等差数列的认识与公式运用

等差数列的认识与公式运用

知识点拨

一、等差数列的定义

⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法

定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．

譬如：2、5、8、11、14、17、20、L 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列

100、95、90、85、80、L 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列

⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用a1表示

末项：一个数列的最后一项，通常用an表示，它也可表示数列的第n项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n来表示；

公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d来表示； 和 ：一个数列的前n项的和，常用Sn来表示 ．

二、等差数列的相关公式

(1)三个重要的公式

① 通项公式：递增数列：末项首项(项数1)公差，ana1（n1）d

递减数列：末项首项(项数1)公差，ana1（n1）d

回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：anam （nm）d，（nm）② 项数公式：项数(末项首项)公差+1

（ana1）d1 (若ana1)；n（a1an）d1 (若a1an)． 由通项公式可以得到：n找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．

譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、L、40、43、46 ，

分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、L、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145项，每组3个数，所以共45315组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．

③ 求和公式：和=(首项末项)项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手：

(思路1) 123L9899100

（1（99）（98L4（51）101505050 141004）44244442344）44450443共50个101(思路2)这道题目，还可以这样理解：

和=1234L+和100999897L2倍和101101101101L9899100321101101101即，和

 (1001)1002101505050

(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．

譬如：① 4812L3236（436）922091800，

题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209； ② 656361L531（165）33233331089，

题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333．

例题精讲

模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用

等差数列的基本认识

【例 1】 下面的数列中，哪些是等差数列若是，请指明公差，若不是，则说明理由。

①6，10，14，18，22，…，98； ②1，2，1，2，3，4，5，6； ③ 1，2，4，8，16，32，64； ④ 9，8，7，6，5，4，3，2； ⑤3，3，3，3，3，3，3，3； ⑥1，0，1，0，l，0，1，0；

【例 2】 小朋友们，你知道每一行数列各有多少个数字吗

（1）3、4、5、6、……、76、77、78 （2）2、4、6、8、……、96、98、100 （3）1、3、5、7、……、87、89、91 （4）4、7、10、13、……、40、43、46

【例 3】 把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少

【巩固】 2，5，8，11，14……是按照规律排列的一串数，第21项是多少

【例 4】 已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少第19项是多少

【巩固】 一个数列共有13项，每一项都比它的前一项多7，并且末项为125，求首项是多少

【巩固】 在下面12个方框中各填入一个数，使这12个数从左到右构成等差数列，其中10、16已经填好，

这12个数的和为 。

　‍‍‍ ‍ 　‍‍‍ ‍ 　‍‍‍ ‍ 　‍‍‍ ‍ 　‍‍‍ ‍ 16 　‍‍‍ ‍ 　‍‍‍ ‍ 10 　‍‍‍ ‍ 　‍‍‍ ‍ 　‍‍‍ ‍

【例 5】 从1开始的奇数：1，3，5，7，……其中第100个奇数是_____。

【例 6】 观察右面的五个数：19、37、55、a 、91排列的规律，推知a =________ 。

等差数列公式的简单运用

【例 7】 2、4、6、8、10、12、L是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小

的一个．

【巩固】 1、3、5、7、9、11、L是个奇数列，如果其中8个连续奇数的和是256，那么这8个奇数中最

大的数是多少

【巩固】 1、4、7、10、13、…这个数列中，有6个连续数字的和是159，那么这6个数中最小的是几

【例 8】 在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第 _______个数是1994．

【巩固】 5、8、11、14、17、20、L，这个数列有多少项它的第201项是多少65是其中的第几项

【巩固】 对于数列4、7、10、13、16、19……，第10项是多少49是这个数列的第几项第100项与第50

项的差是多少

【巩固】 已知数列0、4、8、12、16、20、…… ，它的第43项是多少

【巩固】 聪明的小朋友们，PK一下吧．

⑴3、5、7、9、11、13、15、…… ，这个数列有多少项它的第102项是多少 ⑵0、4、8、12、16、20、…… ，它的第43项是多少

⑶已知等差数列2、5、8、11、14 …… ，问47是其中第几项

⑷已知等差数列9、13、17、21、25、 …… ，问93是其中第几项

【例 9】 ⑴如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.

⑵如果一个等差数列的第3项为16，第11项为72，求它的第6项.

【巩固】 已知一个等差数列第8项等于50，第15项等于71.请问这个数列的第1项是多少

【巩固】 如果一等差数列的第4项为21，第10项为57，求它的第16项．

等差数列的求和

【例 10】 一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列各项的和是多少

【巩固】 有20个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大3．这20个数相加，和是多少

【巩固】 求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和．

【例 11】 15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少

【巩固】 把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，

第1个数与第6个数分别是多少

【例 12】 小马虎计算1到2006这2006个连续整数的平均数。在求这2006个数的和时，他少算了其中的

一个数，但他仍按2006个数计算平均数，结果求出的数比应求得的数小1。小马虎求和时漏掉的数是 。

等差数列找规律

找规律计算

【例 13】 1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿；

2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿； …… 只青蛙 张嘴，32只眼睛 条腿。

【例 14】 如图2，用火柴棍摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当N=5时，按这种方式摆下去，

当N=5时，共需要火柴棍 根。

【例 15】 观察下面的序号和等式，填括号．

序号 等式 1 1236 3 35715 5 581124 7 7111533 L LLL

（ ） （ ）（ ）7983（ ）

【巩固】 有许多等式:

2461353；

81012147911134；

161820222415171921235；



那么第10个等式的和是_______

【巩固】 观察下列算式：

2＋4＝6＝2×3， 2＋4＋6＝12＝3×4 2＋4＋6＋8＝20＝4×5 ……

然后计算：2＋4＋6＋……＋100＝ 。

【例 16】 将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圈，第2个图形中有10

个小圈，第3个图形中有16个小圈，第4个图形中有24个小圈，…，依此规律，第6个图形有___________个小圈。

5 220201055

【例 17】 观察下列四个算式： =20， =10， = ， = 。从中找出规律，写出第五个算

1242816

式： 。

规律计数

【例 18】 从1到50这50个连续自然数中，去两数相加，使其和大于50．有多少种不同的取法

【巩固】 从1到100的100个数中，每次取出两个不同的自然数相加，使它们的和超过100．有几种不同

的取法

【例 19】 有多少组正整数a、b、c满足abc2009．

数阵中的等差数列

【例 20】 如下图所示的表中有55个数，那么它们的和等于多少

1713192531374349281420263238445039152127333945514101622283440465251117232935414753

【巩固】 下列数阵中有100个数，它们的和是多少

111213L1920121314L2021131415L2122 MMMMMM202122L2829

【巩固】 下面方阵中所有数的和是多少

190119021903M19481949190219031904M19491950190319041905M19501951190419051906M19511952LLLLLL5556575859616263 6465195019511952 M19971998

【例 21】 把自然数从1开始，排列成如下的三角阵：第1列为1；第2列为2，3，4；第3列为5，6，7，

8，9，…，每一列比前一列多排两个数，依次排下去，“以1开头的行”是这个三角阵的对称轴，如图．则在以1开头的行中，第2008个数是多少．

L5L26L137L

48L9LL

【巩固】 将自然数按下图的方式排列，求第10行的第一个数字是几

1362594813712181117L16L101521L1420L19L

L

【巩固】 自然数按一定规律排成下表，问第60行第5个数是几

1357911131517

19212325272931333537394143454749............

【例 22】 把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出： 197排在第几行的第几个数

1 3 5 7

9 11 13 15 17

19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 43 45 47 49 … …

【巩固】 将自然数按下面的形式排列

123456789

10111213141516171819202122232425LL问：第10行最左边的数是几第10行所有数的和是多少

【例 1】 将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个“数阵”，其中2在第1个拐角处，3在第2个

拐角处，5在第3个拐角处，7在第4个拐角处，……．那么在第100个拐角处的数是 ．

【巩固】 一列自然数：0，1，2，3，……，2024，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前

一个大1，最后一个是2024．现在将这列自然数排成以下数表规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第________行第________列。

【例 2】 下表一共有六行七列，第一行与第一列上的数都已填好，其他位置上的每个数都是它所在行的

第一列上的数与所在列的第一行上的数的积，如A格应填的数是1013130，求表中除第一行和第一列外其它各个格上的数之和

【例 3】 如图的数阵是由77个偶数排成的，其中20，22，24，36，38，40这六个数由一个平行四边

形围住，它们的和是180．把这个平行四边形沿上下、左右平移后，又围住了右边数阵中的另外六个数，如果这六个数的和是660．那么它们中间位于平行四边形左上角的那个数是

【例 4】 若干个硬币排成左下图，每个硬币所在行的硬币数与所在列的硬币数相减得出一个差（大数减

小数），如对于a，差为7-5=2，所有差的总和为 。