使用GMM方法分析动态面板数据

GMM方法与动态面板数据——一个简介

2015年8月

在阅读文献中经常看到有使用GMM方法分析动态面板数据，但没有深入研究。最近开始自己用此方法时，感觉很困惑，因为使用此方法的文献中，对方法的原理大多语焉不详。对该方法的适用性，为什么用此方法，以及方法优缺点介绍聊聊几句。因此，通过读文献很难对该方法有全面的把握。

由于时常有学生过来问我怎么用GMM方法处理动态面板数据，不能总是含糊地回答，同时自己也在写这方面的文章，因此找来几本参考书，搜集了大量的文献，详细阅读之后，撰写本文。文中主要内容摘要并整理自Roodman（2009），这是STATA命令xtabond2命令的作者所写的介绍性文章，应该有权威性，如果该文不准确，那么所有使用此命令做的研究将全部失效。同时参考了Cameron and Trivedi（2009）和（Angrist and Pischke，2009）等书籍。本文仅为作者对该方法的理解，如有不妥、疑问或建议请联系：hyang_zhang@163.com。

（一） 为什么要用GMM方法

本文所谓动态面板数据(Dynamic Panel data, DPD)分析，指的是分析中采用如下的回归方程：

Yi,tYi,t1Xituiit （1）

i1,...,N，t1,...,T

其中，Yi,t1是因变量的滞后项，ui是个体i的固定效应。因变量的滞后项和固定效应同时存在，是动态面板数据分析特殊性的关键。如果固定效应不存在，那么回归方程变为:

Yi,tYi,t1Xitit （2）

这时，用OLS或者随机效应模型回归分析即可。如果因变量的滞后项Yi,t1不存在，那么回归方程变为：

Yi,tXituiit （3）

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对于该模型，用固定效应模型分析即可。如果因变量的滞后项和固定效应都存在，那么对于（1）式这样的回归方程，如果采用差分方法去掉固定效应，会得到如下的结果

Yi,tYi,t1Xitit （4）

其中Yi,t=Yi,t-Yi,t-1，Yi,t-1=Yi,t-1-Yi,t-2，Xi,t=Xi,t-Xi,t-1，i,t=i,t-i,t-1。如果（1）式代表了真实的变量之间关系，那么Yi,t1和it之间必有相关性，因为：

Yi,t-1=Yi,t-1-Yi,t-2=(1)Yi,t2Xi,t1i,t1，

cov(Yi,t-1,i,t)显然不会等于0，因为两者都有i,t1这一项。

通常所用的固定效应模型实际上就是对（1）式差分，得到类似于（4）式的差分回归方程，然后做OLS。对于现在的情况，由于Yi,t1和it之间的相关性，再用OLS只会得到有偏误的回归系数。所以传统的统计方法无法实现对此类方程的估计，需要用GMM方法。

需要注意的是（2）的模型（包含滞后项的OLS）和（3）的模型（不包含滞后项的FE，固定效应）尽管都有偏误,但好处是一个偏大,一个偏小(具体哪个大,哪个小要看变量之间的关系),所以这两个估计系数应该界定了真实参数的范围（Angrist and Pischke，2009:246页；Roodman，2009）。也就是说，你最后用GMM方法估计出来的参数应该落到这个区间。

（二） 什么是GMM方法

通常所用的OLS等方法，基本逻辑是从计量模型对数据拟合的角度分析，得出最好的估计参数。GMM方法，又称为广义矩方法（Generalized Moment Method），该方法所用的思路与传统思路完全不同。任何计量模型都有一定的适用性，即数据要满足一定的要求。GMM方法的思路是，从计量模型对数据的要求出发，得出一系列矩条件，再根据这些矩条件，求解满足条件的系数。对于大多数计量模型，GMM方法和传统的方法“殊途同归”，得出的回归系数相差不会太远。

1、 线性回归中的GMM方法

以OLS为例，对于回归方程：

2

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YXβε

ˆ=(X'X)(X'Y)。注意到，如果使用OLS模型，数传统OLS模型中，β的估计量βOLS1据有要求，就是自变量X和误差项ε要，也就是说：

E(X'ε)0

这个就是所谓的“矩条件”。把εYβX带入，得到E(X'(YXβ))0，即：

E(X'Y)E(X'X)β

β[E(X'X)]1E(X'Y)

为了得到β的估计量，可以把E(X'X)和E(X'Y)的估计量分别带入，即

ˆ(X'X)1X'X，Eˆ(X'Y)1X'Y ENNˆ得到βGMM(X'X)X'Y，这是和传统的OLS一样的估计量。

12、 工具变量的GMM方法

工具变量方法也可以用矩估计的思路实现。由于过程略复杂，此处仅给出简要步骤，详细的推导可以参考（Roodman，2009）。需要回归的方程为：

YXβε

其中，Z是工具变量，E(ε|Z)0。X(x1,x2...xk)，是k个自变量向量，

Z(z1,z2...zj)是j个工具变量向量。相应的，待估计的系数β是k维向量。定义

ˆ，残差项为Eˆ。 ˆYXβEYXβ为误差向量，对于任意估计出来的参数β根据工具变量的含义，它应该和误差项ε：E(Z'ε)0，这就是我们需要的矩条

件。计算的时候，理论上应该利用EN(Z'ε)3

1ˆZ'E0求解，注意到，我们有j个工具N对外经济贸易大学金融学院 张海洋

变量，也就是j个矩条件（j个方程）。理论上，需要根据这j个方程求解k个待估计的参数。但是不幸的是，如果工具变量的数量j小于待估计的参数数量k，方程是不可识别的——通常不可能通过2个方程解出3个未知数。如果工具变量等于待估计的参数，是恰好可识别的，但这种情况在GMM中很难碰到。最常见的是工具变量多于待估计的参数，即jk，这意味着要找k个参数，让j个方程同时等于零。这难度相当大，实际上大多数时候找不到，怎么办呢？在矩估计里面，采用的办法是，找k个参数，让EN(Z'ε)1ˆZ'E和零之间的N距离最小。实际计算的时候，需要借助一个半正定的矩阵A，计算向量EN(Z'ε)的模：

EN(Z'ε)A1ˆ1ˆ1ˆ1ˆˆ Z'EN(Z'E)'A(Z'E)E'ZAZ'ENNNNA，这就要用到一阶条件等于零：

ˆ=argminE(Z'ε)目标变成，寻找参数向量βANAdEN(Z'ε)ˆdA=…=

2ˆE'ZAZ'(-X)0 Nˆ带入，得ˆYXβ计算的过程利用到了连锁规则和向量求导的公式。继续推导，把E到：

ˆ)'ZAZ'XY'ZAZ'Xβˆ'X'ZAZX ˆ0E'ZAZ'X(YXβˆ=(X'ZAZX)1X'ZAZ'Y βA这就是β的GMM估计量，这个估计量是有偏的，它的期望值不等于真实的β；然而它是一致的，当样本量足够大的时候，它会接近真实的β。这个估计量和A有关，但是A只影

ˆ收敛的速度不同。响参数估计的有效性——不同的A对应的参数β这里的A其实是对不同的A矩条件加以不同的权重，可以找到一个收敛最快的A，称为AEGMM，可以证明：

AEGMMVar(zε)1。

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对于工具变量法常用的两阶段最小二乘法（2SLS），如果假定误差项是同分布，那么AEGMMVar(zε)=(Z'Z)，此时

111ˆβGMM=(X'Z(Z'Z)ZX)X'Z(Z'Z)Z'Y

11这实际上就是传统通过两阶段最小二乘法（2SLS）估计出来的参数，殊途同归。

3、 GMM方法的有效性（Hansen 检验和Sargan检验）

前文已经介绍，使用GMM方法的目标是选择参数，最小化EN(Z'ε)间的距离EN(Z'ε)A1ˆZ'E和零之N。那么问题来了，多小算小呢？会不会是最小值也显著大于零？如果

这样的话，方法的适用性就成问题。也就是说，根据你估计出来的参数，算出的残差项实际上和工具变量不是。Hansen检验和Sargan检验的逻辑就是，以EN(Z'ε)A最小化为目

标，估计出参数，然后把参数带入，看看它是否真的等于零。如果统计上不能拒绝它等于零，则所用工具变量可靠；如果统计上拒绝它等于零，则不可靠。

如果零假设成立（即H0：工具变量是联合有效的），那么EN(Z'ε)布于零附近，它和零的距离应服从分布：

21ˆZ'E应随机分NEN(Z'ε)AEGMM1ˆ1ˆˆZ'EE'ZAEGMMZ'ENNAEGMM2jk

2这就是Hansen统计量，它服从自由度为jk的分布，这里自由度其实就是过度识

别的维度。在实际使用中，不应该显著（p值小于0.1）；如果显著，则表明拒绝了零假设，工具变量不是联合有效的。然而，需要注意的是，如果使用的工具变量太多，那么Hansen

2统计量会非常不显著，常常等于1。这是因为，jk越大，意味着分布显著的门槛越高

（请查阅分布的表格）。也就是说，工具变量太多，会让Hansen检验的效果变弱，这是需要注意的。通常Hansen检验的p值大于0.25就要小心了，这时需要考虑减少工具变量的数量。

Sargan 检验的统计量类似，只不过把Hansen统计量中的AEGMM替换成了(Z'Z)，即

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SEN(Z'ε)(z'z)11ˆˆE'Z(Z'Z)1Z'EN2jk

然而，该统计量有时候是不一致的，如果在命令中要求报告稳健的Sargan统计量，软件

ˆ；再根会做两阶段GMM估计（先找任意合理的H，令A=(Z'HZ)，估计出第一步参数β11ˆˆ，令A=(Z'ˆˆZ)，估计出第二部参数βˆ，计算出残差项的方差-协方差矩阵ˆ）据β12，ββ111根据第二步的参数结果，默默报告出Hansen统计量。整体上说，Hansen统计量好像更靠谱一点，所以报告的时候，更多关注Hansen统计量。

（三） 动态面板数据

现在回到我们的动态面板数据，对数据和模型有如下假定： 1) 动态。模型中包含了因变量的滞后项； 2) 有个体的固定效应；

3) 可以有一些自变量是内生的；

4) 除了固定效应之外的误差项it可以异方差，可以序列相关； 5) 不同个体之间的误差项it和jt不会相关。

6) 可以有前定的（Predetermined）但不是完全外生的变量。

7) “大N，小T”，即个体数量要足够多，但时间不用太长。如果时间足够长的话，动

态面板误差不会太大，用固定效应即可。

从上述要求可以看出，GMM方法特别适合宏观的面板数据分析，因为宏观变量中，很难找出绝对外生的变量，变量之间多少会互相影响。而GMM方法可以“有一些自变量是内生的”，这可能也是GMM方法在文献中这么常用的原因。

此前已经说过，不能用传统的OLS方法或者固定效应模型进行动态面板数据的分析，那样会得到有偏的估计量。先要对数据进行一定的变换，然后根据不同的矩条件设定开展矩估计。其中数据变换有两种方法，矩条件的设定也有两种方法。

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1、 数据的变换方法：一阶差分还是垂直离差

为了消除动态面板数据中的固定效应，通常用的有两种方法：一阶差分(first difference)和垂直离差(orthogonal deviations)。一阶差分之前已经介绍过了，这种方法是difference GMM 中默认的方法。缺点是如果数据中有缺失值，那么最终的估计会缺失很多样本，原始数据缺一行往往会导致差分后的数据缺两行。一种替代的方案是用垂直离差（xtabond2 命令中用 orthogonal 选项实现），每个变量减去该变量未来所有观测值的平均值，即：

wi,t1cit(wi,t1Titwstis)

式子中，citTit/(Tit1)为调整权重变量，Tit是从t期开始以后观测值的数量。对于非平衡面板，和数据有缺失的面板，这种方法避免了因缺失数据带来的样本损失，因为调整的时候只是把未来的平均值减去，样本数不会因缺失未来个别观测值而受损。然而，对于平衡面板数据，一阶差分和垂直离差估计出来的结果会完全一样。

2、 Different GMM还是 System GMM

令数据变换之后的回归方程变为

Yi,t*Yi,t1*Xit*it （5）

这种变换可以是一阶差分，也可以是垂直离差。Different GMM的逻辑是，如果是垂直离差变换，用Yi,t2作为Yi,t1*的工具变量；如果是一阶差分变换，用Yi,t2作为Yi,t1*的工具变量，此时Yi,t1*=Yi,t1。Xit*对应的工具变量也类似，如果是垂直离差，就用滞后一阶的，如果是差分就用滞后一阶的差分作为工具变量。在实现的时候，为了提高估计的有效性，通常还会加入更高阶的滞后项（滞后差分）作为工具变量。这些变量的加入利用了更多的信息，然而也会带来麻烦，让工具变量的数量随T平方成比例增加。为了控制工具变量的数量，一个选择就是采用collapse选项把这些工具变量变成一列。

如果因变量的变化过程接近随机游走，那么Difference GMM的估计量会有较大偏差。

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System GMM的方法和Different GMM完全不同，它不需要对自变量和因变量进行数据变换。它假定工具变量的差分，即wit=witwi,t1，应该外生于固定效应：E(witui)=0。 如果w是内生的，wi,t-1就可以作为工具变量，更高阶的差分也可以做工具变量。如果w是前定的但不是完全外生的，wi,t可以作为工具变量，更高阶的差分也可以做工具变量。当然，更高阶差分加入后，还是会增加工具变量数量，需要在具体计算时想办法控制。

（四） 使用GMM方法的注意事项

 可以尝试先做（2）式的OLS，再做（3）式的固定效应。当然这两个估计都是有偏误

的，然而这两个估计的系数应该是真实系数的上限和下限，可以给最后的GMM估计限定参考范围。  “大N，小T”，如果N太小了，则估计出来的标准差可能不太靠谱。实际上如果用

省际面板去做的话，不满足“大N”这个条件，但中文文献中充斥着这样的研究。如果样本的N较小，但还可以接受（比如N=70），然而又想用此方法，那么加上small选项。  解释变量中，放入时间虚拟变量。比如，数据有10年，则放入9个虚拟变量。加入后，

可以让“误差项it和jt不会相关”这个条件更容易满足。

 如果数据中间有间隙，尽量利用垂直离差（对于每个变量，包括自变量和因变量，wit减

去它未来值的平均值，就是加上orthogonal选项，见Roodman（2009）），这会减少样本量的损失。因为数据中间缺一行，一阶差分（witwi,t1）后就会缺两行数据。但对平衡面板数据，两种数据变换方法结果一样。

 通常，每个自变量都要出现两次（除了系统外的工具变量）。先作为自变量出现在在xtabond2命令中逗号的左边，再以某种形式作为工具变量出现在逗号右边。如果变量w是完全外生的，那么放到ivstyle(w)（表示直接作为工具变量）；如果w是前定的，但不是完全外生的，则放到gmmstyle(w)（表示从滞后一期开始都作为工具变量）;如果w是内生的，则放到gmmstyle(L.w)（表示从滞后两期开始都作为工具变量）。  报告工具变量的数量。如果按照上一条的做法，工具变量的数量会很多。这样会导致overidentification test 不准确，【一个标志就是Hansen统计量的p值变为1， Hansen test的p值在（0.1,0.25）之外都要小心，太小表明拒绝工具变量有效的假设，太大表明选的工具变量太多，hansen检验变弱了】。通常，需要工具变量数量，可以用collapse选项，也可以用laglimits()选项。习惯做法是，选择不同数量的工具变量以显示估计系数的稳健性。工具变量数量的上限就是模型中个体的数量（也就是N），超出此上限，xtabond2命令会报警。  使用system GMM的时候要注意，能使用该模型的前提是，工具变量的变化witwi,t18

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要和固定效应垂直。因此数据应该在稳态附近，否则这些变量的变化就会和固定效应关系比较大，从而不满足system GMM适用的条件。

 由于GMM方法有很多设定选项，在报告结果时，报告你的选项。System GMM 还是

Difference GMM；是用垂直离差还是一阶差分；选用什么工具变量，滞后几期；选择什么样的robust标准差，等等。

参考文献

[1] Angrist, J. D. and J. Pischke , Mostly Harmless Econometrics. Princeton, New Jersey: Princeton

University Press, 2009.

[2] Roodman, D. , \"How to Do Xtabond2: An Introduction to Difference and System GMM in Stata\

The Stata Journal, 2009, 1( 9), 86－136.

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