探究性学习的案例

探究性学习的案例

——以解析几何常规题的探究为例

按照数学课程标准的要求，数学教材建设要落实实践育人，以数学知识的学习为载体，依据发展学生核心素养的要求选择和组织学习素材，并通过情境创设和任务驱动（问题解决）等方式，精心设计系列学习和实践活动，让学生在学习和应用数学知识的过程中发展核心素养，形成理性思维，培养创新精神和实践能力。探究性学习成为改进学生学习方式的重要途径。探究性学习以数学核心概念及其反映的基本思想为纽带，通过类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用，使不同内容相互沟通，从而加深对数学的整体性认识，使学生建立功能优良迁移能力强的数学认知结构。在探究性学习中信息技术作为数学学习的重要认知工具，将发挥巨大的作用，它可以使学生对于原来的常规问题可以作进一步深入的研究和探索，教师也可以将原来的确定问题改进为探索性、专题性、拓展性问题，供学生进行学习。

x2y2例1 已知椭圆C：221(

ab)的离心率为

3过点A（0，1）任意3作直线l交椭圆C于P，Q两点，当l∥x轴时，｜PQ｜＝32。 （1） 求椭圆方程；

（2） ①求｜PQ｜的最大值；

②以Q为圆心，33为半径作圆，M，N是圆Q上任意两点，2求△PMN面积S的最大值。

分析：(1)通过SOLVE（）命令，求得椭圆方程：设直线方程为

,

;

.

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(2)代数方法：

设|PQ|=d, 圆的两条弦MN与M1N1满足|MN|=|M1N1|，设QR⊥MN，QR1⊥M1N1，垂足分别为R，R1且R在PQ的延长线上，PH⊥M1N1,垂足为H，则|QR|=|QR1|，因此，

P|PR|=|PQ|+|QR|=|PQ|+|QR1|＞|PH|，这说明当MN与PQ垂直时，△PMN面积S的

有最大值。设|QR|=x，则显然当d最大,即

,,,

MM1QRR1HNN1时, △PMN面积S的有最大值,此时

.利用TI图形计算器的CAS功能，可求得面积的最

大值为

.

。

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（3）几何方法

由图形分析可知，当过点M的圆的切线平行于PN，且过点N的圆的切线平行于PM时，即四边形PMP’N是菱形时，△PMN面积S的取得最大值。

.

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设M（x0,y0）,因圆Q的方程为：,则过点M的切线方程为：

,求出此切线与直线y=1交点的P’坐标,利用四边

形PMP’N是菱形的条件，求出x0的值为,便可求得面积的最大值。

.

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x2y2例2 设动点A，B均在双曲线C：221（a0,b0）的右支上，点O为坐标原点，

ab双曲线的离心率为e。

uuuruuuruuuruuurA．若e2，则OAOB存在最大值B．若1e2，则OAOB存在最大值

uuuruuuruuuruuurC．若e2，则OAOB存在最小值D．若1e2，则OAOB存在最小值

分析：1.基于GEOGEBRA的问题解决策略： （1） 画出一个双曲线c；

（2） 画出这个双曲线的渐近线：Asymptote[c]; （3） 测量其中一条渐近线的斜率：Slop[a]; （4） 计算双曲线的离心率：Eccentricity[c]

（5） 在右支上任意取两点，记为A，B,计算点A的横坐标p=x(A)； （6） 作出向量（7） 计算向量

，，

；

的数量积，记为q；

（8） 画出点P=（p,q），以A为控制点，构造点P的轨迹；

（9） 改变双曲线的形状用以调整离心率，拖动点B，观察点P的轨迹，判断

存在最大值或最小值。

.

是否

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2．当1e 要使于向量

2时，你能求出最小，若

的最小值吗？

在

上的射影最小，观察可知：当过点A且垂直最小。变动向量

的位置可知，当A，B两点

不变，则使

的直线是双曲线的切线时，

都位于双曲线的右顶点时，

最小，最小值为.

3．你能否证明你通过观察所得到的结论？

.

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.

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例3 已知椭圆C1：，圆C2：.

直线L与圆C2相切，且交椭圆C1于AB两点，求|AB|的取值范围； 常规问题的改编：

（1）已知椭圆C1：，圆C2：.

直线L与圆C2相切，且交椭圆C1于AB两点，|AB|是否存在最大值与最小值？ （2）若存在最大值与最值小值，它们分别是多少？（近似值与精确值） （3）当|AB|取得最大值与最小值时，直线L的位置是怎样的？有无规律？

（4）能否将结果一般化？即已知椭圆C1：()，圆C2：

)直线L与圆C2相切，且交椭圆C1于AB两点，求|AB|的取值范围

并总结出一般的规律。 （5）当

时，上述结论将会发生怎样的变化？

分析：1.基于GEOGEBRA的分析

（1） 作出椭圆椭圆C1：（2） （3） （4） （5）

与圆C2：的图形；

圆上取一点D，测量出D点的横坐标:b=x(D)，作出过点D的切线a；

求出切线a与椭圆的两个交点A，B，并测量AB间的距离：e=Distance[A,B] 作出点P=(b,e)，以A为控制点，作出点P的轨迹；

拖动D点观察e的值与P点在轨迹上运动的位置，可以发现切线平行或垂直于x轴时|AB|最短，|AB|min≈2.619;而当D在圆上的某个位置上|AB|max≈2.6.

.

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2.基于TI图形计算器的数学问题解决。

.

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求得,;

3．将数学问题一般化。

对于已知椭圆C1：（），圆C2：()，思考上述问题。

在GEOGEBRA环境下：

（1） 作出椭圆C1与圆C2；

（2） 圆上取一点D，测量出D点的横坐标:b=x(D)，作出过点D的切线a；

（3） 求出切线a与椭圆的两个交点A，B，并测量AB间的距离：e=Distance[A,B] （4） 作出点P=(b,e)，以A为控制点，作出点P的轨迹；

（5） 拖动D点观察e的值与P点在轨迹上运动的位置，当圆的半径r比较小的时候，切

线L垂直于x轴时，|AB|取得最小值；当圆的半径r比较大的时候，切线L平行于x

.

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轴时，|AB|取得最小值，因此|AB|的最小值只可能在两种位置上取到。存在产生这两种情况的某个分界点

（6） |AB|的最大值只可能存在于两种位置，当即切线L当圆的半径r比较小的时候，切

线L平行于x轴时，|AB|取得最大值；当圆的半径r比较大的时候，点D在圆与坐标轴交点以外的某个点处，|AB|取得最大值。也存在产生这两种情况的分界点。

4．逻辑论证猜想

.

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.

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.

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借助TI图形计算器的计算我们证明了：

（1） 当时，；当时，，；

（2） 当时，；当时，

5．当

时，上述结论将会发生怎样的变化？

通过GEOGEBRA的分析可知，｜AB｜存在最大值，最大值只可能在两种位置上取得，第

一种是切线L垂直于x轴，此时最大值是

.

；第二种位置是切点D

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位于圆与坐标轴交点以外的某处，此时最大值是做法，利用代数的方法证明这个结论。

。同样可以仿照前面的

.