观山湖区高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

yx2

1． 已知实数x,y满足不等式组xy4，若目标函数zymx取得最大值时有唯一的最优解(1,3)，则

3xy5

实数m的取值范围是（ ）

A．m1 B．0m1 C．m1 D．m1

【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.

x2y2

2． 双曲线E与椭圆C：＋＝1有相同焦点，且以E的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积

93为π，则E的方程为（ ） x2y2

A.－＝1 33x22

C.－y＝1 5

x2y2

B.－＝1 42x2y2

D.－＝1 24

23． fx2axa 在区间0,1上恒正，则的取值范围为（ ）

A．a0 B．0aA．﹣2 B．±2 C．0

D．2

2 C．0a2 D．以上都不对

4． 若复数（2+ai）2（a∈R）是实数（i是虚数单位），则实数a的值为（ ）

5． 下列命题正确的是（ ）

A．很小的实数可以构成集合.

B．集合y|yx21与集合x,y|yx21是同一个集合. C．自然数集 N中最小的数是. D．空集是任何集合的子集.

6． 数列{an}满足an+2=2an+1﹣an，且a2014，a2016是函数f（x）=（a2000+a2012+a2018+a2030）的值是（ ） A．2

B．3

C．4

D．5

=（ ）

+6x﹣1的极值点，则log2

7． 已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则

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A．﹣1 B．2 C．﹣5 D．﹣3

8． 已知角的终边经过点Px，3x0且cos10x，则等于（ ） 10221A．1 B． C．3 D．

339． 如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、

EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（ ）

A． B．

﹣或

C． D．

10．已知双曲线的方程为A．

11．为了得到函数A．向右平移C．向右平移

个单位长度 个单位长度

B．

C．

=1，则双曲线的离心率为（ ） D．

或

的图象，只需把函数y=sin3x的图象（ ）

B．向左平移D．向左平移

个单位长度 个单位长度

x2y212．已知点P是双曲线C：221(a0,b0)左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，且

abPF1PF2，PF2与两条渐近线相交于M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率

是（ ） A.5

B.2 C.3 D.2

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【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

13．设α为锐角，若sin（α﹣14．下列命题：

）=，则cos2α= ．

①集合a,b,c,d的子集个数有16个； ②定义在R上的奇函数f(x)必满足f(0)0；

③f(x)(2x1)22(2x1)既不是奇函数又不是偶函数； ④AR，BR，f:x⑤f(x)1，从集合A到集合B的对应关系f是映射； |x|1在定义域上是减函数． x其中真命题的序号是 ．

15．将一张坐标纸折叠一次，使点0,2与点4,0重合，且点7,3与点m,n重合，则mn的 值是 ． 16．设函数

，若用表示不超过实数m的最大整数，则函数的值域为 ．

三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．已知向量=（

，1），=（cos，

），记f（x）=

．

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间； （2）将函数y=f（x）的图象向右平移的零点个数．

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个单位得到y=g（x）的图象，讨论函数y=g（x）﹣k在

18．已知函数f（x）=lnx的反函数为g（x）．

（Ⅰ）若直线l：y=k1x是函数y=f（﹣x）的图象的切线，直线m：y=k2x是函数y=g（x）图象的切线，求证：l⊥m；

（Ⅱ）设a，b∈R，且a≠b，P=g（大小，并说明理由．

19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且bsinA=（1）求B；

（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．

20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点． （1）证明：EF∥平面PAC； （2）证明：AF⊥EF．

acosB．

），Q=

，R=

，试比较P，Q，R的

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x2y2

21．（本小题满分12分）椭圆C：2＋2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，A，B

ab

1

是C的长轴上的两个顶点，已知|PF|＝1，kPA·kPB＝－.

2（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的中心O的直线l交椭圆于M，N两点，求三角形PMN面积的最大值，并求此时l的方程．

22．已知函数f（x）=

（Ⅰ）求函数f（x）单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．

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观山湖区高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1． 【答案】C

【解析】画出可行域如图所示，A(1,3)，要使目标函数zymx取得最大值时有唯一的最优解(1,3)，则需直线l过点A时截距最大，即z最大，此时kl1即可.

2． 【答案】

x2y2

【解析】选C.可设双曲线E的方程为2－2＝1，

ab

b

渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，

a

由题意得E的一个焦点坐标为（6，0），圆的半径为1， ∴焦点到渐近线的距离为1.即

|6b|b＋a

2

2

＝1，

又a2＋b2＝6，∴b＝1，a＝5，

x22

∴E的方程为－y＝1，故选C.

53． 【答案】C 【解析】

2试题分析：由题意得，根据一次函数的单调性可知，函数fx2axa在区间0,1上恒正，则

a0f(0)0，即，解得0a2，故选C. 2f(1)02aa0考点：函数的单调性的应用. 4． 【答案】C

22

【解析】解：∵复数（2+ai）=4﹣a+4ai是实数，

∴4a=0，

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解得a=0． 故选：C．

【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．

5． 【答案】D 【解析】

试题分析：根据子集概念可知，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以选项D是正确，故选D.

考点：集合的概念；子集的概念. 6． 【答案】C

【解析】解：函数f（x）=∵a2014，a2016是函数f（x）=数列{an}中，满足an+2=2an+1﹣an， 可知{an}为等差数列，

∴a2014+a2016=a2000+a2030，即a2000+a2012+a2018+a2030=16， 从而log2（a2000+a2012+a2018+a2030）=log216=4． 故选：C．

【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．

7． 【答案】C

【解析】解：由三次函数的图象可知，x=2函数的极大值，x=﹣1是极小值， 即2，﹣1是f′（x）=0的两个根，

32

∵f（x）=ax+bx+cx+d， 2

∴f′（x）=3ax+2bx+c， 2

由f′（x）=3ax+2bx+c=0，

+6x﹣1，可得f′（x）=x2﹣8x+6， +6x﹣1的极值点，

2

∴a2014，a2016是方程x﹣8x+6=0的两实数根，则a2014+a2016=8．

=﹣5，

得2+（﹣1）=﹣1×2=

=﹣2，

=1，

即c=﹣6a，2b=﹣3a，

22

即f′（x）=3ax+2bx+c=3ax﹣3ax﹣6a=3a（x﹣2）（x+1），

则==

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故选：C

【点评】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，以及根与系数之间的关系的应用，考查学生的计算能力．

8． 【答案】A 【

解

析

】

考

点：三角函数的定义. 9． 【答案】C

，

【解析】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1， 故外接球半径为故选C．

，外接球的体积为

【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．

10．【答案】C

【解析】解：双曲线的方程为

﹣

=1，

222

焦点坐标在x轴时，a=m，b=2m，c=3m，

离心率e=．

222

焦点坐标在y轴时，a=﹣2m，b=﹣m，c=﹣3m，

离心率e=故选：C．

=．

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意实轴所在轴的易错点．

11．【答案】A 【解析】解：把函数y=sin3x的图象向右平移

故选：A．

个单位长度，可得y=sin3（x﹣

）=sin（3x﹣

）的图象，

【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

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12．【答案】A. 【

解

析

】

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

13．【答案】 ﹣

【解析】解：∵α为锐角，若sin（α﹣∴cos（α﹣∴sin

2

∴cos2α=1﹣2sinα=﹣

．

）=，

）=，

=

．

[sin（α﹣

）+cos（α﹣

）]=

，

故答案为：﹣．

【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．

14．【答案】①② 【解析】

试题分析：子集的个数是2，故①正确.根据奇函数的定义知②正确.对于③fx4x1为偶函数，故错误.

n2对于④x0没有对应，故不是映射.对于⑤减区间要分成两段，故错误. 考点：子集，函数的奇偶性与单调性．

【思路点晴】集合子集的个数由集合的元素个数来决定，一个个元素的集合，它的子集的个数是2个；对于

n奇函数来说，如果在x0处有定义，那么一定有f00，偶函数没有这个性质；函数的奇偶性判断主要元素在集合B中都有唯一确定的数和它对应；函数的定义域和单调区间要区分清楚，不要随意写并集.1 15．【答案】【解析】

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根据定义fxfx,fxfx，注意判断定义域是否关于原点对称.映射必须集合A中任意一个

34 5点：点关于直线对称；直线的点斜式方程. 16．【答案】 {0，1} ．

【解析】解：

=[﹣]+[

+] =[﹣]+[+]， ∵0＜

＜1，

∴﹣＜﹣＜，＜+＜，

①当0＜＜时， 0＜﹣＜，＜

+＜1，

故y=0；

②当=时， ﹣=0，

+=1， 故y=1；

③＜＜1时，

﹣＜﹣

＜0，1＜

+＜， 故y=﹣1+1=0；

故函数

的值域为{0，1}．

第 10 页，共 16 页考

故答案为：{0，1}．

），记f（x）=）+，

]，k∈Z；

．

【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用．

17．【答案】

，1），=（cos，=

sin+cos+=sin（+

， ，k∈Z．

，4kπ+

三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

【解析】解：（1）∵向量=（∴f（x）=∴最小正周期T=2kπ﹣则4kπ﹣

≤+

cos+=4π， ≤2kπ+

≤x≤4kπ+

故函数f（x）的单调递增区间是[4kπ﹣（2））∵将函数y=f（x）=sin（+：y=g（x）=sin[（x﹣

+

）+的图象向右平移

）+，

个单位得到函数解析式为

）]+ =sin（﹣）+﹣k，

∴则y=g（x）﹣k=sin（x﹣∵x∈[0，

]，可得：﹣

≤x﹣≤π，

∴﹣≤sin（x﹣∴0≤sin（x﹣

）≤1， ）+≤，

∴若函数y=g（x）﹣k在[0，

∴实数k的取值范围是[0，]．

]上有零点，则函数y=g（x）的图象与直线y=k在[0，

]上有交点，

∴当k＜0或k＞时，函数y=g（x）﹣k在当0≤k＜1时，函数y=g（x）﹣k在当k=0或k=时，函数y=g（x）﹣k在点的判断方法，考查计算能力．

的零点个数是0；

的零点个数是2；

的零点个数是1．

【点评】本题是中档题，考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，函数的单调增区间的求法，函数零

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18．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=lnx的反函数为g（x）．

x

∴g（x）=e．，f（﹣x）=ln（﹣x），

则函数的导数g′（x）=e，f′（x）=，（x＜0），

x

设直线m与g（x）相切与点（x1，则切线斜率k2=

=

），

，则x1=1，k2=e，

=

，则x2=﹣e，k1=﹣，

设直线l与f（x）相切与点（x2，ln（﹣x2）），则切线斜率k1=故k2k1=﹣×e=﹣1，则l⊥m． （Ⅱ）不妨设a＞b， ∵P﹣R=g（∵P﹣Q=g（

）﹣）﹣

==

﹣﹣

=﹣

＜0，∴P＜R，

==，

xxxx

令φ（x）=2x﹣e+e﹣，则φ′（x）=2﹣e﹣e﹣＜0，则φ（x）在（0，+∞）上为减函数，

故φ（x）＜φ（0）=0， 取x=

，则a﹣b﹣

⇔

令t（x）=﹣1+则t′（x）=﹣

，

=

≥0，

+

＜0，∴P＜Q， =

=1﹣

则t（x）在（0，+∞）上单调递增， 故t（x）＞t（0）=0， 取x=a﹣b，则∴R＞Q， 综上，P＜Q＜R，

﹣1+

＞0，

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【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用以及利用作差法比较大小，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，难度较大．

19．【答案】

【解析】（本小题满分12分） 解：（1）∵bsinA=由正弦定理可得：sinBsinA=∴B=

…

．

．

，

sinAcosB，即得tanB=

，

（2）△ABC的面积由已知及余弦定理，得

22

又a+c≥2ac，

故ac≤4，当且仅当a=c时，等号成立． 因此△ABC面积的最大值为

20．【答案】

【解析】（1）证明：如图， ∵点E，F分别为CD，PD的中点， ∴EF∥PC．

∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，

∴EF∥平面PAC．

（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， 又ABCD是矩形，∴CD⊥AD， ∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD． ∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．

∵PA=AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD． 又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC． ∵EF⊂平面PDC， ∴AF⊥EF．

…

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【点评】本题考查了线面平行的判定，考查了由线面垂直得线线垂直，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．

21．【答案】 【解析】解：

（1）可设P的坐标为（c，m）， c2m2

则2＋2＝1， ab

b2

∴m＝±，

a∵|PF|＝1 ，

即|m|＝1，∴b2＝a，①

又A，B的坐标分别为（－a，0），（a，0），

1

由kPA·kPB＝－得

2

22bbaa11·＝－，即b2＝a2，②

22c＋ac－a

由①②解得a＝2，b＝2，

x2y2

∴椭圆C的方程为＋＝1.

42

1

（2）当l与y轴重合时（即斜率不存在），由（1）知点P的坐标为P（2，1），此时S△PMN＝×22×2＝

2

2.

x2k2x22

当l不与y轴重合时，设其方程为y＝kx，代入C的方程得＋＝1，即x＝±，

422

1＋2k

2k

∴y＝±，

2

1＋2k

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即M（∴|MN|＝ ＝421＋2k

2

，2k1＋2k

2

），N（－21＋2k

2

，

－2k1＋2k

2

），

424k22＋2 1＋2k1＋2k

，

1＋k21＋2k2

|2k－1|11

点P（2，1）到l：kx－y＝0的距离d＝，∴S△PMN＝|MN|d＝·

22

k2＋14

1＋k2|2k－1|

· 1＋2k2k2＋1

2k2＋1－22k

1＋2k2

|2k－1|＝2·＝2

2

1＋2k＝2

22k1－， 1＋2k2

22k22k

当k＞0时，≤＝1，

1＋2k222k此时S≥0显然成立， 当k＝0时，S＝2.

－22k1＋2k2

当k＜0时，≤＝1，

1＋2k21＋2k2当且仅当2k2＝1，即k＝－

2

时，取等号． 2

此时S≤22，综上所述0≤S≤22. 22即当k＝－时，△PMN的面积的最大值为22，此时l的方程为y＝－x.

2222．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）=∴由2k

≤+

≤2kπ

sincos+cos2=sin（+，k∈Z可解得：4kπ﹣

，4kπ

）

，

，k∈Z，

≤x≤4kπ]，k∈Z．

∴函数f（x）单调递增区间是：[4kπ﹣（Ⅱ）∵f（A）=sin（+

）

，

∵由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB=2sinAcosB﹣sinCcosB， ∴则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，

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∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0， ∴cosB=，又0＜B＜π， ∴B=

．

， ， ）＜1，

∴可得0＜A＜∴∴

＜+

＜

sin（+

故函数f（A）的取值范围是（1，）．

【点评】本题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值，属于中档题．

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