用模型支撑小数除法算理

作者：赵俊强

来源：《文理导航·教育研究与实践》 2015年第12期

——以“精打细算”小数除法一课为例

中国人民大学附属小学 赵俊强

本学期在参加骨干班培训时，需要准备一节研究课，由于进度选择了四年级下册的小数除法。准备时发现第一课时《精打细算》只是借助情景帮助学生学习。回忆前面小数加减法、小数乘法都借助直观模型得出结果。接着我又翻阅了1-6年级的北师大教材，发现低、中、高年级，均呈现出直观模型的方法，就连五年级分数除以整数的教学中同样借力于直观模型帮助学生理解算理，可见直观模型呈现直观表象是新知建立的一个支点。为什么唯有小数除法没有模型的支撑？到底该不该有？这引起了我的思考。

一、问题缘起

（1）解读教材。本学期在参加骨干班培训时，需要准备一节研究课，由于进度选择了四年级下册的小数除法。准备时发现第一课时《精打细算》只是借助情景帮助学生学习。回忆前面小数加减法，是借助直观模型和操作活动，帮助学生理解小数的意义。小数乘法，教材中呈现的方法利用了乘法的意义，分别运用了连加、元角分的转化和借助直观模型得出结果。可小数除法却只是借助实际情境得到结果，而没有模型的支撑。接着我又翻阅了1-6年级的北师大教材，发现低、中、高年级，均呈现出直观模型的方法，就连五年级分数除以整数的教学中同样借力于直观模型帮助学生理解算理，可见直观模型呈现直观表象是新知建立的一个支点。

（2）提出问题。为什么唯有小数除法没有模型的支撑？到底该不该有？这引起了我的思考：算理是学生掌握算法的前提，也是基础，只有正真理解算理后，才能掌握算法，灵活运用方法进行计算。但对于小数除法如此重要的内容，却没有模型的支撑，只是借助实际情境得到“只要商的小数点和被除数的小数点对齐就可以了”这样的规律，而本课中商的小数点的定位是算法算理的核心也是重难点。学生能真的理解算理加以利用吗？教材这样安排的目的是什么？

1.带着疑惑访问了北师大出版社的编者。特级教师张红：小数加、减、乘都有模型的支撑，编写教材时想学生可以迁移，这样处理从数学上考虑没有问题，但小学生思维存在一定局限性，可能没有达到这个程度。编写教材时也没有针对这个问题进行前测，而教材也是一个不断完善的过程，以后可能会改。骨干教师：计算教学中模型的支撑是必不可少的，当时编写教材没有找到合适的模型素材，所以这个内容只是借助情景出现。这套教材是面对全国发行的，如果模型选择不当，可能会给不同地区的老师带来不同的结果，如果有好的模型你可以试一试。

2.又阅读了新加坡教材。发现他们12册教材中都有直观模型的支撑。有了以上的基础，决定再对班内同学进行一次简单的调查，看看他们到底需要不需要模型的支撑。

二、研究过程

（1）思考：学生尝试计算11.5÷5，教师巡视了解解答情况。将正确和错例写在黑板上（计算过程中间有小数点的）

（2）汇报交流。算法1：将11.5元换算成115角，然后用115÷5列竖式解决。算法2：直接列竖式11.5÷5。重点引导观察算法2，让两个板书的同学都说说计算过程。同学们听完后认真观察：看到他们计算的过程你有什么问题（困惑）吗？细心同学会发现了他们只有“一点”

不同。老师引导：别看只有“一点”不同，但也要引起我们的注意。的确结果都一样，但竖式不尽相同，到底写不写小数点？引起学生争论。都有自己道理，怎么办？看来有必要把平均分的过程再回顾一下，同时把分的过程用竖式记录。这时让学生感觉到：确实有问题了，需要研究，借助直观模型比情景能更易解决。

（3）理解算理。（利用动画把分的过程演示一遍，并解释每一步的意义，同时把分的过程与竖式紧密联系在一起）师：2为什么要商在个位上？生：因为分得的每一份是2元，所以要与“元”对齐。师：转化后平均分的每一份是3，这个3要商在哪一位上？生：是3角，应该在“角”上。师：也就是在十分位上？怎么体现？生：要点小数点。此时很自然的引出了小数点的位置，也渗透了相同数位要对齐。

（4）改黑板上错误。师：现在你觉得他们的竖式有不合适地方吗？需要怎么改？生：擦掉过程中的小数点。师：这个小数点为什么可以去掉？生：因为是把元转化成了角，也就是15角。（看着图说）师：可能也有同学和他写的一样，一起把他改过来。这次的改不是简单的擦掉小数点，而是通过观察、操作，在学生正真理解的基础上加以改正的，擦掉的是他们理解上的误区，留下的是对算理的真正理解。这样虽然时间多了些，但远比教师强调若干遍的效果要好的多。至此直观模型帮助学生解释了为什么，他的作用是否到此结束了，不，应进一步挖掘直观模型的价值。

三、深度思考

本节课主要是利用直观模型的价值，充分理解小数除法的算理，始终抓住一条主线——学生认知的轨迹“由直观到抽象、由已知到未知、由简单到复杂”，循着这一轨迹，创设活动、利用模型、理解算理、引领生成。我想这样呈现的表象显然比直接利用计数单位讲解要更进一步，学生也更易理解，同时对十进位值制也进行了渗透，在这里直观模型起到了重要的作用。所以模型可以很好的支撑小数除法算理。

数学教学活动应该是一个从具体问题中抽象出数学问题，并用多种数学语言分析它，用数学方法解决它。计算教学虽然枯燥、乏味，但我们只要静下来研究，合理利用直观模型，使学生从中体会到蕴含的道理，就会慢慢的喜欢上，我们也会慢慢的喜欢上它。