2016届高三11月月考数学试题

2016届高三年级冲刺一统模拟试卷

数学 I

注 意 事 项

考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。本试卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。

3.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

1n1n

参考公式(1) 样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝ ∑(xi－－x)2，其中－x＝ ∑xi．

ni＝1ni＝1

1

(2) 锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．

3

一、选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答

题纸的指定位置上） 1. 已知集合A{x|x22x0}，B{0,1,2}，则AB ▲ ． 2. 复数z(12i)2i的实部为 ▲ ．

3. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取 ▲ 名学生． 4. 从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数的和为5的概率为 ▲ ． 5. 函数y2sin(2x

6)的图像中，离坐标原点最近的一条对

称轴的方程为 ▲ ．

6. 如图是一个算法的流程图，若输入x的值为2，则输出y的 值为 ▲ ．

7. 等比数列{an}的公比大于1，a5a115,a4a26， 则a3 ▲ ．

数学试卷第1页（共4页）

（第6题）

8. 在平面直角坐标系中，直线x3y230被圆x2 y24 截得的弦长为 ▲ ．9.一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的 ▲ 倍．

10.已知点P(1,m)是函数yax2图像上的点，直线xyb是该函数图像在P点处的切x线，则abm ▲ ．

11.设P为ABC中线AD的中点，D为边BC中点，且AD2，若PBPC3，则

ABAC ▲ ．

3)，如右图所 12.已知函数yaxb(b0)的图像经过点P(1， 示，则

41的最小值为 ▲ ． a1b13. 已知函数f(x)＝x|x－2|，则不等式f(2－x)≤f(1)的 解集为 ▲ ．

14.已知函数f(x)是定义在1,上的函数，且

（第12题）

1|2x3|,1x2,则函数y2xf(x)3，则在区间 1， f(x)12015上的零点 1f(x),　x222个数为 ▲ ．

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本题满分14分）

已知(2,),tan2.

（1）求sin(422)的值. （2）求cos(3

数学试卷第2页（共4页）

)的值；

16．（本题满分14分）

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，

ACBC，CC14，M是棱CC1上的一点.

（1）求证：BCAM；

（2）若N是AB的中点，求证CN∥平面AB1M.

17．（本题满分14分）

x2y2设椭圆221(ab0)的左焦点为F，短轴上端点为B，连接BF并延长交椭圆于点

abA，连接AO并延长交椭圆于点D，过B、F、O三点的圆的圆心为C.

（-1， 1）（1）若C的坐标为，求椭圆方程和圆C的方程；

（2）若AD为圆C的切线，求椭圆的离心率.

18．（本题满分16分）

为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ

上，CD∥AB；△OAB区域为文化展示区，AB长为503m；其余空地上，C，D在圆弧PQ

为绿化区域，且CD长不得超过．．．．200 m．

（1）试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大？

（2）当△OAB的周长最大时，设∠DOC=2，试将运动休闲

区ABCD的面积S表示为的函数，并求出S的最大值．

数学试卷第3页（共4页）

P A O D B C Q

（第18题）

19．（本题满分16分）

若函数yf(x)在xx0处取得极大值或极小值，则称x0为函数yf(x)的极值点. 已知函数f(x)ax33xlnx1(aR). （1）当a0时，求f(x)的极值；

（2）若f(x)在区间(,e)上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围.

20．（本题满分16分）

已知数列an中，a11，在a1,a2之间插入1个数，在a2,a3之间插入2个数，在a3,a4之间插入3个数，…，在an,an1之间插入n个数，使得所有插入的数和原数列an中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列bn. （1）若a419，求bn的通项公式；

（2）设数列bn的前n项和为Sn，且满足2Snbn(,为常数），

求an的通项公式.

1e数学试卷第4页（共4页）

2016届高三年级11月考试卷

数学Ⅱ 附加题部分

注意事项

1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为

30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一

律无效．

21.【选做题】本题包括A,B,C,D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.(选修4-1：几何证明选讲) （本小题满分10分）

已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是APB的平分线，E是下半圆的中点. 求证：直线PC经过点E.

B.(选修4-2：矩阵与变换) （本小题满分10分）

1010，试求曲线ysinx在矩阵MN变换下的函数解析式. ,N2已知矩阵M0201

C.(选修4-4：坐标系与参数方程) （本小题满分10分）

ìpïx=10cosq已知直线l的极坐标方程为rsin(q-)=6，圆C的参数方程为í(q为参数）.

3y=10sinqïî（1）请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程；

（2）求直线l被圆截得的弦长.

D.(选修4-5：不等式选讲) （本小题满分10分）

已知函数f(x)=x-1+x-2，若不等式a+b+a-b?af(x)对任意a,bÎR恒成立，求实数

数学试卷第5页（共4页）

x的取值范围.

【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22.（本小题满分10分）

已知A为曲线C:4x-y+1=0上的动点，定点M(-2,0)，若AT=2TM，求动点T的轨迹方

2程.

23.（本小题满分10分）

?DAB90癪,PA底面ABCD,且已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB//CD,1AB=1,M是PB的中点. 2（1）证明：平面PAD^平面PCD； （2）求AC与PB所成角的余弦值； （3）求平面AMC与平面BMC所成二面角（锐角）PA=AD=DC=的余弦值.

PMABDC数学试卷第6页（共4页）

2016届高三年级冲刺一统数学模拟试卷

参考答案与评分标准（I卷）

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） ．．．．．．．．1. {0,2}； 2. -3； 3. 60； 4.

1； 5.； 6. 7； 7. 4 368. 2； 9. 23 ； 10. 2； 11. 0； 12. 4.5 ; 13. [－1，＋∞); 14. 11 二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题．．卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15. 解：（1）由(2,),tan2

得sin255，cos ………………………………………………2分， 55sin(4)sin4coscos4sin……………………………………………………4分

110 ………………………………………………………6分 104（2）sin22sincos ………………………………………………………8分，

5322 cos2cossin ……………………………………………………10分

5 cos(2223432)coscos2sinsin2… ……………… 14分 3331016. （1）证明：∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，

数学试卷第7页（共4页）

∴C1C⊥平面ABC，∴BC⊥C1C， 又BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1， ∵AM在平面ACC1A1上，

∴BC⊥AM． ………………………………………………………… 6分 （2）解：取AB1的中点P，连接MP，NP，

∵P为A B1中点，N为AB中点，∴NP为△AB B1的中位线，∴NP∥B B1， 又∵C1C，B1B都是直三棱柱的棱，∴C1C∥B1B，∴MC∥B1B，

∴NP∥CM，∴NPCM共面，∴CN∥平面AB1M…………………………………… 14分

17. （1）因为三角形BFO为直角三角形，所以其外接圆圆心为斜边BF中点C，

222 由C点坐标为(1,1)得，b2,c2，所以abc8，

圆半径rCO2，所以

x2y21，圆方程为(x1)2(y1)22 ………………………4分 椭圆方程为84 （2）由AD与圆C相切，得 ADCO BF方程为ybxb cbyxb2a2c2b3c 由2得A(,2) ……………………………………10分 2222c(ac)acxy1a2b2 OAOC0得b2ac，(a2c2)22a2c2

4224 a4acc0，e42223 ………………………………………………14分

C 200]， 18. （1）设OAm，OBn，m，n(0，

在△OAB中，AB2OA2OB22OAOBcos2， 3Q

D F 即(503)2m2n2mn， …………………2分 P E O B (mn)23所以，(503)(mn)mn≥(mn)(mn)2，

44222 A （第18题）

所以mn≤100，当且仅当m=n=50时，mn取得最大值，此时

△OAB周长取得最大值．

答：当OA、OB都为50 m时，△OAB的周长最大． ……………………………………6分

（2）当△AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形．

过O作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，

数学试卷第8页（共4页）

则E、F分别为AB，CD的中点，

所以DOE，由CD≤200，得(0， ]． ……………………………………8分

6OF200cos． 在△ODF中，DF200sin，又在△AOE中，OEOAcos25，故EF200cos25． …………………………10分 31所以，S(503400sin)(200cos25)2

625(38sin)(8cos1)

（不交代范围扣2分）12分 625(83cos8sin64sincos3)，(0， ]．6

令f()83cos8sin64sincos3，(0， ]，

6f()83sin8cos64cos216sin()64cos2，(0， ]，

66又y=16sin()及y=cos2在(0， ]上均为单调递减函数，

66故f()在(0， ]上为单调递减函数．

6314)＞0，故f()＞0在(0，因f()16( ]上恒成立，

6226于是，f()在(0， ]上为单调递增函数． …………………………………………… 14分

6所以当答：当时，f()有最大值，此时S有最大值为625(8153)． 6时，梯形ABCD面积有最大值，且最大值为625(8153) m2．……………16分 619. 解：（1）当a=0时，f（x）=3xlnx﹣1的定义域为（0，+∞），

f′（x）=3lnx+3=3（lnx+1），

故f（x）=3xlnx﹣1在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数；

故f（x）在x=时取得极小值f（）=﹣3﹣1；…………………………………………4分 （2）函数f（x）=ax3+3xlnx﹣1的定义域为（0，+∞）， f′（x）=3（ax2+lnx+1），

12ax21令g（x）=ax+lnx+1，则g′（x）=2ax+=，

xx2

数学试卷第9页（共4页）

当a＞0时，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立， 故f'(x)=3（ax2+lnx+1）在（0，+∞）上是增函数， 而f'()=3[a（故当x∈（

1e1211）+ln+1]=3a（）2＞0， …………………………………………6分 eee1，e）时，f'(x)＞0恒成立， e1故f(x)在区间（，e）上单调递增，

e1故f(x)在区间（，e）上没有极值点； …………………………………………10分

e1当a=0时，由（1）知，f(x)在区间（，e）上没有极值点；

e2ax211当a＜0时，令=0解得，x=；

x2a故g(x)=ax2+lnx+1在（0，①当g（e）•g（g（x）在（

11）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，…12分 2a2a12）＜0，即﹣2＜a＜0时， ee1，e）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号， e1a②令g（）=0得2=0，不可能； …………………………………………14分

ee③令g（e）=0得a=﹣

121，所以∈（，e）， ee22a而g（又g（

ee1）=g（）=+ln＞0，

222a1）＜0， e1所以g（x）在（，e）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，

e2综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，0）．…………………………………………16分

e20. 解：（1）设{bn}的公差为d，由题意：数列{bn}的前几项为：

b1a11,b2,b3a2,b4,b5,b6a3,b7,b8,b9,b10a419 …………………………2分

数学试卷第10页（共4页）

a4为{bn}的第10项，则b10b19d， ………………………………………4分 d2，而b11，

故数列{bn}的通项公式为bn12(n1)2n1.……………………………………6分 （2）由2Snbn（,为常数），

得2Sn(bn)2bn22bn2，……① 当n1得：2122，……②

当n2时，2Sn1bn122bn12， ……③

①-③得2bnbn2bn122(bnbn1)， ………………………………………8分

则2bnd(bnbn1)2dd(2bnd)2d，

若d0，则bnb11，代入④式，得20，不成立； ……………………………10分

当n2，(22d)bn2dd2常数……④恒成立，又{bn}为正项等差数列，

22d0,1当d0时，bn不为常数，则得d1,， 222dd0,代入②式，得

1

. ………………………………………12分 4

所以等差数列{bn}的首项为b11，公差为d1，则bnn.

设{an}中的第n项为数列{bn}中的第k项，则an前面共有{an}的n1项，又插入了

n2nn(n1)n(n1)项，则：k(n1) 1123(n1)222n2n故anbkk. ………………………………………16分

2数学Ⅱ 附加题部分

21.A 证明： 连结AE,EB,OE，则AOEBOE90o． …………………………………2分 因为APE是圆周角，AOE同弧上的圆心角，

1所以APEAOE45o． ………………………5分

2数学试卷第11页（共4页）

同理可得，BPE45o，所以PE是APB的平分线． …………………………………8分 又PC也是APB的平分线，APB的平分线有且只有一条，所以PC与PE重合.

所以直线PC经过点E. ………………………10分

11021.B解：MN =202010=2100， …………………………………4分 210xx2， ………………………………6分 y22y1xx 即在矩阵MN变换下2yy0 x1x,y2y， ………………………………8分 21ysin2x， 2代入得：

即曲线ysinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y2sin2x．……………………10分

π1321.C解：（1）由 sin()6 ，得:(sincos)6

323y3x12，即3xy120.

圆的方程为x2y2100. ………………………………6分

（2）d6,r10，

弦长l21003616. ………………………………10分

222. 解：设T(x,y),A(x0,y0)，则4x0y010，①

又M(2,0)，由AT2TM得(xx0,yy0)2(2x,0y)， ………………………………5分

x03x4,y03y，

代入①式得4(3x4)23y10，即为所求轨迹方程. ………………………………6分 23.解：建立如图所示的空间直角坐标系，

1则A(0,0,0),D(1,0,0),P(0,0,1),B(0,2,0),C(1,1,0),M(0,1,)，

2（1）证明：因为AP(0,0,1),DC(0,1,0)，故APDC0,所以APDC， 由题设知ADDC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，

数学试卷第12页（共4页）

由此得DC⊥面PAD，又DC面PCD，故平面PAD面PCD.……………………………4分

（2）因AC(1,1,0),PB(0,2,1),|AC|2,|PB|5,ACPB2,

ACPB10cosAC,PB. ………………………………7分

5|AC||PB|（3）设平面AMC的一个法向量为n1(x1,y1,z1)，

11则n1AM，n1AM(x1,y1,z1)(0,1,)y1z10，

22又n1AC，n1AC(x1,y1,z1)(1,1,0)x1y10， 取x11，得y11,z12，故n1(1,1,2)，

同理可得面BMC的一个法向量为n2(1,1,2)， ………………………………8分

n1n21142cosn1,n2， 663n1n2平面AMC与平面BMC所成二面角（锐角）的余弦值为

2. ………………………………10分 3

数学试卷第13页（共4页）