安徽省马鞍山二中2012年秋高二期末考试理科数学试题

安徽省马鞍山二中2012年秋高二期末考试理科数学试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．命题“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是（） A、若a+b不是偶数，则a、b都不是偶数 B、若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数 C、若a、b都不是偶数，则a+b不是偶数 D、若a、b不都是偶数，则a+b不是偶数 2．“直线y=kx+1的倾斜角为钝角”的一个必要不充分条件是（） A、k<0 B、k<-1 C、k<1 D、k>-2 3．下列语句为特称命题且为假命题的是（） A、指数函数都是增函数 B、有一个事件的概率大于1吗？

2

C、有些三角形没有外接圆 D、存在一个实数x，使x≤0

y2x24．椭圆1的焦点坐标为（）

95A、(3, 0)，(-3, 0)

2B、(0, 3)，(0, -3) C、(2, 0)，(-2, 0) D、(0, 2)，(0, -2)

y21的渐近线方程为（） 5．双曲线x3A、y=±3x

B、y=±3x 2

C、y=±

1x 3 D、y=±３x ３6．过点(1, 1)作直线，使它与抛物线y=4x仅有一个公共点，这样的直线有（） A、1条 B、2条 C、3条 D、0条 的值为（） A、0 B、1 C、2

8．若a、b、c为任意向量，λ∈R，下列等式不一定成立的是（） A、(a+b)+c= a+(b+c) B、(a+b)·c= a·b+ a·c D、(a·b)c= a(b·c)

7．已知S是⊿ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若BD=xAB+yAC+zAS，则x+y+z

D、3

C、λ(a+b)=λa+λb

9．已知A(x, 5-x, 2x-1)，B(1, x+2, 2-x)，当|AB|取最小值时，x的值等于（）

8819A、 B、- C、19 D、

771410．将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，则异面直线AB与CD的夹角的余弦值是（）

311 B、 C、

322二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

A、-11．在⊿ABC中，“AD、

6 3x2y21上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则12．双曲线

169点P到左焦点的距离为 . 13．抛物线y=

12

x的焦点坐标是 . 414．已知a=(1, 1, 0)，b=(1, 1 ,1 )，若b=b1+b2，且b1∥a，b2⊥a，则b1= ，b2= .

15．已知空间四边形ABCD的四条边和对角线长都为a，点E、F、G分别是AB，AD，DC的中点，

则四个数量积①BA·AC；②AD·BD；③FG·AC；④EF·CB中，其中运算结果

a2为的式子的序号为 .

2三、解答题（本大题共6小题，共75分）

16.（本小题满分12分）

2 2

给定两个命题：命题甲：关于x的不等式x + (a-1)x +a≤0的解集为Ф；命题乙：函数f

2x

(x)=(2a-a) 在R上是增函数。分别求出符合下列条件的实数a的取值范围。

1

(1) 甲、乙中至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且仅有一个是真命题。 17．（12分） 若a、b、c均为实数，且a=x-2y+一个大于0。 18．（12分）

已知抛物线C：x=2py(p>0)上一点A(m, 4)到其焦点F的距离为

2

2

22

，b=y-2z+，c=z-2x+。求证：a，b，c中至少有２3617。 4(1)求p与m的值；

(2)若直线l过焦点F交抛物线于P，Q两点，且|PQ|=5，求直线l的方程。

19．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2，E为PD的中点。 (1)求异面直线AC与PB的距离；

(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP的距离。

20．（13分）

2

B

M D

A

A B

第20题

D C E P 第19题 C

如图，⊿BCD与⊿MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=23。 (1)求直线AM与平面BCD所成角的大小； 21、（14分）

x2y2设椭圆C：221(ab0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，

ab直线l的倾斜角为60º，AF2FB。

（1）求椭圆C的离心率； （2）如果|AB|=

15，求椭圆C的方程。 4 答案

一、选择题 BCCDB AADAB 二、填空题 11）、 充要条件 ； 12）、 13 ； 13)、 （0, １）； 14）、 (1, 1, 0) ； (0, 0, 1) ； 15、 ②③ . 三、解答题（本大题共6小题，计75分）

2 2

16．（12分）给定两个命题：命题甲：关于x的不等式x+ (a-1)x +a≤0的解集为Ф；命

2x

题乙：函数f (x)=(2a-a) 在R上是增函数。分别求出符合下列条件的实数a的取值范围。 (1) 甲、乙中至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且仅有一个是真命题。 解：由甲命题为真，得(a-1)-4a<0，⇒ (3a-1)(a+1)>0，∴a< -1或a>由乙命题为真，得2a-a>1，⇒ (2a+1)(a-1)>0，∴a< -2

2

2

1， 31或a>1. „„„4分 21111(1)若甲、乙全假，可得a∈[-，]，故所求范围是(-∞, -)∪(, +∞)„„„8分

2323(2)若甲、乙全真，可得a∈(-∞, -1)∪(1, +∞)， 故所求范围是[-1, -

17．（12分）

若a、b、c均为实数，且a=x-2y+

2

11)∪(,1] „„„12分 2322

，b=y-2z+，c=z-2x+。求证：a，b，c中至少有２363

一个大于0。

解：假设a、b、c均不大于零，则a+b+c≤0 （*） „„„2分 而由已知得，a+b+c=x-2x+y-2y+z-2z+

2

2

2

222

++=(x-1)+(y-1)+(z-1)+π-3„„„8分 236由于π-3<0，所以a+b+c>0，与（*）式矛盾，故假设错误， 所以，原命题成立。 „„„12分 18．（12分） 已知抛物线C：x=2py(p>0)上一点A(m, 4)到其焦点F的距离为

2

17。 4(1)求p与m的值；

(2)若直线l过焦点F交抛物线于P，Q两点，且|PQ|=5，求直线l的方程。

17pp22

=4+，∴p=，x=y，∴m=4，m=±2 „„„5分 422112122

(2)依题可设PQ的方程为l：y=kx+，与x=y联立，消去x，得y-(+k)y+=0，

42161222

∴y1+y2=+k，而|PQ|= y1+y2+p=1+k，k=5-1=4，k=±2 „„„10分

211∴直线l的方程为y=2x+或y= -2x+， „„„12分

44解：(1)依题

19．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱P PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2，E为PD的中点。 (1)求异面直线AC与PB的距离；

(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP的距离。

第19题 E C 2573；(2)１；。 196AD、AP的方向为坐标轴方向建立空解析：以A为原点，以向量AB、答案：(1)、

间直角坐标系，利用向量条件下的距离公式求解，以下省略。

20．（13分）如图，⊿BCD与⊿MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=23。 (1)求直线AM与平面BCD所成角的大小；

(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。 解：(1)取CD中点O，则MO⊥CD，

∵面MCD⊥面BCD交于CD，∴MO⊥面BCD， 又AB⊥面BCD，∴AB∥MO。

取AB中点F，连OF，由题设可知MO=3，AF=3， ∴OF∥AM，故OF与平面BCD所成的角等于所求的角。

而在Rt⊿BEF中，BO=3，BF=3，∠BOF=45º，即所求的角为45º。 „„„6分

(2)延长BO、AM相交于点G，∵MO∥AB且MO=

y A A D B 第20题 z F M x B O C H D G 1AB， 2∴OG=BO=3，又CO=1，∴CG=2，作EH⊥CG于H，

由于ME⊥平面BCD，则MH⊥CG，∴∠MHO即为所求二面角的平面角。 在Rt⊿OCG中，由OH·CG=OC·OG，得OH=

133=， 224

从而MH=3315MO325，∴sin∠MHO=。 „„„13分 42MH5152另解：依题易知OB、OC、OM两两垂直，故可以如图建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解，过程略。

x2y221、（14分）设椭圆C：221(ab0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于

abA、B两点，直线l的倾斜角为60º，AF2FB。

15（1）求椭圆C的离心率；（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程。

4222

解：(1)设F(c, 0)，则c=a-b，且直线l的方程为y=3(x-c)，设A(x1, y1)、B(x2, y2)， cx12(x2c)2由AF2FB，得，∴y1+y2= -y2，y1y2=-2y2，

y12y222224联立直线l与椭圆C的方程，并消元、整理，得(3ab)y23bcy3b0， 23b2cy223a2b222

于是⇒4a=9c，∴e=； „„„7分

432y23b23a2b21243ab215222

2(2)∵|AB|=1|y1y2|，∴ ①； 由e=，得5a=9b ②， 234333abx2y22

联立①②解得a=3，b=5，∴椭圆C的方程为1 „„„14分

95

5