第四讲·平方差、完全平方、立方和差

第四讲·平方差、完全平方、立方和差

主讲·汪老师

➢ 知识归纳

二、平方差、完全平方、立方和差基本知识点

1、平方差

1）语言叙述：两个数的和与两个数的差的积等于这两个数的平方差。

2）字母表示：(a+b)(a－b)=a2－b2 （a,b可以表示任意的数，也可以表示整式）

2、完全平方

1）语言叙述两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 倍．

22(ab)(ab) 2）字母表示：

口诀：首平方，尾平方，积的两倍放（加减看前方，同号加异号减）

3、立方和与立方差

1）语言叙述：

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两数的和乘以它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和.

两数的差乘以它们的平方和与它们的积的和，等于这两个数的立方差.

2）字母表示

(a－b)(a2+ab+b2) ＝a3－b3

(a+b)(a2-ab+b2) ＝a3+b3

➢ 实际操练

例1 (1)下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( )

A.(x+1)(1+x)

1B.(21a+b)(b－2a)

C.(－a+b)(a－b) D.(x2－y)(x+y2)

E.(－a－b)(a－b) F.(c2－d2)(d2+c2)

例2利用平方差公式计算：（会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便，进一步熟悉平方差公式.）

（1）(5+6x)(5－6x); （2） (x－2y)(x+2y);

（3）(－m+n)(－m－n).

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例3 利用平方差公式计算：

1(1)(－41x－y)(－4x+y);

(2)(ab+8)(ab－8);

(3)(m+n)(m－n)+3n2.

1解：(1)(－41x－y)(－4x+y)

1(－4x)与y的和与差的积）

1=(－4x)2－y2

1(利用平方差公式得(－4x)与y的平方差)

1=16x2－y2 （运算至最后结果）

(2)(ab+8)(ab－8) （ab与8的和与差的积）

=(ab)2－82 (利用平方差公式得ab与8的平方差)

=a2b2－ (运算至最后结果)

(3)(m+n)(m－n)+3n2 (据运算顺序先计算m与n的和与差的积)

=(m2－n2)+3n2 (利用平方差公式)

=m2－n2+3n2 (去括号)

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=m2+2n2 （合并同类项至最简结果）

例4 计算：（延伸公式应用）

（1）(a＋b－3)(a＋b＋3)； （2）(m2＋n－7)(m2－n－7)．

解：（1）(a＋b－3)(a＋b＋3) （2）(m2＋n－7)(m2－n－7)

＝[(a＋b)－3][(a＋b)＋3] ＝[(m2－7)＋n][(m2－7)－n]

＝(a＋b)2－9＝a2＋2ab＋b2－9． ＝(m2－7)2－n2

＝m4－14m2＋49－n2．

例5．应用完全平方公式计算：

12(y)222(4mn) （3）(ab) （4）(2xy) 2（1） （2）

例6.计算：

11(a3b)2(a3b)22（1）(x2y)(x2y)(x4y)； （2）2；

22（3）(2x3y4)(2x3y4).

方法小结：（1）当两个因式相同时写成完全平方的形式；（2）先逆用积的乘方法则，

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再用乘法公式进行计算；（3）把相同的结合在一起，互为相反数的结合在一起，可构成平方差公式。

113x22xx，则________________

例7：1、已知

x22x2(m1)xy16y例8、已知是完全平方公式，则m= 回顾小结：

1.完全平方公式和平方差公式不同：

形式不同．

结果不同：完全平方公式的结果是三项，即 （a b）2＝a2 2ab+b2;

平方差公式的结果是两项， 即（a+b）（a−b）＝a2−b2.

2. 解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。

3. 口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放，加减看前方，同加异减。

公式的逆用：

平方差公式和完全平方公式的逆运用

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22ababab由 反之

a2b2abab

ab2a22abb2 反之

例9、填空：

a22abb2ab

2（1）

a24(a2)()（2）

25x2(5x)()（3）

m2n2()()

（4）

x2()()（5）

4m249(2m7)()

（6）

a4m4(a2m2)()(a2m2)()()

22x4xk(x2)（7）若 ，则k = 2x（8）若kx9是完全平方式，则k =

2222a1a2a42xy12xy1例10、 计算：1. 2．

例11、计算:

22(xy3)(abc) （1） （2）

2(xy)xy4,xy2例12、1）已知，则= 22(ab)7,(ab)3，求a2b2________，ab________ 已知

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223）不论a、b为任意有理数，ab4a2b7的值总是（ ）

A.负数 B.零 C.正数 D.不小于2

224）已知：ab3,ab1，求（1）ab；（2）(ab)222；（3）abab；

11ba



（4）ab；（5）ab。

例13、填空，使之符号立方和或立方差公式：

(1)(x-3)( )＝x3-27； (2)(2x+3)( )＝8x3+27；

(3)(x2+2)( )＝x6+8； (4)(3a-2)( )＝27a3-8

(5)( )(a2+2ab+4b2)＝__________； (6)( )(9a2-6ab+4b2)＝__________；

1(7)( )(4 -xy+4y2)＝__________； (8)( )(m4+4m2+16)＝__________

例14、 计算：

115(1)(3+2y)(9-6y+4y2)； (2)(5a-2b2)(25a2+4b4+2ab2)；

(3)(2x-5)(4x2+25+10x) (4)(x2-y2)(x4+x2y2+y4)

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例15、 已知x2+y2=6，xy=2，求x6+y6的值．

例16、

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