湖南省新化二中2015-2016学年高二上学期10月月考数学试卷Word版含答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁RB)＝( B )

A．(1,4)

B．(3,4)

C．(1,3)

D．(1,2)∪(3,4)

2．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是( D )

A．简单随机抽样法

B．抽签法

C．随机数法

D．分层抽样法

3．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( B )

A．－2

2

B.2 2

C.3

2

D．1

4．已知x、y取值如下表：

x y 0 1.3 1 1.8 4 5.6 5 6.1 6 7.4 8 9.3 ^从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且y＝0.95x＋a，则a＝( C )

A．1.80 B．1.65

C． 1.45

D．1.30

5. 如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点(靠近B)，那么EF＝( D )

11

A. AB－AD 2311

C. AB＋DA 32

11

B. AB＋AD 4212

D. AB－AD 23

6. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( A )

A．46,45,56 B．46,45,53 C．47,45,56 D．45,47,53

7. 如图关于星星的图案中，第n个图案中星星的个数为an，则数列{an}的一个通项公式是(C )

A．an＝n2－n＋1 nn＋1

C．an＝

2

nn－1

B．an＝

2nn＋2

D．an＝

2

8．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( C )

2428A. B. 55

C．5

D．6

9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( D )

A．23π 8πB. 3C．43 D.16π

3

10. 设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，定义函数fk(x)＝

1f(x),f(x)k－

取函数f(x)＝2|x|.当k＝时，函数fk(x)的单调递增区间为( A ) 2f(x)kkA．(－∞，－1) B．(－∞，0) C．(0，＋∞) π

x＋的值域为( B ) 11．函数f(x)＝sin x－cos6

A．[－2,2]

B．[－3，3 ] C．[－1,1]

D.－

D．(1，＋∞)



33 ，

22a,12．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝b,ab1设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈

ab1R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是(B )

33－1， B.(－∞，－2]∪－1，－ A.(－∞，－2]∪241131C.－1，∪，＋∞ D.－1，－∪，＋∞

4444二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则a＜b的概1

率为________．

5

14. 设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝ 10 22

15. 若点P(1,1)为圆(x－3)＋y＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为

_2x－y－1＝0_____________． 16 已知数列{an}满足anan11(nN*),a11,则{an}的前n项和为Sn= 。 2n,n为偶数4Sn

n3,n为奇数4三、解答题（共六小题，70分）

17．（本小题10分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人，为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中 穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队抽6人． (1)求n的值；

(2)抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．

620(1)由题意得＝，解得n＝160.

120120＋120＋n

(2)由已知0≤x≤1,0≤y≤1，点(x，y)在如图所示的正方形OABC内，由条件2x－y－1≤0，

0≤x≤1，0≤y≤1，

得到的区域为图中的阴影部分．由2x－y－1＝0，

1令y＝0得x＝，

2

令y＝1得x＝1.

因此在x，y∈[0,1]时满足2x－y－1≤0的区域的面积 1131＋×1＝. S阴影＝×224设“该代表中奖”为事件N，

343

则该代表中奖的概率P(N)＝＝. 14

18．（本小题12分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(4，A7

cos2，cos 2A，且m·－1)，n＝n＝. 22

(1)求角A的大小；

(2)若b＋c＝2a＝23，试判断△ABC的形状． A

cos2，cos 2A， 解：(1)∵m＝(4，－1)，n＝2

1＋cos A

∴m·n＝4cos－cos 2A＝4·－(2cos2A－1)＝－2cos2A＋2cos A＋3.

22

2A

771

又∵m·n＝，∴－2cos2A＋2cos A＋3＝，解得cos A＝. 222π

∵03

(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝3， 1

∴(3)2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc.①又∵b＋c＝23，

2

∴b＝23－c，代入①式整理得c2－23c＋3＝0，解得c＝3，∴b＝ 3，于是a＝b＝c＝ 3，即△ABC为等边三角形．

19．（本小题12分）如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE∥DF，∠DEF＝90°.

(1)求证：BE∥平面ADF；

(2)若矩形ABCD的一边AB＝3，EF＝23，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F－BDE的体积为3？

解：(1)证明：过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM. 因为CE∥DF，所以四边形CEMD是平行四边形．

可得EM＝CD且EM∥CD，于是四边形BEMA也是平行四边形， 所以有BE∥AM.而AM⊂平面ADF，BE⊄平面ADF， 所以BE∥平面ADF.

(2)由EF＝23，EM＝AB＝3，得FM＝3且∠MFE＝30°. 由∠DEF＝90°可得FD＝4，从而得DE＝2. 因为BC⊥CD，BC⊥FD，所以BC⊥平面CDFE. 1

所以，VF－BDE＝VB－DEF＝S△DEF×BC.

3

13

因为S△DEF＝DE×EF＝23，VF－BDE＝3，所以BC＝.

223

综上当BC＝时，三棱锥F－BDE的体积为3.

2 20．（本小题12分）已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.

(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；

(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f(x)>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围． 解：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2， 因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]．故函数h(x)的值域为[0,2]． (2)由f(x2)·f(x)>k·g(x)得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x， 令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]， 所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立， ①当t＝0时，k∈R；

3－4t3－t9

②当t∈(0,2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15恒成立，

tt993

因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，

tt29

所以4t＋－15的最小值为－3，即k∈(－∞，－3)．

t

21．（本小题12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)，且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.

(1)求k的取值范围；

(2)是否存在常数k，使得向量OA＋OB与PQ共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

解：(1)圆的方程可写成(x－6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6,0)．过P(0,2)且斜率为k的直线

方程为y＝kx＋2，代入圆的方程得x2＋(kx＋2)2－12x＋32＝0，

整理得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0.①

直线与圆交于两个不同的点A、B等价于Δ＝[4(k－3)]2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)>0，33

－，0. 解得－(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)则OA＋OB＝(x1＋x2，y1＋y2)， 4k－3

由方程①得x1＋x2＝－.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4.③

1＋k2因P(0,2)、Q(6,0)，PQ＝(6，－2)，

所以OA＋OB与PQ共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)， 3

将②③代入上式，解得k＝－.

4

3

－，0，故没有符合题意的常数k. 而由(1)知k∈4

33an22．（本小题12分）已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n∈N*.

52an＋1

1

(1)求证：数列a－1为等比数列；



n



111

(2)记Sn＝＋＋…＋，若Sn<100，求最大正整数n；

a1a2an

(3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且am－1，as－1，an

－1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．

121111

[解] (1)证明：因为＝＋，所以－1＝－. 3an3an＋133anan＋1

111

又因为－1≠0，所以－1≠0(n∈N*)，所以数列a－1为等比数列．

a1ann121n－1

(2)由(1)，可得－1＝×，

an331n1

所以＝2×3＋1. an

11

－n133＋

1111111＋2＋…＋n＝n＋2×Sn＝＋＋…＋＝n＋2＝n＋1－， 333a1a2an13n1－3

1

若Sn<100，则n＋1－n<100，所以最大正整数n的值为99.

3(3)假设存在，则m＋n＝2s，(am－1)(an－1)＝(as－1)2， 因为an＝n，

3＋2

3n

3－13－13－12

所以n3m＋2＝3s＋2. 3＋2

化简，得3m＋3n＝2·3s.

因为3m＋3n≥2·3m＋n＝2·3s，当且仅当m＝n时等号成立．又m，s，n互不相等，所以3m＋3n＝2·3s不成立，所以不存在满足条件的m，n，s.

nms