2014-2015学年湖南省娄底市新化一中高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1．（5分）下列关系式正确的是（） A． ∈Q B． {2}={x|x=2x} C． {a，b}={b，a} D．Φ∈{2006} 2．（5分）设集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，则集合A∪B=（） A． {1，3，1，2，4，5} B． {1} C． {1，2，3，4，5} D． {2，3，4，5} 3．（5分）函数y=log（x﹣3）的定义域为（） A． （3，+∞）
B． [3，+∞）
C． （﹣∞，3）
D．（﹣∞，3]
2
4．（5分）函数y=（m+2m﹣2）x A． 1
5．（5分） A． ﹣
•
B． ﹣3 等于（） B． ﹣
2
是幂函数，则m=（）
C． ﹣3或1
D．2
C． D．
6．（5分）已知log2m=2.013，log2n=1.013，则等于（） A． 2
B．
C． 10
D．
7．（5分）下列函数中，图象关于y轴对称的是（） A． y=log2x
B． y=
C． y=x|x|
D．y=x
8．（5分）下列各式中错误的是（）
0.90.8 A． 3＞3 C． 0.65
﹣0.1
B． log0.5＞log0.5 D． 3
＜2
0.40.5
＜0.65
0.1
9．（5分）已知函数f（x）是偶函数，且定义域为R，若x＞0时，f（x）=x+2，则函数f（﹣1）等于（） A． 1 B． 3 C． ﹣3 D．﹣1
10．（5分）设函数，已知f（a）＞1，则实数a的取值范围
是（） A． （﹣2，1） B． （﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C． （1，+∞） （﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
二、填空题（本大题共5小题，共25分，请把正确答案填在题中的横线上） 11．（5分）函数y=（）+3的值域是．
12．（5分）函数y=loga（x﹣1）+2的图象恒过定点，这个定点的坐标为．
13．（5分）计算
=．
x
D．
14．（5分）奇函数f（x）在[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣1，则2f（﹣6）+f（﹣3）=．
15．（5分）定义：区间[x1，x2]（x1＜x2）的长度为x2﹣x1，已知函数y=2的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（12分）设集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜7}．求： （1）A∪B； （2）（∁RA）∩B．
17．（12分）设f（x）=ax+（b﹣8）x﹣a﹣ab的图象与x轴的两个交点为（﹣3，0），（2，0） （1）求f（x）；
（2）当函数f（x）的定义域为[0，2]时，求f（x）的值域．
18．（12分）已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）、B（5，2）， （1）求函数f（x）的解析式及定义域； （2）求
19．（13分）设f（x）=2a﹣5（a＞0且a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为3 （1）求a的值；
（2）当a＞1时，求f（x）在（﹣∞，0）上的值域．
20．（13分）函数f（x）=loga（a﹣1）（a＞0，且a≠1）
x
x2
|x|
的值．
（1）求f（x）的定义域； （2）求f（x）的单调区间； （3）求f（x）＞1的解集．
21．（13分）已知f（x）=loga
是奇函数（a＞0且a≠1）
（1）求m的值；
（2）当0＜a＜1时，判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并用定义证明； （3）当a＞1时，x∈（r，a﹣2）时，f（x）的值域是（1，+∞），求a与r的值．
2014-2015学年湖南省娄底市新化一中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1．（5分）下列关系式正确的是（）
2
A． ∈Q B． {2}={x|x=2x} C． {a，b}={b，a} D．Φ∈{2006}
考点： 元素与集合关系的判断． 专题： 常规题型；集合．
分析： 正确利用集合与元素，集合与集合之间的关系用恰当利用．
2
解答： 解：选项A：∉Q，选项B：{x|x=2x}={0，2}，故不相等， 选项C：正确，
选项D：Φ⊆{2006}， 故选C．
点评： 本题考查了元素与集合，集合与集合的关系，属于基础题． 2．（5分）设集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，则集合A∪B=（） A． {1，3，1，2，4，5} B． {1} C． {1，2，3，4，5} D． {2，3，4，5}
考点： 并集及其运算． 专题： 计算题．
分析： 集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，构成集合A∪B，由此利用集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，能求出集合A∪B． 解答： 解：∵集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}， ∴集合A∪B={1，2，3，4，5}． 故选C．
点评： 本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
3．（5分）函数y=log
（x﹣3）的定义域为（）
A． （3，+∞） B． [3，+∞） C． （﹣∞，3） D．（﹣∞，3]
考点： 函数的定义域及其求法． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 对数的真数大于0，就是x﹣3＞0，直接求，解即可求出函数的定义域．
解答： 解：函数y=log（x﹣3）有意义 必须x﹣3＞0 即：x＞3 故选：A．
点评： 本题考查对数函数的定义域，是基础题．
4．（5分）函数y=（m+2m﹣2）x A． 1 B． ﹣3
考点： 幂函数的性质． 专题： 函数的性质及应用．
2
是幂函数，则m=（）
C． ﹣3或1
D．2
分析： 由函数y=（m+2m﹣2）x解答： 解：∵函数y=（m+2m﹣2）x
2
2
2
是幂函数，可得m+2m﹣2=1，m﹣1≠0，解出即可．
是幂函数，
2
∴m+2m﹣2=1，m﹣1≠0，
解得m=﹣3． 故选：B．
点评： 本题考查了幂函数的定义，属于基础题．
5．（5分） A． ﹣
•
等于（） B． ﹣
C．
D．
考点： 根式与分数指数幂的互化及其化简运算． 专题： 计算题．
分析： 首先将根式化为分数指数幂的形式，再按照指数式的运算法则计算即可．
解答： 解：•===．
故选D．
点评： 指数式的运算法则和运算性质是进行指数运算的依据，熟练掌握并运用它们是解题的关键．
6．（5分）已知log2m=2.013，log2n=1.013，则等于（） A． 2
B．
C． 10
D．
考点： 对数的运算性质． 专题： 计算题．
分析： 根据对数的运算性质欲求，log2n﹣log2m=log2，从而可求答案． 解答： 解：∵log2n﹣log2m=log2=1.013﹣2.013=﹣1， ∴
．
故选B．
点评： 本题主要考查对数的运算，属于基础题． 7．（5分）下列函数中，图象关于y轴对称的是（） A． y=log2x
B． y=
C． y=x|x|
D．y=x
考点： 函数奇偶性的判断． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 由题意，因为偶函数图象关于y轴对称，所以只要在选项中找出函数是偶函数即可． 解答： 解：由题意，因为偶函数图象关于y轴对称， 所以在选项中选择偶函数即可；
对于选项A，B，函数的定义域关于原点不对称，是非奇非偶的函数； 对于选项C，﹣x|﹣x|=﹣x|x|，是奇函数；
对于选项D，，显然是偶函数；
故选D．
点评： 本题考查了偶函数的图象特征；偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称． 8．（5分）下列各式中错误的是（） A． 3＞3 C． 0.65
﹣0.1
0.90.8
B． log0.5＞log0.5
0.1
0.40.5
＜0.65 D． 3＜2
考点： 对数值大小的比较． 专题： 函数的性质及应用．
x
分析： A．考察指数函数y=3在R上单调递增，即可判断出； B．考察对数函数y=log0.5x在（0，+∞）上单调递减，即可判断出；
x
C．考察指数函数y=0.65在R上单调递减，即可判断出；
D．考察幂函数在在（0，+∞）上单调递减，即可判断出．
x
0.9
0.8
解答： 解：A．∵指数函数y=3在R上单调递增，∴3＞3，正确；
0.40.5
B．∵对数函数y=log0.5x在（0，+∞）上单调递减，∴log0.5＞log0.5，正确；
﹣0.1x0.1
C．∵指数函数y=0.65在R上单调递减，∴0.65＞0.65，因此错误； D．考察幂函数
在在（0，+∞）上单调递减，∴
＜
，正确．
故选：C．
点评： 本题考查了指数函数对数函数与幂函数的单调性，属于基础题． 9．（5分）已知函数f（x）是偶函数，且定义域为R，若x＞0时，f（x）=x+2，则函数f（﹣1）等于（） A． 1 B． 3 C． ﹣3 D．﹣1
考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据f（﹣x）=f（x），f（﹣1）=f（1）求解． 解答： 解：∵函数f（x）是偶函数， ∴f（﹣x）=f（x），
∵若x＞0时，f（x）=x+2， ∴f（﹣1）=f（1）=1+2=3， 故选：B
点评： 本题考查了函数的性质，属于容易题，简单的计算．
10．（5分）设函数，已知f（a）＞1，则实数a的取值范围
是（） A． （﹣2，1） B． （﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） （﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
考点： 其他不等式的解法；函数单调性的性质． 专题： 计算题；不等式的解法及应用．
C． （1，+∞） D．
分析： 由f（x）=，f（a）＞1，知当a≤0时，（）﹣3＞1；当a＞0
a
时，．由此能求出实数a的取值范围．
解答： 解：∵f（x）=，f（a）＞1，
∴当a≤0时，（）﹣3＞1，即当a＞0时，
，解得a＞1．
a
＞4，解得a＜﹣2；
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）． 故选B．
点评： 本题考查不等式的解法和应用，解题时要认真审题，注意分段函数的性质和应用．
二、填空题（本大题共5小题，共25分，请把正确答案填在题中的横线上） 11．（5分）函数y=（）+3的值域是（3，+∞）．
考点： 函数的值域．
专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 观察法求函数的值域．
x
解答： 解：∵（）＞0， ∴（）+3＞3，
故函数y=（）+3的值域是（3，+∞）．
故答案为：（3，+∞）．
点评： 本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．
12．（5分）函数y=loga（x﹣1）+2的图象恒过定点，这个定点的坐标为（2，2）．
考点： 对数函数的单调性与特殊点． 专题： 函数的性质及应用．
x
x
x
分析： 由loga1=0得x﹣1=1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标． 解答： 解：∵loga1=0，
∴当x﹣1=1，即x=2时，y=2，
则函数y=loga（x﹣1）+1的图象恒过定点 （2，2）． 故答案为：（2，2）． 点评： 本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用loga1=0，属于基础题．
13．（5分）计算
=1．
考点： 对数的运算性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用对数的运算法则即可得出．
解答： 解：原式===1．
故答案为：1．
点评： 本题考查了对数的运算法则，属于基础题． 14．（5分）奇函数f（x）在[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣1，则2f（﹣6）+f（﹣3）=﹣15．
考点： 奇偶性与单调性的综合． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 先利用条件找到f（3）=﹣1，f（6）=8，再利用f（x）是奇函数求出f（﹣3），f（﹣6）代入即可．
解答： 解：由题意f（x）在区间[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣1，
得f（3）=﹣1，f（6）=8， ∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣3）+2f（﹣6）=﹣f（3）﹣2f（6）=1﹣2×8=﹣15． 故答案为：﹣15．
点评： 本题考查了函数奇偶性和单调性的应用．若已知一个函数为奇函数，则应有其定义域关于原点对称，且对定义域内的一切x都有f（﹣x）=﹣f（x）成立，本题属于基础题．
15．（5分）定义：区间[x1，x2]（x1＜x2）的长度为x2﹣x1，已知函数y=2的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1．
考点： 函数的最值及其几何意义． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据指数函数的图象和性质，结合函数的值域求出a，b的取值情况即可得到结论．
|x|
解答： 解：若2=1，则x=0．
|x|
若2=2，则x=1或x=﹣1，
|x|
∵函数y=2的定义域为[a，b]，值域为[1，2]， ∴若a=﹣1，则0≤b≤1， 若b=1，则﹣1≤a≤0，
即当a=﹣1，b=0或a=0，b=1时，b﹣a最小为1， 当a=﹣1，b=1时，b﹣a的值最大为1﹣（﹣1）=2， 故区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为2﹣1=1， 故答案为：1
|x|
点评： 本题主要考查函数最值的求解，根据指数函数的图象和性质，结合函数的值域求出a，b的取值情况是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（12分）设集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜7}．求： （1）A∪B； （2）（∁RA）∩B．
考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 集合．
分析： （1）根据并集的运算求出A∪B；
（2）由补集的运算求出∁UA，再由交集的运算求出（∁RA）∩B． 解答： 解：（1）A∪B={x|3≤x＜7}∪{x|2＜x＜7}={x|3≤x＜7}； （2）由集合A={x|3≤x＜7}得，∁RA={x|x＜3或x≥7}， 又B={x|2＜x＜7}，所以（∁RA）∩B={x|2＜x＜3}．
点评： 本题考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题．
17．（12分）设f（x）=ax+（b﹣8）x﹣a﹣ab的图象与x轴的两个交点为（﹣3，0），（2，0） （1）求f（x）；
（2）当函数f（x）的定义域为[0，2]时，求f（x）的值域．
考点： 二次函数的性质．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： （1）根据f（x）的图象与x轴的交点的横坐标分别是﹣3和2，可知﹣3和2为方程2
ax+（b﹣8）x﹣a﹣ab=0的两个根，利用韦达定理，列出方程组，求解即可得到f（x）； （2）根据（1）所得的解析式，求出二次函数的对称轴，根据定义域在对称轴的右边为减区间，即可判断出f（x）的最值，从而求得函数f（x）的值域．
2
解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax+（b﹣8）x﹣a﹣ab的图象与x轴的交点的横坐标分别是﹣3和2，
2
∴﹣3和2为方程ax+（b﹣8）x﹣a﹣ab=0的两个根，
2
∴，解得，
∴f（x）=﹣3x﹣3x+18；
2
（2）由（1）知，f（x）=﹣3x﹣3x+18， ∵函数f（x）的定义域是[0，2]， ∴x∈[0，2]，
f（x）=﹣3x﹣3x+18=﹣3（x+）+
2
2
2
，对称轴x=﹣，
则区间[0，2]在对称轴的右边，为减区间， ∴当x=2时，f（x）取得最小值0， 当x=0时，f（x）取得最大值18， ∴函数f（x）的值域为[0，18]．
点评： 本题考查了求函数的解析式，求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等，考查了函数的零点问题，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．同时考查了二次函数在闭区间上的最值问题．属于中档题．
18．（12分）已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）、B（5，2）， （1）求函数f（x）的解析式及定义域； （2）求
的值．
考点： 函数解析式的求解及常用方法；函数的定义域及其求法；函数的值． 专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）由函数图象经过点A（2，1）、B（5，2），得a，b； （2）把14，
带入解析式即可求得．
，解方程组即可求得
解答： 解：（1）因为函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）、B（5，2）， 所以
，即
，
所以，解得．
所以f（x）=log3（2x﹣1），定义域为（，+∞）． （2）f（14）÷f（
）=log327÷
=3÷=6．
点评： 本题考查函数解析式的求法及函数求值问题，考查学生运算能力，属基础题．
19．（13分）设f（x）=2a﹣5（a＞0且a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为3 （1）求a的值；
（2）当a＞1时，求f（x）在（﹣∞，0）上的值域．
x
考点： 指数函数综合题． 专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）函数为指数类型的函数，分底数0＜a＜1和a＞1进行讨论在区间上的单调性，然后利用最值求参数a；
x
（2）利用（1）中条件求得a=2，代入函数解析式，得y=2×2﹣5，利用单调性求值域即可． 解答： 解：（1）当0＜a＜1时，函数在区间[﹣1，2]内是递减函数，因此当x=﹣1时，y取
最大值，即2a﹣5=3，解得a=，
当a＞1时，函数y在区间[﹣1，2]内是递增函数，因此当x=2时，y取最大值，即2a﹣5=3，解得a=2，
综上所述，a=或2．
（2）由（1）可知，a＞1时，a=2，函数为y=2×2﹣5，且在（﹣∞，0）上单调递增，值域为（﹣∞，﹣3）．
点评： 本题考查指数函数的单调性和利用单调性求最值的相关知识，属于基础题目．
20．（13分）函数f（x）=loga（a﹣1）（a＞0，且a≠1） （1）求f（x）的定义域； （2）求f（x）的单调区间； （3）求f（x）＞1的解集．
考点： 对数函数的图像与性质．
专题： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
x
分析： （1）由对数的定义可得，a﹣1＞0，讨论a＞1，0＜a＜1，运用指数函数的单调性，即可得到定义域；
﹣1
2
x
x
（2）令t=a﹣1，则y=logat，讨论a＞1，0＜a＜1函数的单调性，注意运用复合函数的单调性：同增异减，即可得到单调区间；
（3）讨论a＞1，0＜a＜1，运用指数函数和对数函数的单调性，即可得到解集．
x
解答： 解：（1）由对数的定义可得，a﹣1＞0，
xx
当a＞1时，a＞1解得，x＞0；当0＜a＜1时，a＞1解得x＜0． 则a＞1的定义域为（0，+∞），0＜a＜1的定义域为（﹣∞，0）；
x
（2）令t=a﹣1，则y=logat，
当a＞1时，t在x＞0上递增，y在t＞0上，则函数的增区间为（0，+∞）；
当0＜a＜1时，t在x＜0上递减，y在t＞0上递减，则函数的增区间为（﹣∞，0） 故函数f（x）的增区间为（﹣∞，0）（0＜a＜1），（0，+∞）（a＞1）； （3）f（x）＞1即为loga（a﹣1）＞1．
x0x
当a＞1时，loga（a﹣1）＞a，即有a﹣1＞0，解得x＞0；
xx
当0＜a＜1时，loga（a﹣1）＞1，即有a﹣1＜0，解得，x＞0． 故解集为（0，+∞）．
点评： 本题考查指数函数和对数函数的定义域和值域，以及单调性，考查运算能力，以及分类讨论的思想方法，属于中档题．
21．（13分）已知f（x）=loga
是奇函数（a＞0且a≠1）
x
x
（1）求m的值；
（2）当0＜a＜1时，判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并用定义证明； （3）当a＞1时，x∈（r，a﹣2）时，f（x）的值域是（1，+∞），求a与r的值．
考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）根据函数f（x）是奇函数，建立条件关系，即可求出m的值； （2）根据函数单调性的定义进行证明；
（3）由题设x∈（r，a﹣2）时，f（x）的值的范围恰为（1，+∞），可根据函数的单调性确定出两个参数a及r的方程，解方程得出两个参数的值．
解答： 解：（1）∵f（x）=loga∴f（﹣x）=﹣f（x）， 即f（﹣x）+f（x）=0， ∴loga
+loga
=0，
（a＞0且a≠1，m≠1）是奇函数，
即m=±1， ∵m≠1， ∴m=﹣1， 此时f（x）=loga即f（x）是奇函数． ∴m=﹣1．
（2）解：设1＜x1＜x2，则：
﹣
=
；
，满足f（﹣x）=﹣f（x），
∵1＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0； ∴
＞
；
又0＜a＜1， 则loga
﹣loga
＜0，
即f（x1）＜f（x2）；
∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数； （3）（3）因为x∈（r，a﹣2），定义域D=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）， 1°当r≥1时，则1≤r＜a﹣2，即a＞3，…（14分）
所以f（x）在（r，a﹣2）上为减函数，值域恰为（1，+∞），所以f（a﹣2）=1，…（15分） 即loga
=loga
=1，即
=a，…（16分）
所以a=2+且r=1 …（18分）
2°当r＜1时，则（r，a﹣2）⊈（﹣∞，﹣1），所以0＜a＜1，这与a＞1不合， 所以a=2+且r=1．
点评： 本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
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