，BC平面ABCD，

∴FH平面ABCD.

∴EO平面ABCD. ……………8分 以H为坐标原点，BC所在直线为x轴，OH所在直线为y轴，HF所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系Hxyz，则A1,2,0，B1,0,0，D1,2,0，E0,1,1. ∴AE1,1,1，BD2,2,0，BE1,1,1. ……………9分 设平面BDE的法向量为nx,y,z，由nBD0，nBE0， 得2x2y0，xyz0，得z0,xy.

令x1，则平面BDE的一个法向量为n1,1,0. ……………10分 设直线AE与平面BDE所成角为， 则sincosn,AEnAEnAE63. ……………11分 ∴cos1sin233，tansincos2. ……………13分 ∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为2. ……………14分

19．（本小题满分14分）

（1）解法1：当n2时，nan1Snnn1，n1anSn1nn1，……1分 两式相减得nan1n1anSnSn1nn1nn1， ……………3分 即nan1n1anan2n，得an1an2. ……………5分 当n1时，1a2S112，即a2a12. ……………6分 ∴数列an是以a10为首项，公差为2的等差数列.

∴an2n12n2. ……………7分 解法2：由nan1Snnn1，得nSn1SnSnnn1， ……………1分 整理得，nSn1n1Snnn1， ……………2分 两边同除以nn1得，

Sn1n1Snn1. ……………3分

∴数列SnS1n是以10为首项，公差为1的等差数列. ∴Snn0n1n1. ∴Snnn1. ……………4分 当n2时，anSnSn1nn1n1n22n2. ……………5分 又a10适合上式， ……………6分 ∴数列an的通项公式为an2n2. ……………7分 （2）解法1：∵anlog2nlog2bn，

∴ba2nn2nn22nn4n1. ……………9分

∴Tnb1b2b23bn1bn40241342n14nn4n1，①

4Tn41242343n14n1n4n，② ……………11分

①②得3Tn4041424n1n4n14n14n4n13n4n13. ……………13分 ∴Tn193n14n1. ……………14分 解法2：∵anlog2nlog2bn，

∴bann2nn22n2n4n1. ……………9分

∴Tnb1b2b3bn1bn40241342n14n2n4n1.

由xx2x3xnxxn11xx1， ……………11分

n1两边对x取导数得，x02x13x2nxn1nxn1xn11x2. ………12分

令x4，得40241342n14n2n4n1193n14n1. ……………13分 ∴ Tn193n14n1. ……………14分 20．（本小题满分14分）

（1）解法1：由题意, 点M到点F的距离等于它到直线l的距离,

故点M的轨迹是以点F为焦点, l为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E的方程为x24y. ……………2分

解法2：设点M的坐标为x,y,依题意, 得MFy1,

即x2y1y1, ……………1分 化简得x24y.

∴曲线E的方程为x24y. ……………2分

22 (2) 解法1: 设点B,C的坐标分别为x1,y1,x2,y2，依题意得，x14y1,x24y2.

2 244k444k422. ……………9分

x1x22x1x248kk224k12122 ∴以线段ST为直径的圆的方程为xy1ST. 2kk4 ……………10分

24k14422 展开得xxy124. ……………11分 2kkk 由ykx1,2x24y,消去y得x4kx40，

解得x4k4k211,222k2k21.

∴x1x24k,x1x24. x21 直线AB的斜率kABy12411xx12x， 1124 故直线AB的方程为y1x124x2. 令y1，得x28x， 12 ∴点S的坐标为28x2,1. 1 同理可得点T的坐标为28x2,1 . 2 ∴ST288x1x2x228x2x 1212x22 8x1x2x2x48x1x28kx1x2k. 1x21x2222∴ST2x1x2k2x1x24x1x2k216k1k2. 设线段ST的中点坐标为x0,1，

则x14x1x240228x228x2 122x12x223分

……………4分 ……………5分

6分 ……………7分

……………8分

令x0，得y124，解得y1或y3. ……………12分 ∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点0,1,0,3. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E的方程为x24y.

设直线AB的方程为y1k1x2，点B的坐标为x1,y1，

 由y1k1x2,x22y1,解得k, ∴点S的坐标为22,11. …………3分 y1.k1由y1k1x2,x4y,消去y，得x24k1x8k140， 2即x2x4k120，解得x2或x4k12. ……………4分 ∴x114k12，y14x214k214k11. ∴点B的坐标为4k212,4k14k11. ……………5分

同理，设直线AC的方程为y1k2x2， 则点T的坐标为22k,1的坐标为，点C4k22,4k224k21. …………6分 2∵点B,C在直线l1:ykx1上，

2∴

k4k24k214k214k11k2k21k2k14k224k122kk21.

2kk11∴k1k2k1. ……………7分

又4k2214k11k4k121，得4k14k14kk12k4k1k21k12k，

化简得k1k2k2. ……………8分 设点Px,y是以线段ST为直径的圆上任意一点，则SPTP0， ……………9分

…………… …………… 得x22kx22y1y10， ……………10分

1k2 整理得，x24kx4y120. ……………11分 令x0，得y124，解得y1或y3. ……………12分 ∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点0,1,0,3. ……………14分 21．（本小题满分14分）

（1）解：∵fxalnxbx， ∴fxaxb. ∵直线x2y20的斜率为

12，且过点1,12， ……………1分 f11,b1 ∴21即2,解得a1,b1. f12 ……………3分

2,ab12,（2）解法1：由（1）得fxlnxx2. 当x1时，fxkxkx2x0恒成立，即lnx2x0，等价于k2xlnx. ……………4分

令gxx22xlnx，则gxxlnx1x1lnx. ……………5分 令hxx1lnx，则hx11x1xx. ks5u 当x1时，hx0，函数hx在1,上单调递增，故hxh10. ……………6分 从而，当x1时，gx0，即函数gx在1,上单调递增， ks5u

故gxg112. ……………7分

因此，当x1时，kx22xlnx恒成立，则k12. ……………8分 ∴所求k的取值范围是,12. ……………9分

解法2：由（1）得fxlnxx2. 当x1时，fxkx0恒成立，即lnxxk2x0恒成立. ……………4分

令gxlnxxk11kx22x2k2x，则gxx2x22x2. 方程x22x2k0（﹡）的判别式48k.

（ⅰ）当0，即k12时，则x1时，x22x2k0，得gx0， 故函数gx在1,上单调递减.

由于g112k0,g2ln21k20， 则当x1,2时，gx0，即lnxxk2x0，与题设矛盾. …………5分

2（ⅱ）当0，即k1x22x1x12时，则x1时，gx2x22x20. 故函数gx在1,上单调递减，则gxg10，符合题意. ………6分 (ⅲ) 当0，即k

1

2

时，方程（﹡）的两根为x1112k1,x2112k1， 则x1,x2时，gx0，xx2,时，gx0. 故函数gx在1,x2上单调递增，在x2,上单调递减， 从而，函数gx在1,上的最大值为gx2lnxx22k2x. ………7分 2 而gx2lnx2x22kxlnxx122， 222x2 由（ⅱ）知，当x1时，lnxx122x0，ks5u 得lnx22x212x0，从而gx20. 2 故当x1时，gxgx20，符合题意. ……………8分 综上所述，k的取值范围是,12. ……………9分

（3）证明：由（2）得，当x1时，lnxx122x0，可化为xlnxx212， …10分

又xlnx0， 从而，

1xlnx211x21x1x1. ……………11分 把x2,3,4,,n分别代入上面不等式，并相加得，ks5u

112ln23ln31111111nlnn324351111 n2nn1n1 ……………12分 1111 ……………13分 2nn1

3n2n2 . ……………14分

2n22n