变分不等式与凸优化问题

１０９ｉ６８０譬ｑ：一！业！Ｑ婴坦Ｑｊ分袭号ｉ一』些丑：塑告级：蛰扯学垮代码－！监３自四川师范大学硕士学位论文变分不等式与凸优化问题刘小兰培养单位一幽创业堑盘堂塑堂皇煞盐至｝主堂匿一一——指导教师——ｉ型置然——职称一一垫蝗——学科专业一一一茎型塑堂．．——研究打向——一堑雪佥盘一一——一——论文完成日期三监．生旦一＿旦一．．Ｖ变分不等式与凸优化问题基础数学研究生刘小兰指导教师何诣然（教授）本文研究了非线性泛函分析和凸优化中的几个问题．在第一章中，主要在无穷维Ｂａｎａｃｈ空间中建立了非线性规划问题的二阶必要最优性条件，所要求的约束条件比Ｒｏｂｉｎｓｏｎ约束条件更弱，在第二章中，主要利用Ｆｅｎｃｈｅｌ对偶理论和Ｆｅｎｃｈｅｌ．Ｌａｇｒａｎｇｅ对偶理论，分别得到了无限维空间中具有有限个凸约束条件和无限个凸约束条件不等式系统的新Ｆａｒｋａｓ型结果，推广了有限维空间中相应的结果．在第ｊ』章中，在不假设函数具有连续性的情况下研究了无穷维空间中广义拟变分不等式问题解的存在性，把文献ｆ３８］中的结果延拓到无穷维空间．关键词：最优性条件：非线性规划；Ｆｅｎｃｈｅｌ对偶；Ｆｅｎｃｈｅｌ—Ｌａｇａ－ａｎｇｅ对偶Ｆａｒｋａｓ型结果；广义拟变分不等式；下半连续；开下截口第ｉ页，共３５页ＶａｒｉａｔｉｏｎａｌＩｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓａｎｄＣｏｎｖｅｘＢａｓｉｃＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＡｕｔｈｏｒ：ＬｉｕＸｉａｏｌａｎＳｕｐｅｒｖｉｓｏｒ：ＨｅＹｉＲａｎ（Ｐｒｏｆｅｓｓｏｒ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｉｓｃｏｎｃｅｒｎｅｄｗｉｔｈｓｏｍｅｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｆｕｎｃｔｉｏｎａｌａｎａｌｙｓｉｓａｎｄｃｏｎｖｅｘｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ．Ｉｎｃｈａｐｔｅｒｏｎｅ，ａｎｅｗｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｑｕａｌｉｆｉｃａｔｉｏｎｗｈｉｃｈｉｓｗｅａｋｅｒｔｈａｎｔｈｅＲｏｂｉｎｓｏｎｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｑｕａｌｉｆｉｃａｔｉｏｎｉｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄａｎＪａｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｎｅｃｅｓｓａｒｙｏｐｔｉｍａｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｆｏｒｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓｉｎＢａｎⅢｈｓｐａｃｅｓｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．ｏｎＩｎｃｈａｐｔｅｒｔｗｏ，ｂａｓｅｄａＦｅｎｃｈｅｌｄｕａｌｉｔｙａｎｄＦｅｎｃｈｅｌ－Ｌａｇｒａｎｇｅｄｕａｌｉｔ，’，ｃｏｎｖｅｘｎｅｗＦａｒｋａｓ－ｔｙｐｅｒｅｓｕｌｔｆｏｒｆｉｎｉｔｅａｎｄｉｎｆｉｎｉｔｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｉｎｉｎｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｓｐａｃｅｓｉｓｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｉｎｃｈａｐｔｅｒｔｈｒｅｅ，ｗｅｅｘｔｅｎｄａｋｎｏｗｎｅｘｉｓｔｅｎｃｅｒｅｓｕｌｔｔｏｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｑｌｌａｓｉ一’ａｒｉａｔｉｏｎａｌｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｓｐａｃｅｓ．ｆｒｏｍｆｉｎｉｔｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｉｎｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｍｅｎ＿ｓｉｏｎａｌＫｅｙｗｏｒｄｓ：Ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ；Ｎｏｎｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ；Ｆｅｎｃｈｄｄｕａｌｉｔｙ；Ｆｅｎｃｈｅｌ··Ｌａｇｒａｎｇｅｄｕａｌｉｔｙ；Ｆａｒｋａｓ－ｔｙｐｅｒｅｓｕｌｔ；Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｑｕａｓｉ—ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ；Ｌｏｗｅｒｓｅｍｉ—ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ；Ｏｐｅｎｌｏｗｅｒｓｅｃｔｉｏｎｓ．四川师范大学学位论文独创性及使用授权声明＜气溉挽本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师衄ｉ旨魅数援指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而引起的学术声誉上的损失由本人自负。本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定：学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥论文作者签名：≥ｊ。ｊ．兰砷年事月７日有学位论文的部分使用权，即：１）已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索；２）为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。绪论最优化是一门应用相当广泛的学科．主要讨论决策问题最佳选择的特性，构造寻求最佳解的计算方法，并研究这些计算方法的理论性质以及计算表现．鉴于最优化问题在经济计划．工程设计．生产管理，交通运输，国防等重要领域的广泛应用，其研究已经受到政府部门科研机构和产业部门的高度重视：参看文献『１１ｆ２１ｆ３１．最优化理论与方法是一门应用性很强的年轻学科，主要研究某些数学上定义的问题的最优解．即对于给出的实际问题，从众多的方案中选出最优方案．虽然最优化可以追溯到十分古老的极值问题，然而，它作为一门独立的学科是在本世纪４０年代末１９４７年Ｄａｎｔｚｉｇ提出求解一般线性规划问题的单纯形之后出现的．现在，解线性规划，非线性规划以及随机规划，非光滑规划，多目标规划．几何规划．整数规划等各种最优化问题的理论研究发展迅速，新方法不断出现．实际应用也日益广泛．在电子计算机的推动下，最优化理论与方法在经济计划，工程设计，生产管理，交通运输等方面得到了更加广泛的应用，成为一门应用性极强的学科．约束条件在最优化问题中的重要作用是广为认可的，参看文献ｆ４ｊ１５】｜６】等．因此不少的学者对最优化问题和约束条件做了广泛而深入的研究与探讨，参看文献【７】［８】【９Ｉ【１０】【１１１．其中Ｈｅ和Ｓｕｎ［１２】在有限维Ｂａｎａｃｈ空间中，找到了一个较Ｒｏｂｉｎｓｏｎ约束条件０∈ｉｎｔ（６＇（ｘｏ）＋ＤＧ（ｘｏ）ｘ—Ｃ）更弱的约束条件：豫（ｚｏ，ｈ）＝｛枷：Ｄ２Ｃ（ｘｏ）（ｈ，ｈ）＋ＤＧ（ｚｏ）札Ｊ∈露（Ｇ（ｚｏ），ＤＧ（：ｃｏ）＾）），并在此较弱条件下建立了一个新的二阶必要最优性条件．缸在无穷维Ｂａｎａｃｈ空间中至今并未出现有相应的结果．本文第一章即在无穷维Ｂａｎａｃｈ空间中考虑此问题．通过利用二阶切锥公式，在可行域是由非线性等式和不等式定义的情况下得到数学规划问题的二阶必要最优性条件，将文献ｆ１２１的结果由有限维空间推广到无穷维空阈，Ｆａｒｋａｓ引理【１４ｌ阐述了一个线性不等式伊（ｚ）≤０是一个线性系统Ａｘ≤０的充分必要条件，即Ｃ是Ａ中非正元素的线性组合．这一结果在线性规划和优化理论中占有相当重要的地位．近二十年来，相当多的Ｆａｒｋａｓ第１页．共３５页绪论型结果被应用到更一般的非线性规划问题和非光滑优化问题中，参看文献１１５】［１６］１１７］【１８］［１９］等．Ｂｏｔ和Ｗａｎｋａ［２９】利用凸优化问题中的共轭对偶定理研究了两类对偶问题，即广义Ｆｅｎｃｈｅｌ对偶问题和Ｆｅｎｃｈｅｌ．Ｌａｇｒａｎｇｅ对偶问题，并得出了有限维空间中具有有限个和无限个凸约束的不等式系统的颓Ｆａｒｋａｓ型结果，本文第二章得到了在无穷维空间中有限个和无限个凸约束的不等式系统的新Ｆａｒｋａｓ型结果，推广了【２０１中的相应结论．变分不等式及应甩在现代非线性分析中具有非常重要的作用．上个世纪６０年代，Ｈａｒｔｍａｎ和Ｓｔａｍｐａｃｃｈｉａ等人在创建变分不等式理论的基础时提出了后来被称为Ｈａｒｔｍａｎ－Ｓｔａｍｐａｃｃｈｉａ变分不等式的问题ｆ２６】，并在有限维空间中讨论了此变分不等式问题解的存在性，Ｂｒｏｗｄｅｒ和Ｌｉｏｎｓ等人将其结论推广到无穷维空间【２７】ｆ２８】［２９】ｆ３０¨３ｌｌ，并把所得的结果应用于研究力学，控制论，经济数学，对策论，微分方程和最优化理论中（包括控制理论，力学，网络平衡，游戏理论，补问题等的许多重要问题）．随着变分不等式闯题研究的深入，Ｂｅｎｓｏｕｓｓａｎ，Ｌｉｏｎｓ［３２］【３３Ｉ在１９７３年研究与随机脉冲控制有关的某些问题时提出了拟变分不等式．现在，拟变分不等式无论在理论或者应用方面都取锝了重要进展，并被成功地应用与解决各种力学问题和经济学问题．例如，Ｂａｉｏｃｃｈｉａｆ３４１通过未知函数的变换．解决了非矩形水坝的渗流问题．作为比拟变分不等式更一般的形式的广义拟变分不等式问题也随之发展．广义拟变分不等式问题是Ｃｈｅｎ和Ｐａｎｇ［３５］在１９８２年提出的．设Ｅ是实拓扑向量空间其共轭空间是Ｆ，Ｘ￡Ｅ，Ｘ≠Ｏ，Ｇ：ｘ一２ｘ，Ｆ：Ｘ一２Ｐ是两个多值函数．广义拟变分不等式ＧＱｖｉ（ｘ，Ｆ，Ｇ）即：要找到（牙，妒）∈Ｘ孟ＥＸＥ‘，使得Ｇ（牙），乒∈Ｆ（牙）．（驴．量一封）≤０，Ｖｙ∈Ｇ（孟）．Ｃｈａｎ和Ｐａｎｇ［３５１在有限维窄问讨论广义拟变分不等式问题的解的存在性．１９９７年，Ｃｕｂｉｏｔｔｉ［３Ｓ］不假设函数Ｆ的连续性，在有限维空间中研究了广义拟变分不等式问题解的存在性．Ｃｕｂｉｏｔｔｉｆ４０］将Ｃｕｂｉｏｔｔｉ［３８１的部分结果延拓到无穷维赋范空间．本文第三章利用Ｃｕｂｉｏｔｔｉ［４Ｄ］的方法，在无需假设函数Ｆ连续性的情况下将Ｃｕｂｉｏｔｔｉ：３８１的另一部分结果延拓到无穷维空间．ｓｔｅｌｌａｌｗｐ＠１６３．ＣＯｍ第２页，共３５页毕业论文第一章Ｂａｎａｃｈ空间中数学规划问题的二阶最优性条件本章主要讨论的是数学规划问题的二阶必要最优性条件．Ｈｅ和Ｓｕｎ［１２１在有限维Ｂａｎａｃｈ空间中．找到了一个Ｒｏｂｉｎｓｏｎ约束条件０∈ｉｎｔ（ａ（ｚｏ）＋ＤＧ（ｘｏ）Ｘ—Ｃ）更弱的约束条件：赡（ｚｏ，ｈ）＝｛＂：Ｄ２Ｇ（‰）（＾，ｈ）＋ＤＧ（ｘｏ）ｗ∈露（Ｇ００），ＤＧ（ｘｏ）＾）｝，并在此较弱条件下建立了一个新的二阶必要最优性条件．但在无穷维Ｂａｎａｃｈ空间中至今并未出现有相应的结果．本章即在无穷维Ｂａｎａｃｈ空间中考虑此问题．通过利用二阶切锥公式．在可行域是由非线性等式和不等式定义的情况下得到数学规划问题的二阶必要最优性条件，将文献ｆ１２１的结果由有限维空间推广到无限维空间．１．１基本知识设，：Ｘ—Ｒ是一个二阶连续可微的函数，Ｘ是Ｂａｎａｃｈ空间。Ｋ是一个非空闭凸集考虑一卜面的最优化问题：ＣＸ，Ｋｍｉｎ｛／（ｚ）：ｚ∈Ⅳ｝．（１－１）如果ｚｏ∈Ｋ是问题（１－１）的局部最优解，则一阶必要最优性条件是：Ｄｆ（ｚｏ）＾≥ｏ，ＶｈＥＴＫ（ｚｏ），这里的ｋ（ｚｏ）表示的是Ｋ在Ｘ０点的Ｂｏｕｌｉｇａｎｄ一切锥，２２ｋ（印）＝｛＾∈Ｘ：ｄ（ｘ＋ｔｈ，Ｋ）＝ｏ（￡），ｔｏ），其中ｄ（ｚ，Ｋ）＝ｉｎ矗∈耳忙一训表示的是ｚ到Ｋ的距离．所有的基本概念和记号都可以在文（８】中找到．对一个线性算子Ａ，ｋｅｒ（Ａ）表示Ａ的核．Ｄ９和Ｄ２９分别表示映射ｇ的一阶和二阶导数非空集ＫｃＸ，ａＫ（ｚ）＝ｓｕｐｙｅＫ／ｘ，Ｙ）表示Ｋ的支撑函数．对Ｘ０∈Ｋ，ｈ∈Ｘ．礤（ｚｏ，ｈ）表示ｚｏ点ｈ方向的外二阶切集。臻（ｚｏ．ｈ）＝｛Ⅲ∈Ｘ：３≠。ｌｏ，ｄ（ｘｅ—ｔｎｈ＋￡：ｗ／２，Ｋ）＝ｏ（￡：））．第３页．共３５页第～章Ｂａｎａｃｈ空间中数学规划问题的二阶最优性条作臻（粕，＿｝１）是闭集，但不一定是凸集．用Ｓ（ｘｏ）表示７ｋ（ｚｏ）Ｎ｛ｈ：Ｄｆ（ｘｏ）＾≤ｏ）对ｘ中的非空集Ｓ来说，矿＝｛‘∈Ｘ＋：（ｆ，ｚ）≥ｏ，Ｖｚ∈ｓ），Ｓ一＝一Ｓ＋．１．２Ｂａｎａｃｈ空间中数学规划问题的二阶最优性条件命题１．２，ｌ１１３】如果Ｘ０∈Ｋ是问题（１－１）的局部最优解，则Ｖｈ∈Ｓ（ｚｏ）Ｄｆ（ｘｏ）ｗ＋Ｄ２Ｓ（ｚｏ）∞，ｈ）之ｏ，Ｖｗ∈臻ｚｏ，＾）．证明设ｈ∈Ｓ（ｘｏ），∞∈２甍（如．＾），由外二阶切集的定义，那么存在ｔ。１０，使得ｄ（ｘｏ＋ｔｎｈ＋ｆ：＂／２，Ｋ）＝ｏ（ｔ：），因此存在ｒ（ｔ。）＝ｏ（￡：）∈ｘ，使得‰＝２Ｃ０＋ｔ．ｈ＋￡：训／２＋ｒ（ｔ。）∈Ｋ，因为．ｒ是二阶连续可微的，所以二阶泰勒展式有ｆ（ｚｎ）＝ｆ（ｚｏ）＋ｔ。Ｄｆ（ｘｏ）ｈ十ｔ：［Ｄｆ（ｘｏ）ｗ＋Ｄ２ｆ（ｘｏ）（ｈ，ｈ）］／２＋ｏＣｄ）．因为ｚｏ是局部最优解，‰∈Ｋ，都有Ｓ（ｚ。）≥ｆ（ｚｏ），并且ｈ∈Ｓ（ｘｏ），Ｄｆ（ｘｏ）ｈ≤０，进而有Ｄｆ（ｚｏ）ｍ＋Ｄ２ｆ（ｚｏ）（＾，ｈ）≥０．■推论１．２．１设ＸＯ是问题（１·１）的一个局部最优解，则Ｖｈ∈Ｓ（ｚｏ），凸集Ｔ（ｈ）ｃ瑶（ｘｏ，｜１１），有Ｄ２Ｓ（ｘｏ）（ｈ，＾）一口ｔ（＾）（一Ｄｆ（ｘｏ））≥ｏ，即（耐（一Ｄｆ（ｘｏ））＜ｏｏ证明０≤Ｄ２ｆ（ｘｏ）（ｈ，ｈ）＋ｎｌｊ，ｎ｛Ｏｆ（ｘｏ）ｗ：ｔ￡，∈臻ｚｏ，＾））＝Ｄ２ｆ（ｘｏ）（ｈ，ｈ）一ｍａｘ（－Ｄｆ（ｘｏ）Ⅲ：ｔ￡Ｉ∈磉ｚｏ，＾）ｌ＝Ｄ２ｆ（ｘｏ）（ｈ，ｈ）一。靠扛。．＾）（一Ｄｆ（ｘｏ））≤Ｄ２ｆ（ｘｏ）（ｈ，ｈ）一ａｒ（ｈ）（－－Ｄｆ（ｘｏ））．这里第一个不等式是由命题１．２．１得到的，第二个不等式由假设可得．●注１．２．１推论１．２．１是文【８１定理３．４５在Ｇ（ｚ）＝ｚ时的特殊情形，这里给出了直接而简单的证明，到目前为止，还没有假设任何约束条件．现在来考虑有明显约束的最小化问题：ｍｉｎ｛ｆ（ｚ）：Ｇ（ｘ）∈ｃ）．（１－２）＊毕业论文ｓｔｃｌｌａｌ啷１６３．ＣＯｌｌｌ第４页，共３５页第。’章Ｂａｎａｃｈ空捌中数学规划『口Ｊ题的二阶最优性条什这里ｘ．ｙ都是Ｂａｎａｃｈ空间，，：Ｘ一兄．Ｇ：Ｘ—ｙ都是二阶连续可微的，Ｇ是Ｙ中的闭凸集，设Ｋ＝Ｇ。（Ｇ），则Ｋ是闭集，问题（１－２）就是问题（１－１）的特殊情况．命题１．２．２设Ｋ＝Ｇ－１（ｃ），则ＶＸｏ∈Ｋ，Ｖｈ∈ｙ＇Ｄａ（ｘｏ）＾∈Ｔｃ（Ｇ（ｚｏ）），有礞（ｚｏ，ｈ）ｃ｛幻：Ｄ２ｃ（ｚｏ）（ｈ，ｈ）＋ＤＧ（ｘｏ）ｗ∈Ｔ８（Ｇ（。ｏ），ＤＧ（ｚｏ）Ａ）｝．（１—３）证明设／，Ｖ∈露（ｚｏ，＾），由Ｇ是二阶连续可微的，则Ｇ在。ｏ点是局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ，从而有对某一ｚ≥０，Ｖｘ—ＸＯ，ｄ（Ｇ（ｚ），ｃ）≤ｌｄ（ｘ，Ｇ－１（Ｇ））＝ｌｄ（ｘ，Ⅳ），由＂∈磉（ｚｏ，＾），贝０ｄ（Ｖ（ｚｏ十ｔｎｈ＋磋＂／２），Ｃ）＝ｏ（￡：），运用Ｇ的二阶泰勒展式，有Ｇ（ｘｏ＋ｔ．ｈ＋￡：叫／２）＝Ｇ（粕）＋ｔ。ＤＧ（ｘｏ）＾＋ｔ２．［ＤＧ（ｘｏ）ｗ＋Ｄ２Ｃ（ｘｏ）（ｈ，＿『１）】＋Ｄ（最），从而得到ＤＧ（ｘｏｗ＋Ｄ２Ｃ（ｚｏ）（＾，ｈ）∈Ｔ８（Ｇ（』ｏ），ＤＣ（ｘｏ）ｈ）即靠（‰ｈ）ｃ｛＂：Ｄ２Ｇ（ｘｏ）（ｈ，ｈ）＋ＤＣ（ｘｏ露（Ｇ（。ｏ），ＤＧ（ｘｏ）ｈ）｝．Ｓ（。ｏ），有ｗ∈■由命题１．２．１，如果ｚｏ是问题（１－２）的～个局部最优解，则对Ｋ＝Ｇ。（ｅ），Ｖ＾∈Ｄｆ（ｘｏ）ｗ＋Ｄ２ｆ（ｘｏ）（ｈ，ｈ）≥ｏ，Ｖｗ∈礞（ｚｏ，＾）．（１－４）尽管（１－３）式提供了豫（和．ｈ）的一个上估计（在包含关系下），这并不能帮助在Ｇ的二阶导数和集Ｇ的二阶切锥下，得到（１．４）式的更进～步有意义的变形（１－５）式．为了得到一个有意义的二阶最优性条件，这就需要（１－３）式成为一个等式：丁品（ｘｏ，ｈ）＝｛ｔ口：Ｄ２Ｇ（ｚｏ）（＾，ｈ）＋ＤＧ（ｘｏ）ｗ∈７尝（Ｇ（ｚｏ），ＤＧ（ｘｏ）危））．（ｉ－５）把（１－５）式叫做在ｚｏ点ｈ方向上的二阶Ａｂａｄｉｅ约束条件．本文中，以后提到二阶Ａｂａｄｉｅ约束条件：就总是假设（１－５）式的左右两边是非空的．用术语“二阶Ａｂａｄｉｅ约束条件”，是因为它和在ｚｏ点的一阶Ａｂａｄｉｅ约束条件的联系．丁ｋｚｏ）＝｛危：ＤＧ（ｘｏ）ｈ∈Ｔｃ（Ｇ（ｚｏ））｝．实际上，容易看出在ｆｏ点的一阶Ａｂａｄｉｅ约束条件恰好是在２：０点ｈ＝０方向上的二阶Ａｂａｄｉｅ约束条件．因此，如果二阶Ａｂａｄｉｅ约束条件在。ｏ点ｈ＝０方向时成立：则Ｓ（ｚｏ）就变为：｛ｕ：ＤＧ（ｘｏ）ｖ∈Ｔｃ（Ｇ（ｚｏ）），Ｄｆ（ｘｏ）ｖ≤ｏ）：＝Ｃ（ｚｏ）．ｓｔｅＵａｌｗｐ９１６３．ＣＯｎｌ第５Ｙｉ．共３５页毕业论文第…章Ｂａｎａｃｈ空间中数学规划『ｎＪ题的二阶最优性条竹这是问题（Ｉ－２）的ｌ临界锥．另外一个使得（１－５）式作为约束条件的重要原因是：当Ｒｏｂｉｎｓｏｎ约束条件在ｏｏ点成立时，即０∈西“（Ｇ（ｚｏ）＋ＤＧ（ｘｏ）Ｘ—Ｃ）．（１－５）式就自然成立了，参见文献ｆ８１．设Ａ（ｚｏ）＝｛Ａ∈Ｙ：Ｄｆ（ｘｏ）＋ＤＧ（ｘｏ）’Ａ＝０，Ａ∈Ⅳｃ（Ｇ（ｚｏ））｝．表示问题（１－２）的拉格朗日乘子的集合．定理１．２．１设２７０是问题（１－２）的～个局部最优解，ｈ∈ｅ（功），假设Ａ（ｘｏ）非空，二阶Ａｂａｄｉｅ约束条件在ｚｏ点ｈ方向上成立，则对任意凸集ＴＣ（１－６）露（Ｇ‰），ＤＣ（ｘｏ）ｈ），有ｌｉｍｓｕｐⅣ—＋一Ｄｌ（ｘｏ）ｓｕｐ＾∈＾（砷弗）｛Ｄ２，（ｚｏ）（＾，ｈ）４－（Ａ，Ｄ２Ｇ（知）∞，∞）一即（Ａ）｝≥０，其中Ａ（ｘｏ，Ｙ）＝｛Ａ∈．７、，０（Ｇ（ｚｏ））：Ｄａ（ｘｏ）’Ａ＝－ｕ｝．证明由Ｔｃ砺（Ｇ（ｚｏ），ＤＧ（ｘｏ）＾）：Ｔ是凸集，令＾，＝Ｔ＋Ｔｃ（Ｇ（ｚｏ））一Ｄ２Ｇ（ｚｏ）（＾，＾），（１－７）由文【８］中命题３．３４，Ｔ＋ＴｃＣａ（ｚｏ））ｃ露（Ｇ００），ＤＧ（ｘｏ）ｈ），则ＤＧ＇（ｚｏ）－１（肼）是一个凸集，ＤＣ（ｘｅ）－１（嬲）ｃ赡（印，妨，这是因为二阶Ａｂａｄｉｅ约束条件在茗。点ｈ方向上成立．因ｈ∈Ｃ（ｘｏ），通过推论１．２．１，有Ｄ２ｆ（ｘｏ）（ｈ，｜１１）一ｅＹＤＧ（Ⅻ）一，（Ｍ）（－－ＤＩ（ｘｏ））≥０．（１－８）由文【７】推论１６．３．１，ａＤＧ（。。）一－㈣）（·）是函数９（ｚ）的闭包，９（ｚ）＝（（ＤＧ（。ｏ））‘口Ⅳ）（ｚ），（１－９）等式右边由文ｆ９】定理２．１．３中的定义，ＤＧ（ｘｏ）＋口＾，（ｚ）＝ｉｎｆ｛ｏ＇Ｍ（Ａ）：Ｄａ（ｚｏ）’Ａ＝ｚ）由（１－７）式有，９（ｚ）：＝ｉｎｆ｛ａＭ（Ａ）：ＤＧ（ｚｏ）‘Ａ＝ｚ）（１－９）＝ｉｎｆ｛ａＴ（Ａ）＋ｏ＇ｂ（Ｇｆ。））（Ａ）一（Ａ，Ｄ２Ｃ（ｘｏ）（ｈ，＾））：ＤＧ（ｚｏ）‘Ａ＝ｚ）＝ｉｎｆ｛ａＴ（Ａ）一（Ａ，Ｄ２ａ（ｘｏ）（ｈ，＾））：ＤＯ（ｘｏ）＋Ａ＝ｚ，Ａ∈，％（Ｇ（ａ硇）））：：ｉｎｆ｛ｏ＇Ｔ（Ａ）一《Ａ，Ｄ２Ｇ（。ｏ）（矗，毳））：Ａ∈Ａ（ｘｏ，一ｚ）｝．ｓｔｃｌｌａｌｗｐ＠１６３．ｏｏｍ第６页，共３５页毕业论文第－章Ｂａｎａｃｈ空间中数学规划Ｉ－廿Ｊ题约二阶最优性条件注意到ｉ（ｘｏ，Ｄｆ（ｘｏ））＝Ａ（ｚｏ）是假设非空的，所以有一Ｄｆ（ｘｏ）在ｇ的定义域内，因此ｇ的定义域是非空的，由文【１０１中真凸函数闭包的定义，真凸函数ｇ的闭包被定义成函数ｚ—ｌｉｍｉｎｆ。。。ｇ（Ⅳ），有ＣｒＤＧ（Ⅻ）一１（Ｍ）（一Ｄｆ（ｘｏ））＝ｌｉｒａｉｎｆⅣ一一Ｄ，（ｚｏ）ｇ（ｙ）＝ｌｉｍｉｎｆｐ一一Ｄ，（：ｏ）ｉｎｆ＾∈Ａ（ｘｏ，ｙ）｛Ｄ７（Ａ）一（Ａ，Ｄ２Ｇ（ｘｏ）（ｈ，＾））｝联系（１—８）式，结论成立．在文章的余下部分，假设问题（１．２）中的集Ｃ是多面体，因此Ｃ的指标函数狮）＝：怯薯是一个分段线性二阶函数【ｌｌ】，因ｅ是一个多面体，由文ｆ８】中命题３．３４有丁吕（Ｇ（ｚｏ，ＤＧ（ｘｏ）ｈ））＝ｊＢｂ（Ｇ（，。））（ＤＧ（ｚｏ）＾）．下面记Ｏ（ｈ）＝，ｋ（Ｇ（。。））（ＤＧ（ｚｏ）＾）．（１－１０）定理１．２．２设ｈ∈Ｇ（ｚｏ），ＸＯ是问题（１—２）的一个局部最优解：如果二阶Ａｂａｄｉｅ约束条件在ｚｏ点ｈ方向上成立，则Ａ（ｘｏ）非空且ｓｕｐＭ（：。）｛Ｄ２ｆ（ｘｏ）（ｈ，ｈ）＋（Ａ，Ｄ２Ｇ（ｘｏ）（ｈ，＾）））≥０证明由ｈ∈Ｃ（粕），在Ｘｏ点的一阶Ａｂａｄｉｅ约束条件恰好是在知点ｈ＝０方向上的二阶Ａｂａｄｉｅ约束条件，又由（１·ｌＯ）式，Ｔｃ（Ｇ（ｚｏ））ｃ７０（Ｇ（ｚｏ，ＤＧ（ｘｏ）ｈ））＝‰（Ｇ（。。））（ＤＧ（ｚｏ）＾）＝ｅ（危），有ｅ（＿１１）一ｃ因为』、，ｃ（Ｇ（ｚｏ））＝Ｔｃ（Ｇ（ｚｏ））一，可得ｅ（＾）一Ｃ＾０（Ｇ（￥ｏ）），Ｔｃ（ａ（ｘｏ））一，吲尔小＝他溜麓由推论１．２，１，有（１＿１１）令Ｔ＝ＤＧ（ｘｏ）一１（＾，），Ｍ＝ｅＣｈ）一Ｄ２Ｇ（ｘｏ）（ｈ，＾）．贝ＵＴ非空凸，Ｔｃ了盔（ｚｏ，＾），ａＴ（一ＤＩ（ｘｏ））≤Ｄ２ｌ（ｚｏ）Ｃｈ，＾）．（１－１２）因ｅ是一个多面体，有ｅ（＾），Ｍ和Ｔ都是多面体，因指标函数西（ｚ）＝（ｄ吖ｏＤＣ（ｚｏ））（ｚ），６＾，是一个真凸的分段线性二阶函数（由于＾，是一个多而第７页，共３５页毕业论文ｓｔｃｌｌａｌｗｐ＠１６３．ＣＯｎｌ第一章Ｂａｎａｃｈ空问中数学规划问题的二阶最优性条什体），由文［１１】推论１１．３３有ｏｒ（一Ｄｆ（ｘｏ））＝（西）’（一Ｄｆ（ｘｏ））＝ｉｎｆ｛ａＭ（Ａ）：ＤＣ（ｘｏ）’Ａ＝－Ｄｆ（ｘｏ））结合（１一１２）式有Ｄ２／（ｚｏ）（ｈ，ｈ）２ａＴ（－－Ｄｆ（ｘｏ）），（１－１３）田（一Ｄｆ（ｘｏ））＝ｉｎｆ｛稚ｊ（Ａ）：ＤＧ（％）’Ａ＝一Ｄｆ（ｘｏ）｝＝ｉｎｆ｛ｔｒＯ（ｈ）（Ａ）一（Ａ，Ｄ２ｃ（ｘｏ）（＾，＿１１））：ＤＧ（ｘｏ）‘Ａ＝－Ｄｌ（：ｖｏ）｝＝ｉｎｆ｛一（Ａ，Ｄ２Ｇ（ｚｏ）（＿Ｉｌ，＾））：ＤＧ（ｘｏ）‘Ａ＝－Ｄｆ（ｘｏ），Ａ∈ｅ（＾）一）≥ｉｎｆ｛－（Ａ，Ｄ２Ｇ（ｘｏ）（ｈ，＾））：ＤＧ（ｘｏ）‘Ａ＝一Ｄ，（ｚｏ），Ａ∈Ｎｃ（Ｇ（ｘｏ）））＝ｉｎｆ｛－（Ａ，Ｄ２Ｇ（ｘｏ）（ｈ，＿『１））：Ａ∈Ａ（ｚｏ）｝，这里的第一个等式由Ｍ＝ｅ（ｈ）一Ｄ２Ｃ（ｘｏ）（＿Ｉｌ，ｈ）得出，不等式是由（１－１１）式得到的．ｉｎｆ｛一（Ａ，Ｄ２Ｇ（ｘｏ）（ｈ，＾））：Ａ∈Ａ（１叼））＝一ｓｕｐ｛（Ａ，Ｄ２ｃ（ｘｏ）（ｈ，＾））：Ａ∈Ａ（ｘｏ））．（１—１４）因为空集约定上确界为一ｏｏ，由（１－１４）式直接可得，Ａ（ｘ０）非空．由（１－１４）曼得０ＳＤ２ｆ（ｘｅ）（ｈ，ｈ）一口ｒ（－－Ｄｆ（ｘｏ））ＳｓｕｐＡＥＡ㈤｛Ｄ２ｆ（ｘｏ）（ｈ，ｈ）＋（Ａ，Ｄ２Ｇ（ｘｏ）（ｈ，＾））｝．结束本章前，给出一个比Ｒｏｂｉｎｓｏｎ约束条件更弱的充分条件，使得Ａｂａｄｉｅ约束条件成立．这个充分条件其实是Ｇ（ｘ）∈Ｃ的局部误差界．称系统Ｋ＝｛ｚ：ｃ（ｘ）∈Ｇ）在知∈Ｋ的局部误差界，如果正数ｒ和ｔ７，使得ｄ（ｘ，Ⅳ）≤ｒｄ（Ｇ（ｚ），ｅ），Ｖ￡∈Ｂ（ｘ，＇７）．（１－１５）这里ｄ是距离函数，Ｂ（ｘ，叩）是中心在。ｏ点，半径为ｑ的开球，关于误差界理论的系统讨论可参考文献［６］ｆｌＯｌｌｎ］．在ｚｏ点的Ｒｏｂｉｎｓｏｎ约束条件等价于所谓的度量正则性，即存在ｒ＞０，（。ｏ，０）点的领域矿，使得ｄ（ｘ，Ｇ一１（一Ⅳ））≤ｒｄ（Ｇ（ｘ）＋Ｙ，Ｇ），ｖ（ｚ，Ｙ）∈Ｕ（１－１６）见参考文献【８】．比较度量正则性（１·１６）式和局部误差界（１—１５）式，很明显，（１一１５）式比（１·ｌ∞式要更弱，因此（１－１５）式比Ｒｏｂｉｎｓｏｎ约束条件更弱（在（１－１６）式中固定Ｙ＝０，得到局部误差界（１一１５）式），见参考文献【１２】．ｓｔｃｌｌａｌｗｐ＠１６３．ｃｏｉｎ第８页，共３５页毕业论文第一章Ｂａｎａｃｈ空间中数学规划『ｎＪ题的二阶最优性条件命题１．２．３设Ⅳ是问题（１－２）的可行集，局部误差界在Ｘｏ∈Ｓ成立，则二阶Ａｂａｄｉｅ约束条件在。ｏ点ｈ方向上成立．，证明由（１－３）式，还需要证明｛枷：Ｄ２Ｇ（ｘｏ）（ｈ，ｈ）＋ＤＧ（ｘｏ）ｗ∈露（ａＣｘｏ）．ＤＧ（ｘｏ）ｈ）｝ｃ磺（知：＾）．设Ｄ２Ｇ（ｚｏ）（＾，＾）＋ＤＧ（ｘｏ）ｗ∈７９（ＧＣｚｏ），ＤＧ（ｘｏ）ｈ），贝Ｕｄ（Ｇ（ｘｏ）＋ｔｎＤＧ（ｚｏ）ｈ＋ｔ２ｎ［ＤＧ（ｘｏ）ｗ＋Ｄ２Ｖ（ｘｏ）（ｈ，ｈ）］／２，Ｃ）＝Ｄ（ｔ：）．令ｚ。＝￡ｏ＋￡。＾＋ｔ：ｔｌＪ／２，Ｙｎ＝Ｇ（ｘｏ）＋ｔｎＤＧ（ｘｏ）ｈ＋ｔ：［ＤＧ（ｘｏ）ｗ＋Ｄ２Ｇ（ｚｏ）（＾，ｈ）］／２，则ｄ（鲰，Ｃ）＝Ｄ（￡：）．因Ｇ是二阶连续可微函数，由二阶泰勒展式，ａ（ｚ。）＝Ｙｎ＋Ｄ（ｔ：），由局部误差界（１—１５）式成立，对充分大的ｎ，有ｄ（ｘ。，Ｋ）≤ｒｄ（Ｇ（岛。），Ｃ）≤川ｌＧ（ｚ。）一聃川＋ｒｄ（ｙｎ，Ｇ）＝Ｄ（ｔ：）．这就证明了＂∈瑶（ｚｏ，＾）．一ｓｔｃｌｌａｌｗｐ＠１６３．ｃｏｎｌ第９页，共３５页毕业论文第二章无穷维空间中新的Ｆａｘｋａｓ型结果本章主要讨论的是无穷维空间中新的Ｆａｒｋａｓ型结果，文献ｆ２０ｌ中定理３，ｌ在有限维空间证明了原问题和它的Ｌａｇｒａｎｇｅ对偶问题强对偶，以及其外部取最大值内部取下确界的Ｌａｇｒａｎｇｅ对偶问题和它的Ｆｅｎｃｈｅｌ对偶问题间的强对偶成立．但在无穷维空间中并未出现有相应的结果．本章即在无穷维空间中考虑此问题，提出了一个新的约束条件，利用文献【２３ｌ证明了在无穷维空间中原问题和它的Ｌａｇｒａｎｇｅ对偶问题强对偶性成立，再根据文献ｆ２４】中定理３．２在无穷维空间的Ｆｅｎｃｈｅｌ对偶问题的结果，证明了Ｌａｇｒａｎｇｅ对偶问题和它的Ｆｅｎｃｈｅｌ对偶问题间的强对偶成立，即本章的定理２．２．１，进而分别得到了在无穷维空间中有限个和无限个凸约束的不等式系统的新Ｆａｒｋａｓ型结果，将文献【２０】中的相关的结论做了推广，见参考文献ｆ２１］［２２］，２．１基本知识首先，给出本章所要用到的定义和基本结果．设Ｘ是局部凸的拓扑向量空间，用ｘ’表示它的对偶空间．Ｋ是ｘ的一个非空凸子集，用ｃｌ（Ｋ），ｃｏ（Ｋ）分别表示Ⅳ的闭包，凸包．相应地，用ｃｏｎｅ（Ｋ）＝Ｕ＾＞ｏＡⅣ和ｃｏｎｃｃｏ（Ｋ）＝Ｕ＾＞ｏＡｃｏ（Ｋ）分别表示由Ｋ生成的锥和凸锥．下面给出相对内部和强拟相对内部的定义：设Ｋ是ｘ的一个非空凸子集，用ｒｉＫ和ｓｑｒｉＫ分别表示Ⅳ的相对内部和强拟相对内部，其定义如下：ｒｉＫ＝扛∈ａｆｆＫｔ３ｅ＞０，扛＋ｅＢ）ｎ（ａｆｆＫ）ＣＫ｝，其中Ｂ是单位球，ａｆｆＫ表示Ｊ『ｆ的仿射包．ｓｑｒｉＫ＝｛ｚ∈Ｋｌｃｏｎｅ（Ｋ—ｚ）是一个闭子空问）．容易得出。ｓｑｒｉＫＣｒｉＫ，此外，集合Ｋ∈ｘ：指示函数矗：ｘ一旯＝ＲＵ｛士ｏ。｝，其定义如下：第ｌＯ页，共３５页第二章无穷维空问中新的Ｆａｒｋａｓ型结果眦）：＝偿：篡支撑函数口Ⅳ（ｒ）：ｘ＋一豆其定义如下：盯＾．ｉｚ’）：＝ｓｕｐｚＥⅣ（ｚ’，ｚ）．现在考虑函数，：Ｘ一豆．，的有效域（定义域）为：ｄｏｍｆ＝扛∈ｘ：ｆ（ｘ）＜ｏｏ）．ｆ的上方图象为：ｅｐｉｆ＝｛（ｚ，ｒ）∈Ｘ×Ｒ：，（ｚ）≤ｒ）．，约闭包：ｃｌｆ（ｘ）＝ｌｉｒａｉｎｆ”～，（分），它的上方图象是ｅｐｉｆ的闭包，即是ｅｐｉ（ｃｌｆｌ＝ｃｌ（ｅｐｉ／）．称，是真的，若ｄｏｍｆ≠Ｏ，，（ｚ）≠一ｏｏ，对任意。∈ｘ．假设，：Ｘ一壳．共轭函数广：Ｘ＋一兄（相对于耳）按如下方式定义：，‘（，）＝ｓｕｐ｛（ｚ’，ｚ）一ｆ（ｘ）ｌｘ∈Ｋ）以下是共轭函数的几个基本性质：０广是凸的和＂＋一连续的；９若ｆ≤９．则ｇ＋Ｓ广；９ｆ４＝（ｃｌｆ）＋；０若Ｑ＞０，（ａ，）＋（ｚ’）＝ｎ，’（ｎ一１ｚ＋），Ｖｚ’∈Ｘ’；９若口≠０．（，（ｐ））＋＝，＋（／３—１ｚ’）：Ｖｚ’∈。Ｙ’．定义２．１．１给定函数＾，．，．，，ｍ：ｘ一盂．ｆｌＮ．．．口，ｍ：ｘ一詹＾口…口厶（ｚ）＝ｉｎｆ｛∑（＾（ｚ。））：∑（ｚｔ）＝ｚ），｛＝ｌｌ＝ｌ称为函数＾，…，，ｍ的卷积．定理２．１．１［９１设，∈ｒ（ｘ），则广∈Ｆ＋（ｘ４），而且，”＝（广）’＝ｆ．其中ｒ（．、，）．ｒ．（ｘ‘）分别表示一切真凸下半连续和＂＋一下半连续函数的全体．ｓｔｅｌｌａｌｗｐ心１６３．ｃｏｉｎ第１１页．共３５页毕业论文第二章无穷维空间中新的Ｆａｒｋ∞型结果定理２．１．２设＾（ｚ）∈ｒ（ｘ），１≤ｉ≤ｍ，则（ｄ（Ａ）＋…＋ｄ（，ｍ））＋＝ｃｌ（．片口···口正），若ｒｉ（ｄｏｍ／／）有一个公共点，ｉ＝１，…：ｍ，则（２－１）（∑（五））’（ｐ）＝（，：口···口荒）（ｐ）＝ｉｎｆ｛∑（ｒ（ｎ））：∑Ｐｔ＝ｐ）．这里对每个矿∈Ｘ＋其下确界可以达到．证明根据定义：（２—２）（＾口…口厶）’∽＝ｓｕｐ。｛妇，ｚ）一ｉｎｆ（∑（ｙ，Ｃｚ，））：∑Ｘｉ＝ｚ）＝ｓｕｐ。ｓｕｐ。。＋…＋。。：。｛扫，ｚ）一＾（。１）一···一，ｋ（ｚｍ））＝ｓｕｐｘ。，．，。｛（ｐ，ｚ１）＋…＋（ｐ，ｚ。）一，ｌ（ｚｉ）一…一，ｍ（ｚｍ））＝．片白）＋·一＋扁（ｐ）．这蕴涵着如下等式：（片口…口．ｆ：）＋＝片＋＋···＋篇＝ｃｌ（ｆ１）＋···＋ｃｌ（，ｍ）．因此．（ｄ（＾）＋…＋ｄ（，＂。））’＝（片口－··口儡）”＝ｅｌ（片口·一口丘）．若ｒｉ（ｄｏｍｆｉ），ｉ＝１，…，ｍ有一个公共点，根据【７】定理９．３，ｃｌ（，１）＋…＋ｃｌ（，仇）＝ｃｌ（Ａ＋…＋厶），通过定理２．１．１，后者的共轭就是（，ｌ＋…十，ｍ）＋．另一方面，由【７】推论１６．２．２，在相同的条件下，片，．．．，展满足【７】推论９．２．１的假设，它保证（疗口…口扁）是闭的，在（疗口…口层）的定义下其下确界是可以达到的．●注２．１．１【７】中的定理９．３和推论１６．２，２在无穷维空间中是成立的．【７Ｉ中的，ｌ和ｆ闭性可由＾∈ｒ（ｘ）和疗∈Ｆ’（ｘ‘）得到．推论２．１．１设＾∈ｒ（ｘ），ｉ＝１，．．．，ｍ，则ｍ，ｎｍ印ｉ（（∑ｃｌ，Ｉ）＋）＝ｃｌ（∑ｅｐｉ（ｆ）），％。∈ｉｎｔ（Ｚｄ。ｍ片），（２－３）ｉ＝１ｉ＝１ｔ＝ｌ若ｒｉ（ｄｏｍｆｌ），ｉ＝１，…，ｍ有一个公共点，则仇ｍｅｐｉ（（∑五）‘）＝∑ｅｐｉ（ｆ）ｉ穹ｌｉ＝１（２－４）毕业论文ｓｔｅｌｌａｌｗｐＣ＠１６３．ｃｏｉｎ第１２页，共３５页——苎三兰歪妻笙窒塑！堑塑垒！塑！型丝墨２．２Ｆｅｎｃｈｅｌ—Ｌａｇｒａｎｇｅ对偶问题本节中假设ｘ，Ｙ是局部凸的拓扑向量空间其对偶空间是ｘ·，Ｙ·．Ｋ是Ｘ的非空凸子集．Ｙ被闭凸锥Ｑｃｙ序化其序关系定义如下：ＹｌＳｏＹ２，耽一可１∈Ｑ，Ｖｙｌ，珈∈Ｙ类似于壳．考虑Ｙ。＝ＹＵ｛士ｏｏｙ｝，且满足４－ｏｏｙ《Ｋ一∞ｙ≤。Ⅳ≤。＋∞＇，·坳∈ｙ，特别地，由Ｑ生成的序空间ｙ，我们记为（Ｖ０）．设（ｙ．Ｑ）是一个序化局部凸的拓扑向量空间，Ｈ：Ｘ—ｙ。为一映射，称日是Ｈ（Ａｘ＋（１一Ａ）可）≤ｏＡＨ（ｘ）＋（１～Ａ）日（暑，），№，Ｙ∈Ｘ，ｖＡ∈（０，１）．设ｙ是由闭凸锥Ｑ生成的序空间．ｇ：Ｘ—ｙ。是一个Ｑ．凸映射，集０｝是一个凸集．（Ｐ）ｉｎｆ＝ｅｅｆ（ｘ）Ｇ：＝｛ｚ∈—Ｖ１９（ｚ）≤ｏ０）这里，是真凸多面体函数．ＸＹ＿局垂ＰＬ（砌，２）：：｛ｍ＋口），。∈Ｋ，ｇ（。）≤。ｚ，Ｌ十。。，ｚ∈“：９（ｚ）＞ｏｚ．雪每［．：Ｘ‘×Ｘ＋×ｙ＋＿旯垂ｈ（矿，矿，ｚ’）＝ｓｕＰｘｅｘ，ｐ∈ｘ声∈ｙ＜（ｚ’，ｚ）＋白‘，ｙ）＋（矿，ｚ）一圣，Ｌ（ｚ，Ｙ，ｚ）｝＝ｓｕＰ＝ｅＫ，∥ｅＸ，ｇ（ｚ）兰。；ｆ（ｚ＋，砷＋（暑，‘，计＋仁＋，石）一，（ｚ＋可），ｒ：乏。＋Ｙ·５：＝名一９（力．第１３页，共３５页毕业论文９凸的，若Ｃ：＝｛ｚ∈ＫｌｇＣｘ）＜－ｅ考虑广义的凸规划问题（Ｐ）：为了得到（Ｐ）的Ｆｅｎｃｈｅｌ－Ｌａｇｒａｎｇｅ对偶问题，先介绍以弘２为扰动变鬣的扰动函数：西，Ｌ：Ｘ×Ｘ利用有限维空问中介绍的扰动方法（【２５】），下一步计算垂儿的对偶函数：为了便于计算，以新的变量＿５分别代替前面的变量玑ｚ其定义如下ｓｔｃｎａｌｗｐ＠１６３．００Ｊｌｌ第二章无穷维空间中新的Ｆａｒｋａｓ型结果于是上面的上确界可以分离为下面三个上确界的和西≥Ｌ（ｚ‘，Ｙ‘。‘）：＝ｓｕｐ，Ｅｏ（ｓ，矿）＋ｓｕｐ，∈ｘ｛（Ⅳ‘，ｒ）一，（ｒ）｝＋ｓｕｐ。∈Ⅳ｛（ｚ＋一Ｙ。，ｚ）＋（，，ｇ（ｚ）））Ｊｆ’（圹）一ｉｎＬ∈耳｛（暑，’一ｚ’，ｚ）一（矿，９（ｚ））｝，ｚ’∈Ｑ一，【＋ｏ。，矿＃Ｑ一．这里Ｑ一：＝｛旷∈Ｙ’Ｉ：（Ｙ’，ｚ）≤０，Ｖｚ∈Ｑ）．众所周知，原问题（Ｐ）的对偶问题是：（ＤｐＬ）：ｓｕｐｕ．￡ｘ．，∈ｙ．｛一西≥￡（ｏ，Ｙ’，２’））．改变变量的符号后，可得到：（ＤＦＬ）：ＳＲＰｙ．ＥＸ·．：·Ｅｏ＋｛一ｆ＋（Ⅳ＋）＋ｉｎｆｚ∈Ｋ｛＜ｙ＊，ｚ）＋（ｚ＋，ｇ（ｚ））））Ｑ＋＝｛矿∈ｙ’｜：（Ｙ’，Ｚ）≥０，Ｖ。∈Ｑ｝＝一Ｑ一．即是，（ＤＦＬ）：ｓｕｐｙ．ｅＸ．．，∈口＋（一，＋（ｐ＋）一０’ｇ）≈（一Ｙ’）｝．显然，根据偶函数的构造，原问题（Ｐ）和对偶问题（ＤＰＬ）间弱对偶是成立的，即原目标函数在任意一个可行点的函数值是大于或者等于其对偶目标函数在任意一个对偶可行点的函数值的．不同于弱对偶，强对偶（原问题和对偶问题的最优值是相等的．并且对偶问题（ＤＦＬ）有一个最优解）在一般情形下是不成立的．为了避免这样的情况发生。给出一种约束条件保证强对偶成立．首先，分别用＂（Ｐ）和ｖ（ＤＦＬ）表示原问题和对偶问题的最优值．现在提出约束条件：（ｃＱ）存在ｆ’∈ｓｑｒｉＫｎｄｏｍｆ使得ｇ（ｘ）∈一ｉｎｔＱ．定理２．２．１假设ｖ（Ｐ）＞一。。，满足（ＣＱ），则（Ｐ）和（ＤＦＬ）之间强对偶成立，即它们的最优值相等，并且对偶问题（ＤＦＬ）有一个最优解．证明问题（Ｐ）可以写成以下形式：（尸）ｉｎ毛Ｅ墨ｓｔｃｌｌａｌｗｐｋ＠１５３．ｃｏｎｌ，＇９（。）ｓｏｏｆ（Ｘ）．毕业论文第１４页．共３５页第二章无穷维空问中新的Ｆａｒｋａｓ型结果由［２３】可得，存在尹∈Ｑ＋．使得Ｌａｇｒａｎｇｅ对偶成立，即是”（１ｐ）－：ｍ．∈ａｏｘ＋‘“ｆ删ｎｄ姗彤（。）＋（。＋，９（。））】＝１“ｆ洲ｎ概，［，（。）＋（ｒ，ｇ（。））】．定义：．ｈ：Ｘ＿Ｒ№）：＝｛仨篙＂’。ｘ魍Ｅ贝ｌＪＫ，Ｉ－式右端写成如下形式：ｕ（Ｐ）＝ｉｎｆ＝∈ｘ【，（ｚ）＋＾扛）】．凼为ｓｑｒｉＫｎｄｏｍｆ＝ｓｑｒｉ（ｄｏｍｈ）ｎｄｏｍｆ≠ｏｏ，由【２４】定理３．２，存在牙＋∈ｘ＋，使得：ｖ（Ｐ）＝ｍａｘｘ·∈ｘ·［－ｆ’（ｚ＋）一ｈ’（一ｚ＋）】＝－Ｉ’（扩）一ｈ＋（一矿）＝－ｙ＋（茔＋）一ｓｕｐｘ∈Ⅳ｛一（ｚ’，ｚ）一，ｌ（。）｝＝一，‘（孟‘）一ｓｕｐｘ∈Ⅳ｛一（ｚ’，ｚ）一（尹，９（ｚ）））＝一，’（孟＋）一（尹ｇ）莨（一圣’）．由Ｉ二式的右边，得出它是（ＤｐＬ）在（孟＋，矿）的函数值．根据弱对偶性．（Ｄ凡）的上确界在（矿，ｒ）得到．因此，（矿，矿）是对偶问题的一个最优解．●注：２．１定理２．２．１先由（ＣＱ）成立来证明了原问题和它的Ｌａｇｒａｎｇｅ对偶问题强对偶，再证明了其外部取最大值内部取下确界的Ｌａｇａ＇ａｎｇｅ对偶问题和它的Ｆｅｎｃｈｅｌ对偶问题问的强对偶成立．后者即是前面介绍的Ｆｅｎｃｈｅｌ－Ｌａｇｒａｎｇｅ对偶问题．２．３无穷维空间中有限个凸约束的Ｆａｒｋａｓ型结果设＾．是ｘ的一个非空闭凸子集，Ｉ＝｛１，．…ｍ）为一指标集，ｙ是由闭凸锥Ｑ生成的序空间．１－：Ｘ一置是真凸函数．ｇｉ：Ｘ—ｙ。是Ｑ－凸函数．ｇ：ｘ。娶ｙ５∑兰：：：．兰兰，ｇ（。）＝（９·（ｚ），…，鲕（。）），垤∈ｘ－考虑凸优化问题：（Ｐ’）ｓｔｃｌｌａｌｗｐａｌ６３．ｃｏｉｎｉｎｆ＝∈ｃ，（ｚ），ｃ：＝｛ｚ∈ＫＩｇ（ｘ）Ｓ口ｍｏ）．第１５Ｙｉ，共３５页毕业论文第二章无穷维空间中新的Ｆａｒｋａｓ型结果这里Ｑ…＝兀Ｑ＝９×．．×Ｑ，９（ｚ）≤口ｍ０，ｔ＝ｌ’。。。、，‘’。一０铮吼（ｚ）≤ｏ”Ｉ类似上节的方法，得到（Ｐ’）的Ｆｅｎｃｈｅｌ－Ｌａｇｒａｎｇｅ对偶问题：（上）；Ｌ）ｓｕｐ。．Ｅｘ。．，∈ｏｍ＋｛一，’（ｇ＋）一（２‘９）≈（一ｚ’）），这里０＋９）ｐ）＝∑（０，毋（ｚ）），矿＝（ｚ：…．，东），才∈Ｑ＋，１Ｓｉ≤ｍｉ＝１ｍＱ”＋＝ｎＱ＋＝印＋×···Ｘ’‘ｏ。‘‘‘‘、，‘’’’１。一Ｑｔ．ｍ下面给出这个问题的主要结果：定理２．３．１Ｃ勺条件成立，则下面两个结论等价：ａ）ｚ∈Ｋ，９ｌ（ｚ）≤口ｏ，Ｖｌ∈Ｉ＝｝，（茁）≥０．（ｉｉ）存在牙＋∈ｘ’，ｊ＋∈Ｑ”＋，使得，’（ｚ’）＋（ｉ＋９）≈（一ｚ’）≤０，证明（ｉｉ）号（ｔ）：设存在矿∈ｘ‘，矿∈Ｑ”＋，使得广（矿）＋（尹９）≈（一矿）≤０，即一，‘（孟‘）一（尹ｇ）≈（一牙＋）≥０．于是（Ｄ－Ｌ）的最优值ｖ（Ｄ＇ｐＬ）大于或等于０，由弱对偶＂（一）必须大于或等于０．因此，对Ｖｘ∈Ｄ，吼（ｚ）≤口０，Ⅵ∈Ｉ，有ｌ（ｘ）≥０，即（ｉ）成立．（ｉ）号（ｉ≤）：假设（ｉ）成立，则口（，）≥０．因为约束条件（ＧＱ）成立．由定理２．２，１，可得存在（矿，尹）∈Ｘ’ｘＱ”＋为（ＤＦＬ’）的最优解，使得ｕ（Ｐ，）＝ｖ（Ｄ＂ＦＬ）＝－Ｉ‘（￡‘）一（Ｅ－＂９）≈（一量’）≥０．结论得证．一注２．３．１由（ｉｉ）＝争（ｉ），约束条件（ｃＱ）不是必要的，由定理２．３．１，可得出下面“二选一”定理：推论２．３．１设（ＣＱ）成立，下面的不等式系统有解且不同时成立：（１）ｚ∈Ｋ，ｇｌ（ｘ）≤ｏｏ，Ｖ／∈Ｉ，，（ｚ）＜０．（２）１’（ｚ‘）＋（ｚ＋９）知（一ｚ‘）≤０，ｚ’∈ｘ’，矿∈Ｑ“＋．命题２．３，１定理２．３，１中的（厕等价于：０∈ｅｐｉ（／’）＋≥：ｅｐｉ（（露肼）’）＋ｅｐｉ（ａＫ）．（２－５）ｓｔｅｌｌａｌｗｐ＠１６３．ＣＯＩＩＩ第１６页，共３５页毕业论文第二章无穷维空间中新的Ｆａｒｋａｓ型结果证明（ｉｉ）辛定理２．３．１：（Ｆｇ）≈（一ｉ’）≤０．设矿∈Ｘ’，尹∈Ｑ”＋，使得广忙。）十首先假设５＋＝０，则，８（矿）＋ｓｕＰｚ∈Ｋ（一孟＋，ｚ）≤０．因此，口Ｋ（一孟’）＝ｓｕＰｚＥＫ《～牙’，ｚ）≤一，＋（王＋）．即（一孟’．一，＋（孟＋））∈ｅｐｉ（ａＫ）．所以有如下关系：０＝（牙’，，＋（牙’））＋（一牙’，－ｆ＋（牙＋））∈ｅｐｉ（ｆ’）＋ｅｐｉ（ａｇ）∈ｅｐｉ（ｆ＋）＋∑ｅｐｉ（（５：ｇｆ）’）＋ｅｐｉ（ａｈ－）．ｆＥ，当矿≠０时，‘＝｛ｉ∈Ｉ：露≠ｏ）非空，另外，，，（孟’）＋（尹９）ｋ（一孟．）≤０，于是存在ｒ∈Ｒ，使得厂＠＋）≤ｒ≤－（５。夕）≈（一矿）．所以．（牙‘，ｒ）∈ｅｐｉ（，＋），根据关于对偶函数集合Ｋ的定义，有：（一孟‘，一ｒ）∈ｅｐｉ（（ｊ‘９）斋）．。（２－６）（尹ｇ）ｋ（一ｚ＋）＝ｓｕｐ。∈Ｋ｛（ｚ’，ｚ）一ｊ＋ｇ（ｚ））＝ｓｕｐｘｅｘ｛《ｚ‘，ｚ）一（ｊ＋ｇ（ｘ）＋６Ⅳ（ｚ）））＝（矿ｇ＋如）’（矿），Ｖｘ＋∈ｘ＋．这里矗是Ｄ的指标函数．显然（矿ｇ）ｋ＝（（尹ｇ）‘＋６Ⅳ）’．事实上，Ⅳ是一个凸集，则ｒｉＫ＝ｒｉ（ｄｏｍ（６９））非空．由推论２．１．１，就进一步得到：（一牙‘，一ｒ）∈ｅｐｉ（（５＋ｇ＋啄））＝ｅｐｉ（（５＋ｇ）’）＋ｅｐｉ（（６Ｋ）＋）由（２－４）式，得（２－７）一ｅｐｉ（（５’ｇ）＋）＝ｅｐｉ（（Ｚ薯吼）’）＝∑ｅｐｉ（（ｑｉ９１）＋）＝∑ｅｐｉ（若９１）’）＝∑ｅｐｉ（Ｚ，＊９１）＋）ｉＥｌ口ｉＥｌｑ１Ｅｌ口ｉＥｌ所以，由（２－６）式，（２－７）式和畋＝Ｏ＂Ｋ，得０∈ｅｐｉ（ｆ‘）＋∑ｅｐｉ（（露玑）’）＋ｅｐｉ（ａ，ｖ）ｉＥｌｓｔｅＵａｌｗｐ＠１６３ＣＯｉｎ第１７页，共３５页毕业论文第二章无穷维空间中新的Ｆａｒｋａｓ型结果定理２．３．１净（ｉｉ）：令牙‘∈Ｘ＋，ｒ∈Ｒ，使得（矿，ｒ）∈ｅｐｉ（ｆ‘），（一孟。，一ｒ）∈∑ｅｐｉ（（零仇）‘）＋ｅｐｉ（ａＫ）．于是可得：，’（矿）≤ｒ．由推论２．２．１，可推得：（一牙。，一ｒ）∈∑ｅｐｉ（（暑吼）‘）ｑ－ｅｐｉ（妖）＝ｅｐｉ（（∑（（零吼）’）＋ｅｐｉ（肥Ｋ）‘∈，＝ｅｐｉ（（ｇ＋９）’）＋ｅｐｉ（ｋ）‘）＝ｅｐｉ（（尹９）≈）．即找至Ⅱ了（孟’，ｚ’）∈ｘ＋ＸＱ“＋，使锝，‘（孟‘）＋（（矿９）＋）；ｆ）玉（一孟’）≤ｒ—ｒ＝０．推论２．３．２设矿∈ｘ·，Ｄ∈Ｒ，（ｃＱ）满足，则下面商个结论等价（ｉ）ｚ∈Ｋ，吼（ｚ）≤ｏ０，Ｖｉ∈，，＝争（王’，ｚ）≤Ｑ．（ｉｉ）存在尹∈Ｑ”，使得（ｊ‘ｇ）；ｆ（矿）≤ｎ．证明构造函数ｆ：Ｘ一矗，ｆ（ｘ）：＝Ｑ一（矿，ｚ）．进而可得：“∽：＝慨－Ｉ－ｏｏ；ｉ二≥于是两者问的等价性由定理２．３．１，－Ｉ直接得到．■注２．３．２设，：ｘ—，真，ｆ（ｘ）＝ａ一位＋，ｚ），ｅｐｉｆ＋＝｛（一ｉ＋，一ａ）｝＋｛ｏ）×ＪＲ＋由命题２．３．１，推论２．３．２中的（ｉｉ）变为：忙＋，ｎ）∈∑ｅｐｉ（嚣ｍ）＋＋ｅｐｉ（ａＫ）＋｛０１×Ｒ｝．ｉＥ？又因为ｅｐｉ（ａＫ）＋｛ｏ）凰＝ｅｐｉ（ａＫ），于是有（矿，ｏ）∈∑ｅｐｉ（５＊ｇｉ）‘＋ｅｐｉ（盯Ｋ）．ｉＥｌ注２．３．３重新考虑推论２．３．２．让Ｋ＝Ｘ．则下面两个结论等价（ｉ）ｘ∈ｘ，ｇｉ（ｘ）≤口０，Ｖ／∈Ｉ，＝｝（孟。，ｚ）≤Ｑ。ｓｔｄｌａｌｗｐ毽１６３．ＣＯｎｌ第１８页，共３５贞毕业论文第二章无穷维空间中新的Ｆａｒｋａｓ型结果（ｉｉ）存在三＋∈Ｑｍ＋，弓（乏。９）＋（ｉ。）≤ｏ．因为ｅｐｉ（ｏ＇ｘ）＝｛０，×凰，（ｉ）和（ｉｉ）等价于：（ｉ＋，ｏ）∈∑ｃｐｉ（（五＋ｇ。）＋）十｛ｏ）×尼ｌ∈，（２—８）若矿≠０，（２－８）式还可等价地写为：（矿：ｎ）∈∑ｅｐｉ（（露９１）＋）．ｉＥＩ２．４无穷维空间中无限个凸约束的Ｆａｒｋａｓ型结果假定Ｘ，ｙ，Ｋ，ｇｉ，ｆ与上节中的假设相同．，是任意的指标集Ｇ＝｛ｚ∈Ｘｌｇ，（ｘ）≤口０，Ｖｉ∈Ｊ，．考虑原始问题优化问题：（ＪＰ８）ｉｎｆ：∈ｃｆ（ｘ）Ｃ：＝ＫｎＧ＝｛ｚ∈Ⅳｆｍ（ｚ）≤Ｑ０，Ｖｉ∈Ｊ）．假设Ｃ是非空的，利用Ｇ和耳的指标函数如，矗，Ｐ”可等价地写成：（Ｐ”）ｉｎｆ｛ｆ（ｘ）＋如（ｚ）＋６Ⅳ（ｚ）Ｉｚ∈ｘ）＝－（ｆ＋如＋５Ｋ）’（ｏ）若ｒｉ（ｄｏｍｆ）ｎｒｉｇｎｒｉＫ≠Ｏ，由（２－４）式，得（ＪＰｏ。）的Ｆｅｎｃｈｅｌ对偶问题（Ｄ尹）ｓｕｐ《．。；ｅｐ｛一ｆ’（ｚ：＋ｚ；）一略（一ｚ：）一妖（一ｚ；））有一个最优解以及（Ｐ”）和（０７）的最优值相等，即∥（ＪＰ”）＝＂（＿Ｄ罗）注２．４．１广义Ｆｅｎｃｈｅｌ对偶问题（Ｄ笋），－－ｆＤＡ使用第三节中引入扰动函数的方法得到：垂ＰＬ：Ｘ×Ｘ×Ｘ一矗蚧水ｍ小＝｛“悯ｘ＋ｙＬ。ｘ＋＋。ｚ阮ＥＧ，￥ｘ戗Ｅｌ＋ｏｏ．Ｘ，ｚ＋ｏ仨“，￥∈＾．ｓｔｃｌｌａｌｗｐ（＠１６３．ｃｏｒｎ第１９页，共３５页毕业论文第二章无穷维空间中新的Ｆａｒｋａｓ型结果定理２．４．１假设ｒｉ（ｄｏｍｆ）ｎｒｉ（Ｇ）ｎｒｉ（Ｋ）≠０：下面两个结论等价：（ｉ）ｘ∈Ｋ，毋（ｚ）≤口０，、屹∈，：亭，（ｚ）≥０．（ｉｉ）存在ｚ；，ｚ；∈Ｘ＋，使得，＋（ｚ：＋ｚｉ）＋配（一墨）＋豫（一ｚ；）≤０．证明（ｉｉ）＝｝（｛）：令ｚ：，ｚ；∈Ｘ＋，使得广（ｚ；＋ｚ；）＋略（一舛）＋眩（一ｚ；）≤０．于是推得广义Ｆｅｎｃｈｅｌ对偶问题的最优值ｒ（Ｄ芦）大于或等于０，由弱对偶，原问题（尸。）的最优值ｖ（ｅ”）大于或等于０．因此，№∈Ｃ，（ｚ）≥０．即（ｉ）成立．（ｉ）寿（ｉｉ）：设（ｉ）成立，则”（Ｐ。）≥０．因为正则条件成立，Ⅳ是闭凸集，则妖是真ｄｈ－Ｆ半连续，定理２．２．３保证了（Ｄ罗）最优解（ｚ：，。；）的存在，使得ｖ（Ｐ。ｏ）＝一（，＋如＋６Ⅳ）’（ｏ）＝－Ｓ’（ｚ：＋ｚ；）一略（一ｚ；）一６玉（一Ｅ）＝ｕ（Ｄ罗）≥０因此，（ｉｉ）成立．注２．４，２（ｉｉ）辛（ｔ），条件ｒｉ（ｄｏｍＳ）ｎｒｉ（Ｇ）Ｏｒｉ（Ｋ）≠谚是不必要的．由定理２．４，１，我们得到一个“二选一”定理．一推论２．４．１设定理２．４．１中的正则条件成立．下面的不等式系统有解且不同时成立：（ｉ）Ｘ∈Ｋ鲰（ｚ）Ｓｏ０，Ⅵ∈Ｉ，ｆ（ｘ）＜０．（ｉｌ），’扛；＋ｚ；）＋培（一ｚ：）＋眩（一ｚ；）Ｓ０．Ｖ矿∈ｘ＋．定理２．４．２设ｈ：Ｘ一旯是真凸下半连续的．０ｈ（ｚ）≠０，比∈Ｃ，Ｃ∈ｒｉ（ｄｏｍｈ）．设ｒｉ（ｄｏｍＳ）ｎｒｉ（Ｇ）Ｉ＂１ｒｉ（Ｘ）≠０．则下面两个结论等价：Ｏ）ｚ∈Ｋ，肌（ｚ）≤口０，Ｖｉ∈Ｉ＝｝＾（ｚ）一，（ｚ）≤０，（ｉｉ）Ｖｚ’∈ｘ＋，使得，’（ｚ’＋ｚ；＋ｚ；）＋好（－ｘ＊１）＋眩（一ｚ；）≤，ｌ’（矿）．证明由文【９】定理２．３．４，有Ｖｘ∈ｅ＾（ｚ）＝ｄ（＾（ｚ））＝＾＋＋（ｚ）＝ｓｕｐｚ．Ｅｘ。｛（ｚ＋，ｚ）一＾＋（ｚ＋））．ｓｔｅｌｌａｌｗｐ＠１６３．ｃｏｎｌ第２０页，共３５页毕业论文第二章无穷维空间中新的Ｆａｒｋａｓ型结果则（ｉ）可写为Ｖｘ’∈ｘ’，Ｖｚ∈Ｃ，．ｒ（ｚ）一（Ｘ＋，ｚ）＋旷（ｒ）≥０由定理２．４．１，等价地可推得对任意矿∈Ｘ’，存在ｚ：，ｚ；∈Ｘ＋（甚至假设＾聿（矿）＝＋ｏｏ），使得ｓｕｐ。ＥＸ｛（ｚ；＋ｚ；，ｚ）一，（ｚ）一（Ｘ‘，ｚ）＋＾’（ｚ’），＋绉（一ｚ：）＋嚷（一ｚ；）Ｓ与０，‘（ｚ＋＋ｚ：＋ｚ；）＋蛄（一ｚ：）＋６玉（一ｚ；）≤ｈ＋（ｚ＋）等价■最后考虑与定理２．４．２相同假设的情况下，ｆ：Ｘ—Ｒ，，（ｚ）＝ｏ，Ｖｚ∈Ｘ．上面的定理可得如下结果：定理２．４．３设ｈ：Ｘ一旯是真凸下半连续的．ａｈ（ｘ）≠Ｏ，№∈Ｃ，ｃ∈ｒｉ（ｄｏｍｈ）．设ｒｉ（Ｇ）ｎｒｉ（＾，）≠０．则下面两个结论等价：（ｉ）ｚ∈Ｋ，吼（ｚ）ＳＱｏ，、以∈，＝争＾（。）≤０．（ｉｉ）对任意矿∈Ｘ。，存在Ｆ∈Ｘ‘，使得扩（矿）≥略（矿＋孟’）＋６／＜（矿）．ｓｔｃｌｌａ］ｗｐ＠１６３ｃｏｉｎ第２１页，共３５页毕业论文第三章非连续的广义拟变分不等式问题的解的存在性定理设Ｅ是实拓扑向量空间其共轭空间是Ｅ＋，ｘ∈Ｆ，ｘ≠Ｏ，Ｇ：Ｘ一２ｘ，Ｆ：ｘ一２Ｐ是两个多值函数．广义拟变分不等式ＧＱＶＩ（Ｘ，Ｆ，Ｇ）Ｕｐ：要找到（孟，函）∈Ｘ×Ｅ＋，使得牙∈Ｇ（牙），乒∈Ｆ（牙），（９，牙一Ｙ）≤０，坳∈Ｇ（牙）．１９９７年，Ｃｕｂｉｏｔｔｉ［３８］不假设函数Ｆ的连续性，在有限维空间中，分别在条件（ａ）和条件（ｂ）的情况下研究了广义拟变分不等式问题解的存在性．条件（ａ）：对任意Ｙ∈Ｘ，集合｛ｚ∈Ｘ：ｉｎ０∈Ｐ（。）（妒，ｚ一Ⅳ）≤ｏ）是闭的．条件（ｂ）：对任意Ｙ∈ａｆｆ（ｘ），集合｛ｚ∈Ｘ，ｉｎｆ，∈Ｆ（：）（妒，ｚ—Ｙ）Ｓ０）是闭的．Ｃｕｂｉｏｔｔｉ［４０】将Ｃｕｂｉｏｔｔｉ［３８］定理４．２在条件（ａ）的情况下的结果，由有限维延拓到无穷维赋范空间．本章利用Ｃｕｂｉｏｔｔｉ［４０１的方法，在无需假设函数Ｆ连续性的情况下将Ｃｕｂｉｏｔｔｉ［３８］定理４．２在条件（ｂ）的情况下的结果，由有限维延拓到无穷维空间，参见文献［４１１．３．１基本知识关于多值函数的基本结果，可以参考文献ｆ４２］．给Ｓ和ｙ是拓扑空间，圣：Ｓ一２ｙ是一个多值函数．称垂：Ｓ一２ｙ是在ＸＯ∈Ｘ下半连续的，若对任意开集Ｑ∈Ｖ，垂（ｚｏ）ｎＱ≠０，集合圣－（Ｑ）：＝｛ｚ∈Ｓ：垂（ｚ）ｎＱ≠０）是ｓ中的ｚｏ一个领域．称壬是在Ｘ０∈Ｘ上半连续的，若对任意开集Ｑ∈Ｖ，西（。ｏ）∈Ｑ，集合｛ｚ∈Ｓ：西（ｚ）∈ｎ｝是ｓ中ｚｏ的一个领域．称圣是在ｓ中下（上）半连续，若它在ｓ中的每一个点都是下（上）半连续的．垂的图像是集合｛（ｚ，Ｙ）∈ＳＸＶ：Ｙ∈垂（ｚ））．称垂有开下截口，若任意Ｙ∈Ｖ，集合圣一（｛９｝）在Ｓ中是开的．第２２页．共３５页第三章非迁纹的Ｊ“义拟变分４ｉ等式问题的解的有赴性定理容易得出，若垂有开＿卜．截口，则圣在Ｓ中是下半连续的．而且，若垂有开下截口．ＡＣＶ，则多值函数币Ａ：Ｓ一２”定义如下：圣＾（：ｒ）＝币（：ｃ）ｎＡ，它在ｓ中是下半连续的．以下用圣一（可）代替西一（｛可”．设（Ｅ，…ＩＥ）是实赋范空间．称多值函数西：Ｓ一２Ｅ是在。ｏ∈ＳＨａｕｓｄｏｒｆｆ下（上）半连续的，若任意ｅ＞０，存在Ｓ中一个ｚｏ的领域Ｕ，满足由（ｚｏ）∈垂（ｚ）＋Ｂ（０，Ｅ），Ｖｚ∈矿【中（ｚ）∈ｍ（ｚｏ）＋Ｂ（０，ｅ），Ｖｚ∈ｕＩ．这里Ｂ（Ｏ，ｅ）表示Ｅ中以原点为心，半径为Ｅ的开球．称垂在Ｓ中是Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ下（上）半连续，若垂在Ｓ中的每一个点ｚ都是Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ下（上）半连续的．称中是Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ连续的，若垂既是Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ下半连续又是Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ上半连续．容易得出Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ下半连续蕴涵着下半连续。上半连续蕴涵着Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ上半连续，参见文献【４２】【４３】）．若垂（ｚ）是非空紧值的，则上述反过来的情况也真，参见文献ｆ４２１的定理７．１．１４．若Ａ．Ｂ∈Ｅ非空，ｚ∈Ｅ，ｒ＞０，Ｂ（ｘ．ｒ）：＝ｔ“∈Ｅ：０Ⅱ一ｘｌｌＥ＜ｒ）Ｂ（ｘ．ｒ）：＝｛“∈Ｅ：Ｉｌｕ—ｚ０Ｅｄ（．ｔ．疗）：＝ｉｎｆ。ｅＢＩＩｘ一“Ｊ｜Ｅｄ’（Ａ，Ｂ）：＝ｓｕｐｖ∈Ａｄ（ｖ．Ｂ）Ｂ（．４，ｒ）：＝｛“∈Ｅ：ｄ（“，Ａ）＜ｒ）Ｂ（。４，ｒ）：＝｛“∈Ｅ：ｄ（ｕ，Ａ）≤ｒ）用ａｆｌ＇（Ａ）来表示』４的仿射包，定义如下Ｓｒ）ａ仃（．４）＝｛∑Ａ，ｚ；：礼∈Ｎ，ｚｉ∈Ａ，Ａｉ∈兄，∑Ａｉ＝１）若．４∈Ｍ∈Ｅ，用ｉｎｔＭ（Ａ）表示Ａ关于＾，的内部．若非空凸集Ａ∈兄“，则ｉｎｔａｆｆ（』，Ａ≠０．集ｙ∈Ｅ称仿射流形，若存在ｚ∈Ｅ，Ｅ的线性子空间丁，满足Ｖ＝ｆ＋Ｔ．若Ａ∈Ｅ，则撕（Ａ）是包含Ａ的最小的仿射流形．命题３．１．１【４２】．设（Ｅ，¨ｔＩｌＥ）是一个实的赋范空间，ｘ∈Ｅ，Ｘ≠０，西：Ｘ一２Ｆ是一个非空值的多值函数，ｚｏ∈Ｘ，则垂是在。ｏＨａｕｓｄｏｒｆｆ下（上，ｓｔｃｌｌａｌｗｐｎｌ６３ｃｏｉｎ第２３页，共３５页毕业论文第三章非连续的广义拟变分不等式问题的解的存在性定理半连续当且仅当对ｘ中收敛于ｚｏ的任意一个序列｛ｚ。｝，有ｌｉｒａ矿（圣（ｚｏ），西（ｚ。））＝０．【ｌｉｍｄ．（垂（ｚ。），西（如））＝０１．命题３．１．２【３９】．设（Ｅ，”ｌＩＥ）是一个实的赋范空间，ｘ∈Ｅ，ｘ≠口，垂：Ｘ一２Ｅ是一个非空值的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ下半连续的多值函数，盯＞０，则多值函数ｚ∈Ｘ一且（西（ｚ），仃）∈Ｅ有开下截口．口＞０，则Ｂ（Ａ，口）和Ｂ（Ａ，口）都是凸的，且Ｂ（Ａ，口）＝百丽．数ｚ∈Ｘ一雪（垂（ｚ），口）∈Ｅ在Ｘ×Ｅ中有闭图像．命题３．１．５命题３．１．３【３９】．设（Ｅ，¨．怯）是一个实的赋范空间，Ａ￡Ｅ，Ａ是非空凸的命题３．１．４【４０】．设（Ｅ，０·ＩＩＦ）是一个实的赋范空间，ｘ￡Ｅ，Ｘ≠Ｏ，垂：Ｘ一２２是一个非空值的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ上半连续的多值函数，口＞０，则多值函ｆ３９】．设ｓ是一个拓扑空间，（Ｅ．”陆）是一个实的赋范空间．ｙ是Ｅ的仿射流形，垂：Ｓ一２”是一个具有非空闭凸值的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ下半连续的多值函数：给ｉ∈ｓ，口∈ｉｎ沁睁（ｉ）），则存在ｓ中ｉ的一个领域Ｕ，满足雪∈ｉｎｔｖ（Ａ。∈【，圣（ｓ））．３．２广义拟变分不等式问题的解的存在性定理３．２．１设（Ｅ，”ＩＩ￡）是一个实的赋范空间．ｘ是Ｅ闭凸的子集．Ｇ：Ｘ一２ｘ，Ｆ：Ｘ一２Ｐ是两个多值函数．Ｋｌ，鲍是ｘ的两个非空紧子集，满足虬∈恐，Ｋｌ是有限维的，ｒ＞０，假设：（１）对任意ｚ∈Ｘ，集合Ｆ（ｚ）是非空１０’．紧的；对任意ｚ∈ｘ，当ｄ（ｘ，Ｇ（。））＜ｒ时，集合Ｆ（ｘ）是凸的；（２）对任意Ｙ∈ａｆｆ（ｘ）．集合｛ｚ∈ｘ：ｉｎｆｐ∈Ｆ（耐（‰ｚ—Ｙ）≤ｏ）是闭的；（３）Ｇ是具有非空闭凸值的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ连续的多值函数；（４）对任意ｚ∈Ｘ，ａ（ｘ）ＡＫｌ≠Ｏ；（５）对任意ｚ∈／（２，当ｄ（ｚ，Ｇ（ｚ））＜ｒ时，有ｉｎｔ。ａ（ｘ）Ｇ（ｘ）≠Ｏ；ｓｔｃｌｌａｌｗｐ（＠１６３，ｃｏｍ第２４页．共３５页毕业论文第三鲞非迕续的广义拟变分不等式问题的解的存在性定删（６）对任意￡∈Ｘ＼Ｋ２，ｄ（ｘ，Ｇ（ｚ））＜ｒ，对任意＿，，∈ｗＣｘ），有ｓｕｐ蚱Ｇ拉）ｎＫｌ和，．ｒ—Ｙ）＞０，则存在（牙．乒）∈Ｋ２×Ｅ‘，它是问题ａＱｖｉ（ｘ，Ｇ，Ｆ）的解．证明｛ｒ。）是～递减的正实数序列，满足Ｆ１＜ｒ，ｌｉｍ．％＝０．（３－１）固定ｎ∈Ｎ，多值函数（ｋ：Ｘ一２Ｅ定义如下：Ｇ。（ｚ）：＝ＢＣａ（ｚ），ｈ），Ｖｚ∈ｘ．由假设（３），命题３．１．２和命题３．１．３得，多值函数Ｇｋ有开下截口和非空凸值．ｒ是包含Ⅳ－的Ｅ所有有限维线性子空间的族．固定Ｓ∈ｒ，多值函数Ｇ：：ｘｎｓ＿２ＸｎＳ定义如下：碟（ｚ）＝Ｇ。（ｚ）ｎ．ｘｎｓ函数Ｊ：Ｅ’一Ｐ定义如下：（‘，（妒），札）：＝（妒，“），Ｖ妒∈Ｅ‘，“∈曼函数尹：ＸｎＳ一２ｒ定义如下：Ｆ（ｘ）：＝Ｊ（Ｆ（ｚ）），、，ｚ∈ｘｎｓ得到下面的结果：（Ⅱ）ＸｎＳ包含Ⅳ１，所以它是非空闭凸的．由命题３．１．３和命题３．１．４得，多值函数ｚ∈Ｘ＿丽＝雪（Ｇ（ｚ），％）∈Ｅ具有闭图像和凸值．由此得，Ｇ：也是具有闭图像和凸值的，且对任意ｚ∈Ｘ，由假设（４）．有（ｂ）Ｇ：：ｘｎＳ一２ｘｍ是具有闭图像和非空凸值的下半连续多值函数．Ｇ（ｚ）ｎｘｎｓ２ａ（ｚ）ｎＫｌ≠０．因此，对任意ｚ∈ｘ固定ｒ∈Ｘ．有ｎＳ，Ｇ：是非空的．下面证明，Ｇ：是在ｘｎｓ下半连续的，事实上．选择丽ｎｘｎｓ￡石ｉ石了Ｆｌ丽．（３－２）Ｙ∈丽ｎｘｎＳ．第２５页，共３５页由假设（４）知，存在ｕ∈ａ（ｚ）ｎＫｌ∈ａ（ｘ）ｎｘｎＳ，有１‘∈ｉｎｔＦａ．（ｘ）．ｓｔｅｌｌａｌｗｐ＠１６３．ｃｏｉｎ毕业论文第三章非迕续的广义拟变分Ｈｉ等式问题的解的存在性定删若ｕ＝Ｙ，则Ｙ∈ａ（ｘ）ｆ－ＩＸｎＳ∈ａ（ｘ）ｎ．ｘｎＳ．若¨≠Ｙ，由文【４４】中的定理１．１０（ｂ），有】“，掣ｆ：＝｛Ａ“＋（１一Ａ）ｙ：Ａｅ］ｏ，１【）∈Ｇ。（ｚ）由凸性，得１口，爹【∈Ｇ。（ｚ）ｎＸｎＳ，有Ｙ∈Ｇ。（ｚ）ｎＸｎＳ．因此，（３－２）式成立．因相反的包含关系成立，有Ｇ。（ｚ）ｎｘｎＳ＝Ｇ。（ｚ）ｎ．ＹｎＳ，Ｖｚ∈ｘ．续．（３－３）因多值函数Ｇ，ｎ有开下截口，多值函数ｚ∈Ｘ—Ｇ。（ｚ）ｎＸｎＳ在Ｘ中下半连由文【４２】命题７．３．３知，多值函数ｚ∈Ｘ—Ｇ＿（ｚ）ｎｘｎｓ在ｘ中下半连续．再由（３．３）式，多值函数Ｇ：在ｘｎｓ中是下半连续．（ｃ）对任意ｚ∈ＸｎＳ，ａｆｆ（Ｇ：（ｚ））＝ａｆｆ（Ｘｎｓ）．固定ｚ∈ＸｎＳ，因Ｇｋ（ｚ）ｎｓ在ｓ中是开的．由假设（４）得，（Ｇ。（ｚ））ｎｓ）ｎ（ｘｎＳ）≠Ｏ．由【３８】命题２．１，有则ａｆｆ（ａ。（ｚ））ｎＸｎＳ）＝ａｆｒ（Ｘｎｓ）．ｎｓ），ａｆｆ（ＸｎＳ）＝ａｆｆ（Ｇ。（ｚ））ｆ＂ｌＸｎＳ）≤ａ抒（Ｇ：（ｚ））∈ａｆｆ（Ｘｎｓ）．因此撕（Ｇ：（∞）＝ａｆｆ（Ｘ（ｄ）对任意ｚ∈ＸｎＳ，集合Ｐ（ｘ）是非空紧值的；对任意ｚ∈ｘｎＳ，ｚ∈Ｇ：（ｚ）集合Ｆ（ｚ）是凸的．直接由假设（１）和Ｐ的定义，若ｚ∈Ｇ：（ｚ），则ｄ（ｚ，Ｇ（ｚ））≤ｒｎ＜ｒ．（ｅ）对任意Ｙ∈ａｆｆ（Ｘｎｓ），集合｛。∈ＸｎＳ：ｉｎｆ西Ｐ（：）《９，ｚ—Ｙ）≤ｏ）是闭的．事实上，由假设（２）知，｛ｚ∈Ｘｉｎｆｐ∈，扛）（仍ｚ—Ｙ）≤ｏ）是闭的．ｎＳ：ｉｎｂ∈户《。）◇，￡一Ｙ）≤ｏ｝＝扛∈ＸｎＳ：（，）集合＾，２ｎｓ是紧的，对任意ｚ乏Ｘ（ｇ）对任意。∈（ＸｎＳ，碟（ｚ）ｎ（ｊ幻ｎＳ）≠Ｏ．对任意ｚ∈ｘｎＳ，由假设（４）知，Ｇ：（ｚ）ｎ（Ｋ２ｎｓ）２ａ（ｘ）ｎＫｌ≠ｇ．ｎＳ）＼（鲍ｎｓ），ｚ∈Ｇ：（ｚ），任意≯∈户（ｚ），存在Ⅳ∈碟（。）ｎ（鲍ｎＳ）＝碟（。）ｎ鲍，满足（９，ｚ一，）＞０．ｓｔｃｌｌａｌｗｐ＠１６３，ＣＯｎｌ第２６页．共３５页毕业论文第三章非连续的Ｊ‘义拟垒分小等式『ａｊ题的解的存在性定理对任意∞∈（ＸｎＳ）＼（Ｋ２ｎＳ），ｚ∈Ｇ：（ｚ），固定庐∈户（ｚ），有ｚ∈（ＸｎＳ）＼Ｋ２．事实上，若ｚ∈Ｋ２，因ｚ∈Ｓ，有：ｃ∈％ｎＳ与ｚ∈（ｘｎＳ）＼（％ｎＳ）矛盾．此外，有ｄ（ｘ，Ｇ（ｚ））≤Ｉ＂ｎ＜ｒ．令妒∈Ｆ（ｚ）且满足驴＝Ｊ（妒）．由假设（６）知，存在Ｙ∈Ｇ（ｚ）ｎＫｌ∈ｃ噜（司ｎ，已，满足当然，由ｚ，Ｙ∈Ｓ，蕴涵（妒，ｚ—ｇ）＞０．（驴，ｚ一可）＞０，再电文【３８ｌ中定理４．２，存在ｚｓ∈ＸｎＳ，西∈户（ｚｓ），满足ｚｓ∈Ｇ：（ｚｓ）．（≯ｓ，ｚｓ—Ｙ）≤ｏ，Ｖ可∈Ｇ害（ｚｓ）．让ｐｓ∈Ｆ（ｘｓ）满足西＝Ｊ（蛐），由（３－４）式，有ｄ（ｘｓ，Ｇ（ｚｓ））ｓｒｎ，（妒ｓ，ｚｓ—Ｙ）ｓ０，Ｖｙ∈Ｇ：（ｚｓ）．（３－５）（３＿４）所以，对固定的Ｓ∈Ｆ，找到了ｚｓ∈ｘｎｓ，似∈Ｆ（ｚｓ）满足（３－５）式．由假设（６），有对任意ｓ∈Ｆ，ｚｓ∈鲍．现在：考虑网｛ｚｓ）ｓｍ这里ｒ是由寻常集合包含关系“∈”所定义的序．（６）中提到，多值函数ｚ∈Ｘ一丽在ＸｚｓＥ因如是紧的，网｛Ｔｓ＇ｓ∈ｒ有一个聚点矗∈Ｋ２（固定ｎ∈Ⅳ）．在结论ｘ晶有闭图像．对任意Ｓ∈ｒ，（３－６）Ｇ‰（ｚｓ），得靠∈Ｇ。（磊）有ｄ（牙。，Ｇ（ｉ。））≤ｒ。．令Ｍ：＝艇（Ｘ）．由（３－６）式和假设（５），有ｉｎｔＭ（Ｇ（２。））≠Ｏ．于是可得（３＿７）ｉｎｆＰ∈Ｆｉ－＊。）（妒，牙。一９）≤０．Ｖｙ∈ｉｎｔＭ（ａ（孟。）），用反证法证明：设存在ｉ∈ｉｎｔＭ（Ｃ（ｉ：。））满足ｉｎｆ，ａｃＦ（ｆ．Ｉ（“厶一动＞０，由命题３，１．５，存在盯＞０．满足雾∈ｉｎｔＭ（Ｎ。∈口（王。，，）ｎｘＧ（ｚ））．通过（３－８）式和假设（２）知，存在６ｅ］ｏ．口【，满足（３－８）（３－９）口（岳ｎ，ｃｒ）ｎｘ∈｛ｚ∈Ｘ：ｉｎｆｐ∈，仁Ｊ（妒，王一雪）＞ｏ｝．（３－１０）令Ｓ１∈Ｆ满足ｉ∈ｓ１，令ｓ２∈Ｆ满足＆∈岛，￥岛∈口（牙。，矿）．由（３．９）式，有ｓｔｃＵａｌｗｐ＠１６３，ｔｏｍ９∈ａ（ｚｓ，）ｎ岛∈Ｇ争（。＆）．第２７页，共３５页毕业论文第三章非连续的广义拟变分不等式问题的解的存在性定理由浯５）式可得（妒函，。岛一口）冬０．（３－１１）然而，由（３－１０）式有ｉｎｆ９ｅＦ（ＺＳ２））（妒，。岛一雪）＞０．因此，（妒＆，ＸＳ．ｚ一百）＞０．这与（３－１１）式矛盾．因此，（３－７）式成立．前面已经证明了，对任意佗∈Ｎ，存在孟。∈Ｋ２满足（３－６）式和（孓７）式，现在，考虑序列｛孟。）．因鲍是紧的，存在子序列仍记为％收敛于一点牙∈尬，Ｖｎ∈Ｎ，ｄ（王。，Ｇ（牙））≤ｄ（孟。，Ｇ（孟。））＋ｄ’（Ｇ（孟。），Ｇ（牙））≤ｒｎ＋ｄ＋（Ｇ（牙。），Ｇ（孟））．由ｐ１）式，假设（３）和命题３．１．１，因函数ｄ（·，Ｇ（ｚ））是连续的，得ｄ（ｚ，Ｇ（孟））Ｓ０．由Ｇ（牙）是闭的，得孟∈Ｇ（孟），通过假设（５），有ｉｎｔＭ（Ｇ（ｉ））≠Ｏ．则ｉｎｆ妒∈Ｐ（ｉ）（妒，牙一Ｙ）≤０，Ｖｙ∈ｉｎｔ＾ｆ（Ｇ（牙））．（３－１２）用反证法证明：设存在雪∈ｉｎｔＭ（Ｃ（牙））满足ｉｎｆｐｅＰ（动（妒，孟一雪）＞０．（３－１３）通过命题３．１．５，存在（＞０，满足雪∈ｉｎｔＭ（Ｎ：∈Ｂ忙，。）ｎｘＧ（ｚ））．（３－１４）由（３－１３）式和假设（２）知，存在Ｅ‘Ｅ］ｏ，Ｅ【满足Ｂ（牙，，）ｎｘ∈｛ｚ∈ｘ：ｉｎｆ妒∈Ｆ（。）（＿Ｐ，ｚ一哥））．（３－１５）选择矿∈Ｎ，满足ｌｌ孟。。一划＜ｆ．由（３－１４）式，得雪∈ｉｎｔＭ（Ｇ（孟。．）），因此，由洚７）式，有ｉｎｆｐ∈Ｆ（ｉ。．）（讧孟。·一哥）≤０．然而，由（３－１５）式，有ｉｎｆｐ∈Ｐ（ｉ。．）（纪牙。．一口）＞０．矛盾．所以，（３－１２）式成立．已经找到一点ｉ∈Ｋ２满足量∈Ｇ（牙），ｓｕｐｕｃｉｎｔＭＧ（ｉ）ｉｎｆ妒∈Ｆ忙）（妒，孟一Ｙ）≤０ｔ由文【４５】中的定理５，假设（１）和假设（３），存在９∈Ｆ（孟）满足ｓｕｐ，ｅｉｎｔ村（Ｇ扣））（９，牙一掣）＝ｉｎｆ妒ｅｇ（ｓ）ｓｕＰｙＥｉｎｔＭ（Ｇ（。））（妒，孟一Ｙ）＝ｓｕｐｙ∈ｉｎｔ村（Ｇ扛））ｉｎｆｐ∈尸忙）（妒，孟一Ｙ）≤０．这蕴涵着ｓｕｐ，ｅＧ（。）妇，孟一Ⅳ）≤０．■ｓｔｅＵａｌｗｐ（氆１６３．ｃｏｒｉｌ第２８页，共３５页毕业论文参考文献【１】ＤｉｎｇＸｉｅ－ｐｉｎｇＮａｔｕｒａｌＭａｘｉｍａｌｅｌｅｍｅｎｔｓｏｆＧＦ－ｍａｊｏｒｉｚｅｄｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅｓａｎｄｅｑｕｉ—ｏｎｌｉｂｒｉａｏｆａｂｓｔｒａｃｔｅｃｏｎｏｍｄｉｅｓＧ—ｃｏｎｗｅｘｓｐａｃｅｓ［Ｊ］．ＪＳｉｃｈｕａｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖ：Ｓｃｉｅｎｃｅ，２００３．２６（６）：５５５－５６５．ｐｒｏｂｌｅｍｓｗｉｔｈａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｔｏｉｎｆｉｎｉｔｅｏｐｔＮＳｉｃｈｕａｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖ：ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ，【２】ＤｉｎｇＸｉｅ－ｐｉｎｇ．Ｑｕａｓｉ·ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｍｉｚａｔｉｏｎａｎｄｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄｇａｍｅｓ旧．Ｊ２０００，２３（１）：１－６．【３】ＷａｎｇＸｉｎ－ｇｕｏ．Ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｆｏｒｇｅｎｅｒａｆｉｚｅｄｗｉｔｈ（ｐ’ｒ）一Ｉｎｖｅｘｉｔｙ［Ｊ］．Ｊ６６－６９．ｆｒａｃｔｉｏｎａｌｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇＳｉｃｈｕａｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖ：ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ，２００５，２８（１）：【４ＪＧｏｗｄａＭ．Ｓ．，ＴｅｂｏｕｌｌｅＭ．Ａｃｏｍｐａｒｉｓｉｏｎｏｆｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｑｕａｌｉｆｉｃａｔｉｏｎｓｉｎｉｎｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｃｏｎｖｅｘｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｊ］．ＳＩＡＭＪ，ＣｏｎｔｒｏｌａｎｄＯｐｔｉｍｉｚａ－ｔｉｏｎ，１９９０．２８：９２５－９３５．【５】ＭａｕｒｅｒＨ．，ＺｏｗｅＪ．Ｆｉｒｓｔａｎｄｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒｎｅｃｅｓｓａｒｙａｎｄｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｏｐｔｉｍａｌｉｔｙｉｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｉｎｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，１９７９．１６：９８－１１０．【６】ＰａｎｇＪ．Ｓ．Ｅｒｒｏｒｂｏｕｎｄｓｉｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｊ］．Ｍａｔｈ．Ｐｒｏｇｒａｍ－ｍｉｎｇ，１９９７，７９：２９９—３３２．［７】ＲｏｃｋａｆｅｌｌａｒＰｒｅ镕．１９了０．Ｒ．Ｔ．ＣｏｎｖｅｘＡｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ］．ＰｒｉｎｃｅｔｏｎＮＪ：ＰｒｉｎｃｅｔｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ【８】Ｂｏｎｎａｎｓ２０００．Ｊ．Ｆ．，ＳｈａｐｉｒｏＡ．ＰｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＰｒｏｂ－ｉｎＯｐｅｒａｔｉｏｎｓＲｅｓｅａｒｃｈ．ＮｅｗＹｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，ｌｅｍｓ［Ｍ１．ＳｐｒｉｎｇｅｒＳｅｒｉｅｓ第２９页．共３５页参考文献９】ＺａｌｉｎｅｓｃｕＣ．ＣｏｎｖｅｘＡｎａｌｙｓｉｓｉｎＧｅｎｅｒａＶｅｃｔｏｒＳｐａｃｅｓ［Ｍ］．Ｓｉｎｇａｐｏｒｅ：ＷｏｒｌｄＳｃｉｅｎｉｆｉｃＰｕｌｉｓｈｉｎｇ，２００２．ｆ１０ｌＢａｒｂｕＶ．，ＰｒｅｃｕｐａｎｕＴ．ＣｏｎｖｅｘｉｔｙａｎｄＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｉｎＢａｎａｃｈＳｏｅｉａｌｉｓｔｅＳｐａｃｅｓ［Ｍ］．Ｂｕｃｕｒｅｓｔｉ，Ｒｏｍｈｎｉａ：ＥｄｉｔｕｒａＲｏｍａｎｉａ，１９７８．ＡｃａｄｅｍｉｅｉＲｅｐｕｂｌｉｃｉｉ【１１】ＲｏｃｋａｆｅｌｌａｒＲ．Ｔ．，ＷｅｔｓＶｅｒｌａｇ，１９９８．Ｒ．Ｊ．Ｂ．ＶａｒｉａｔｉｏｎａｌＡｎａｌｙｓｉｓｉＭ］．Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｆｉｎｇｅｒ＿ｆ１２】ＨｅＹｉ－ｒａｎ，ＳｕｎＪｉｅ．ＡｗｅａｋｅｒｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｑｕａｌｉｆｉｃａｔｉｏｎａｎｄａｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｎｅｃｅｓｓａｒｙｏｐｔｉｍａｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｆｏｒｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｉｎｇａｐｏｒｅ：Ｔｅｃｈｎｉｃａｌｒｅｐｏｒｔ，２００６．ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｊ］．Ｎａｔｉｏｎａｌ【１３】刘小兰，何诣然．Ｂａｎａｃｈ空间中数学规划问题的二阶最优性条件【Ｊ】，四Ｊ师范大学学报（自然科学版），２００６，２９（６）：６４４－６４７．１１４】ＦａｒｋａｓＪ．ＴｈｅｏｒｉｅｄｅｒｅｉｎｆａｃｈｅｎＵｎｇｌｅｉｃｈｕｎｇｅｎ［Ｊ］．Ｊ．Ｒｅｉｎｅ．ＡｎｇｅｗＭａｔｈ．，１９０１，１２４：１－２７．１５ｊＧｌｏｖｅｒＢ．Ｍ．，ＪｅｙａｋｕｍａｒＶ．ａｎｄＯｅｔｔｌｉｓｕｂｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓＷ．ＡＦａｒｋａｓｌｅｍｍａｆｏｒｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅａｎｄｑｕａｓｉｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｌｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｊ］．Ｍａｔｈ．Ｐｒｏｇｒａｍ－ｍｉｎｇ，１９９４，６３：１０９１２５．【ｌ６】Ｇｗｉｎｎｅｒ４７１—５２０．Ｊ．ＲｅｓｕｌｔｓｏｆＦａｒｋａｓｔｙｐｅ［Ｍ］．Ｎｔｍａｅｒ．Ｆｕｎｔ．Ａｎａｌ．Ｏｐｔｉｍ．，１９８７９：ｆ１７］ＧｗｉｎｎｅｒＪ．ＣｏｒｒｉｇｅｎｄｕｍａｎｄＡｄｄｅｎｄｕｍｔｏ“ＲｅｓｕｌｔｓｏｆＦａｒｋａｓｂｐｅ”【ＭｌＮｕｍｅｒ．Ｆｕｎｔ．Ａｎａｌ．Ｏｐｔｉｍ．，１９８９，１０：４１５－４１８．【１８］Ｈａ．Ｃ．Ｗ．Ｏｎｓｙｓｔｅｍｓ６８：２５－３４．ｏｆＣＯｎＶｅＸｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ［Ｊ］．Ｊ．Ｍａｔｈ．Ａｎａｌ．Ａｐｐｌ．，１９７９ｓｔｅｌｌａｌｗｐ（．＠１６３．ｃｏｉｎ第３０页，共３５页毕业论文参考文献【１０］Ｊｅｙａｋｕｍａｒ９４７－９５９．Ｖ，Ｃｈａｒａｃｔｅｒｅｒｉｚｉｎｇｓｅｔｃｏｎｔａｉｎｍｅｎｔｓｉｎｖｏｌｖｉｎｇｉｎｆｉｎｉｔｅｒｅｖｅｒｓｅ—ｃｏｎｖｅｘｃｏｎｖｅｘｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓａｎｄｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ｛Ｊ］．ＳＩＡＭ．Ｊ．Ｏｐｔｉｍ．，２００３：１３（４）：【２０ｊＢｏｔＲＩ，Ｗａｎｋａ．Ｇ．Ｆａｒｋａｓ－ｔｙｐｅｒｅｓｕｌｔｓｗｉｔｈｃｏｎｊｕｇａｔｅｆｕｎｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＳＩＡＭＪ．Ｏｐｔｉｍ，，２００５，１５（２）：５４０－５５４．１２１】刘小兰，何诣然，周密．广义凸优化问题的Ｆｅｎｃｈｅｌ－Ｌａｇｒａｎｇｅ对偶［Ｊ１．四Ｊ师范大学学报（自然科学版），已接收．【２２】周密，何诣然，刘小兰．无穷维空间中新的Ｆａｋａｓ型结果【Ｊ１．待投稿【２３】ＪｅｙａｋｕｍａｒＶ．，ＷｏｌｋｏｗｉｃｚＨｅｎｒｙ．ＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｏｆｃａｔｉｏｎｆｏｒｉｎｆｉｎｉｔｅｃｏｎｖｅｘＳｌａｔｅｒ’Ｓｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓｑｕａｌｉｆｉ－ｐｒｏｇｒｅｓｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈ．Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，１９９２，５７：８５－１０１．ｄｕａｌｉｔｙｉｎｉｎｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｓｅｔｔｉｎｇａｎｄ【２４】ＮｇｉｔｓＫｕｎｇＦｕ，ＳｏｎｇＷｅｎ．Ｆｅｎｃｈｅｌａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ｛Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎ．Ａｎａｌ，２００２，８５：８４５－８５８．Ｉ．，Ｔｅｍａｍ．Ｒ．ＣｏｎｖｅｘＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＶａｒｉａｔｉｏｎａｌ【２．５】ＥｋｅｌａｎｄＰｒｏｂｌｅｍｓ［Ｍ】Ｎｏｒｔｈ—Ｈｏｌｌａｎｄ，Ａｍｓｔｅｒｄａｍ，１９７６．【２６】ＨａｒｔｍａｎＰ－，ＳｔａｍｐａｃｃｈｉａＧ．Ｏｎｓｏｍｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｌｌｉｐｔｉｃｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａ－ｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｃｔａ．Ｍａｔｈ一１９６６，１１５：２７１．３１０．［２７】ＢｒｏｗｄｅｒＦ．ＥＡｎｅｗｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＳｃｈａｕｄｅｒｆｉｘｅｄｐｏｉｎｔｔｈｅｏｒｅｍ［Ｊ】Ｍａｔｈ．Ａｎｎ．，１９６７，１７４：２８５－２９０．【２８１ＢｒｏｗｄｅｒＦ，Ｅ．ＮｏｎｌｉｎｅａｒｍｏｎｏｔｏｎｅｏｐｅｒａｔｏｒｓａｎｄｃｏｎｖｅｘｓｅｔｓｉｎＢａｎａｃｈｓｐａｃｅｓ｛Ｊ］Ｂｕｌｌ．Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．Ｓｏｃ．，１９６５，７１：７８０－７８５．ｆ２９ＪＢｒｏｗｄｅｒＦ，Ｅ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅａｎｄａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｏｆａｔｉｏｎａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｖａｒｉ－ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ｛Ｊ］．Ｐｒｏ．Ｎａｔｌ．Ｓｃｉ．ＵＳＡ．，１９６６，５６：１０８０．１０８６．Ｊ．Ｌ，，ＳｔａｍｐａｃｃｈｉａＧ．Ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ【３０】Ｌｉｏｎｓｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ｛Ｊ］．Ｃｏｍｍｕ．Ｐｕｒｅ．Ａｐｐｌ．Ｍａｔｈ．：１９６７，２０：４９３－５１９．ｓｔｅｌｌａｌｗｐ９１６３ｔ－ｏｍ第３Ｉ页，共３５页毕业论文——篓查苎堕ｆ３１】ＬｉｏｎｓＪ．Ｌ．ＯｐｔｉｍａｌＣｏｎｔｒｏｌｏｆＳｙｓｔｅｍｓＧｏｖｅｒｎｅｄｂｙＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，Ｂｅｒｌｉｎ，１９７１．｛３２】ＢｅｎｓｏｕｓｓａｎＡ．，ＬｉｏｎｓＪ．Ｌ．ＮｏｕｖｅｌｌｅｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎｄｅｐｒｏｂｌｅⅡ１ｓｄｅｃｏｎｔｒｏＩｅｉｍｐｕｌｓｉｏｎｎｅｌｅｔａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ１．Ｃ，Ｒ．Ａｅ．Ｓｅｉ．Ｐａｒｉｓ．１９７３，２７６：１１８９－１１９２．【３３］ＢｅｎｓｏｕｓｓａａＡ．，ＬｉｏｎｓＪ．Ｌ，Ｃｏｎｔｒｏｌｅｉｍｐｕｌｓｉｏｎｎｅｌｅｔｉｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｑｕａｓｉｖｑｒｉ．ａｔｉｏｎｎｅｌｌｅｓｓｔａｔｉｏｎｎａｉｒｅｓ［Ｊ］．Ｃ．Ｒ．Ａｅ．Ｓｅｉ．Ｐａｒｉｓ，１９７３．２７６：１２８９．１２８４．［３４１ＢａｉｏｃｃｈｉＣ．，ＣａｐｅｌｏＡ．ＶａｒｉａｔｉｏｎａｌＩｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓａｎｄＱｕａｓｉｖａＴｉａｔｉｏｎａｌＩｎ－ｅｑｕｌｉｔｉｅｓｆＭＪ．ＡＷｉｌｅｙ－ＩｎｔｅｒｓｃｉｅｎｃｅＰｕｂｌｉｃａｔｉｏｎ，ＮｅｗＹｏｒｋ．１９８４．ＣｈａｎＤ·，ＰａｎｇＪ．Ｓ．Ｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｑｕａｓｉｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓｏｆＯｐｅｒａｔｉｏｎｓＲｅｓｅａｒｃｈ，１９８２，７：２１１—２２２．Ｍ·Ｈ·，Ｔａｎ．Ｋ．Ｋ，Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｑｕａｓｉｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｉｎｌｏｃａｌｌｙｃｏｎｖｅｘｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，１９８５，１０８：３３２－３４３．ＹａｏＪ．Ｃ．，ＧｕｏＪ．Ｓ．Ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌａｎｄｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｉｎｅｑｕａｌｉｔｉ∞ｗｉｔｈｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｍａｐｐｉｎｇｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｌｌａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＡｐ－ｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，１９９４，１８２：３７１．３９２，Ｃｕｂｉ。ｔｔｉＰ－Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｖａｒｉａｔｉ。ｎａｌｉｎｃｑｕａｌｉｔｉ“ｗｉｔｈｏｕｔｃｏｎｔｉｎｕｉｔｉｅｓｉＪ］，ＪｏｕｒｎａｌｏｆＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＴｈｅｏｒｙａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｊ１９９７，９２：４７７－４９５．ＣｕｂｉｏｔｔｉＰＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｑｕａｓｉｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｉｎｉｎｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｎａｌｎｏｒｍｅｄｓｐａｃｅｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＴｈｅｏＤ＂ａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，１９９７．９２：４５７．４７５．ＣｕｂｉｏｔｔｉＰＯｎｔｈｅｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｉｎｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｑｕａｓｉｖａｒｉ．ａｔｉｏｎａｌｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ１．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＴｈｅｏｒｙａｎｄＡｐｐｈｃａ－ｔｉｏｎｓ，２００２，１１５（１）：９７－１１１．第３２页，共３５页毕业论文［３５１［３６】Ｓｈｉｎ［３７１［３８１ｉ３９１［４０１ｓｔｅｌｌａｌｗｐ毽１６３．ｃｏｉｎ参考文献４１】刘小兰，何诣然．非连续的广义拟变分不等式问题的存在性定理【Ｊ］．四Ｊ师范大学学报（自然科学版），２００７，３０（１）：２２－２６．［４２】ＫｌｅｉｎＥ，，ＴｈｏｍｐｓｏｎＡ．Ｃ．ＴｈｅｏｒｙｏｆＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅｓ［Ｍ］．ＪｏｈｎＷｉｌｅｙａｎｄＳｏｒＬｓ，ＮｅｗＹｏｒｋ，ＮＹ，１９８４．【４３】Ｓｐａｋｏｗｓｋｉ，Ａ．Ｏｎｔｉｏｎｅｓａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｂｙｓｔｅｐｍｕｌｔｉｆｕｎｃｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｍｅｎｔａ－Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｅ，１９８５，２５：３６１－３７１．Ｆ．Ａ．Ｃｏｎｖｅｘ４４】Ｖａｌｅｎｔｉｎｅ４５１Ｓｅｔｓ［Ｍ］．Ｍｃｇｒａｗ－Ｈｉｌｌ，ＮｅｗＹｏｒｋ，ＮＹ，１９６４ＡｕｂｉｎＪ．ＰＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＭｅｔｈｏｄｓｏｆＧａｍｅａｎｄＥｃｏｎｏｍｉｃＴｈｅｏｒｙ［Ｍ】Ｎｏｒｔｈ－Ｈｏｌｌａｎｄ，Ａｍｓｔｅｒｄａｍ，Ｈｏｌｌａｎｄ，１９７９．４６１ＭａｒａｎｏＳ．Ａ．Ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙｏｆｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｉｎｃｌｕｓｉｏｎｓｄｅｐｅｎｄｉｎｇｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒａｎｄｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ—ｐａｒａｍｅｔｅｒｃｏｎｔｒｏｌ１９９０，４５：２８３－３００．ａｐｒｏｃｅｓｓｅｓ［Ｊ］．ＬｅＭａｔｅｍａｔｉｃｈｅ，【４７］ＩｓａｃＧ．ＯｎｓｏｍｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆＫａｒａｍａｒｄｉａｎ：ｓｔｈｅｏｒｅｍｏｎｔｈｅｃｏｍｐｌｅ－ｍｅｎｔａｒｉｔｙ３２３－３３２．ｐｒｏｎｌｅｍ［Ｊ］．ＢｏｌｌｅｔｔｉｎｏｄｅｌｌａＵｎｉｏｎｅＭａｔｅｍａｔｉｃａＩｔａｌｉａｎａ，１９８８，７：【４８１ＴａｒａｆｄａｒＥ．，ＹｕａｎＸ．Ｚ．Ｎｏｎｅｏｍｐａｃｔｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｑｕａｓｉｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｉｎｅｑｕａｌｉ－ｔｉｅｓｉｎｌｏｃａｌｌｙ３７３－３８３．ｃｏｎｖｅｘｔｏｐｏｌｏ舀ｃａｌｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅｓ［Ｊ］．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＷｏｒｌｄ，１９８８，１：４９】ＬｕｎｓｆｏｒｄＭ．Ｌ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｖａｒｉａｔｉｏｎａｌａｎｄｑｕａｓｉｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｗｉｔｈｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｏｐｅｒａｔｏｒｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＡｐ－ｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，１９９７，２１４：２４５－２６３．ｓｔｃＵａｌｗｐ＠１６３．ｃｏｌｎ第３３页，共３５页毕业论文致谢值此毕业论文完成之际，对导师何诣然教授的悉心指导表示衷心的感谢在攻读硕士研究生的三年里，我的导师何诣然教授在学习、学术上给予了悉心的帮助和指导，使本人积累了不少的学习和研究经验，更培养了作者在科研和学习上的独立自主能力．何老师严谨的治学精神，渊博的知识，深厚的数学功底和他对数学研究的独到见解，使作者对从事数学研究工作有了更加深刻的认识，对本人今后的学习，教学工作和科研都有极大的帮助，在此向何老师表示衷心的感谢衷心感谢丁协平教授、夏福全、李凤莲等老师和数学与软件科学学院的领导三年来对作者的培养和帮助！衷心感谢我的父母、弟弟以及我的亲人，对我的抚养、鼓励和关心，使我能够安心得学习！衷心感谢已经走上工作岗位的往届师兄师姐叶明露、方长杰，毛秀珍、王敏和周密在校期间的帮助．在学习上对本人的大力帮助以及与本人的许多有益的讨论！还有师弟、师妹们的支持和鼓励，谢谢你们最后感谢所有的在校期间对我给予了帮助的所有的人，有了大家的帮助，我才能顺利完成学业．第３４页．共３５页攻读硕士学位期间的科研成果Ｉ．刘小兰、何诣然，Ｂａｎａｃｈ空间中数学规划问题的二阶最优性条件，《四川师范大学学报》（自然科学版），２００６，２９（６）：６４４－６４７。２刘小兰、何诣然，非连续的广义拟变分不等式问题的存在性定理，《四川师蓖大学学报》（自然科学版），２００７，３０（１）：２２—２６。３刘小兰、何诣然、周密，广义凸优化问题的Ｆｅｎｃｈｅｌ—Ｌａｇｒａｎｇｅ对偶．《四川疖范大学学报》（自然科学版），已接收。｛．周密、何诣然、刘小兰，无穷维空问中新的Ｆａｋａｓ型结果，待投稿。第３５页．共３５页变分不等式与凸优化问题

作者：

学位授予单位：

刘小兰

四川师范大学

1. 苏明花 凸优化及相关问题的研究[学位论文]20082. 后六生 非光滑凸优化的若干算法[学位论文]2007

3. 杨春曦 基于凸优化的线性时滞不确定系统的鲁棒控制器设计[学位论文]2005

4. 王绪国.WANG Xu-guo 基于凸优化和遗传算法的分层多播自适应优化[期刊论文]-计算机应用2006,26(9)

5. 张胜祥.裴海龙.刘保罗.李坚强.ZHANG Sheng-xiang.PEI Hai-long.LIU Bao-luo.LI Jian-qiang 基于凸优化的一类切换线性系统的生存域计算[期刊论文]-微计算机信息2008,24(27)

6. 纠博.刘宏伟.何学辉.吴顺君.JIU Bo.LIU Hong-wei.HE Xue-hui.WU Shun-jun 基于凸优化的宽带雷达波形优化方法[期刊论文]-电波科学学报2009,24(2)

7. 方东辉 最优化问题的Fenchel对偶和Lagrange对偶之研究[学位论文]20108. 方长杰 变分不等式解的迭代算法[学位论文]2005

9. 白敏茹 变分不等式与平衡约束优化的几个理论问题[学位论文]200410. 李凤莲 变分不等式的投影算法[学位论文]2007

本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Thesis_Y1091680.aspx