2017年全国硕士研究生入学统一数学二考试

数学二试题

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项

是符合题目要求的.

1cosx,x0（1）若函数f(x)在x=0连续，则 axb,x0(A)ab11 (B)ab (C)ab0 (D)ab2 22（2）设二阶可到函数f(x)满足f(1)f(1)1,f(0)1且 f(x)0，则 (A) f(x)dx0

111(B) f(x)dx0

20(C) f(x)dxf(x)dx

1101(D) f(x)dxf(x)dx

101（3）设数列xn收敛，则 (A)当limsinxn0时，limxn0

nn(B)当limxn(xnnxn)0 时，则limxn0

n(C)当lim(xnxn2)0, lim0

nn(D)当lim(xnsinxn)0时，limxn0

nn（4）微分方程y4y8ye2x(1cos2x) 的特解可设为yk (A)Ae2xe2x(Bcos2xCsin2x) (B)Axe2xe2x(Bcos2xCsin2x) (C)Ae2xxe2x(Bcos2xCsin2x) (D)Axe2xxe2x(Bcos2xCsin2x)

（5）设f(x)具有一阶偏导数，且在任意的(x,y)，都有(A)f(0,0)f(1,1)

f(x,y)f(x,y)0,则 xy(B)f(0,0)f(1,1) (C)f(0,1)f(1,0) (D)f(0,1)f(1,0)

（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m）处,图中，实线表示甲的速度曲线vv1t （单位:m/s）虚线表示乙的速度曲线vv2t，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位:s）,则 (A)t010 (B)15t020 (C)t025 (D)t025

v(m/s)1020051015202530t(s)

0（7）设A为三阶矩阵，P(1,2,3)为可逆矩阵，使得

P1AP00A(1,2 ,)(A)12 (B)223 (C)23 (D)122

200（8）已知矩阵A021210100B020C020，，000，则

001001(A) A与C相似，B与C相似

(B) A与C相似，B与C不相似 (C) A与C不相似，B与C相似 (D) A与C不相似，B与C不相似

二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分. （9）曲线yx1arcsin2x的斜渐近线方程为

0010，

02则

xtetd2y（10）设函数yy(x)由参数方程确定，则2dxysintt0

（11）ln(1x)01x2dx =

（12）设函数fx,y具有一阶连续偏导数，且

dfx,yyeydxx1yeydy,f0,00，则fx,y= （13）10dy1tanxyxdx

4121（14）设矩阵A12a的一个特征向量为1，则a

3112三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

求limx0x0xtetdtx3

（16）（本题满分10分）

dy设函数fu,v具有2阶连续性偏导数，yfe,cosx,求

dxxd2y,2dxx0

x0

（17）（本题满分10分）

求limkkln1 nn2nk1n

（18）（本题满分10分）

已知函数𝑦 𝑥 由方程𝑥3+𝑦3−3𝑥+3𝑦−2=0确定，求𝑦 𝑥 的极值

（19）（本题满分10分）

f(x)0，证明 f(x)在0,1上具有2阶导数，f(1)0,limx0x（1）方程f(x)0在区间(0,1)至少存在一个根

（2）方程f(x)f(x)f(x)0 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根

2（20）（本题满分11分）

已知平面区域Dx,yx2y22y，计算二重积分x12dxdy

D

（21）（本题满分11分）

设y(x)是区间(0,32)内的可导函数，且y(1)0，点P是曲线L:yy(x)上的任意一点，在点P处的切线与y轴相交于点(0,YP)，法线与x轴相交于点(XP,0)，若XpYP ，求L上点的坐标(x,y)满足的方程。

（22）（本题满分11分）

三阶行列式A(1,2,3)有3个不同的特征值，且3122 （1）证明r(A)2

（2）如果123求方程组Axb 的通解

L（23）（本题满分11分）

22设f(x1,x2,x3)2x12x2ax32x1x28x1x32x2x3在正交变换xQy下的标准型为2 求a的值及一个正交矩阵Q. 1y122y2