高中数学复数多选题专项训练100含答案(1)

一、复数多选题

1．任何一个复数zabi（其中a、bR，i为虚数单位）都可以表示成：

zrcosisin的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：

nznrcosisinrcosnisinnnN，我们称这个结论为棣莫弗定n理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A．zz B．当r1，C．当r1，D．当r1，223时，z31 时，z313i 224时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数

答案：AC 【分析】

利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，，则，可得

解析：AC 【分析】

利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数z，可判断C选项的正误；计算出z4，可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，zrcosisin，则zr22cos2isin2，可得

2z2r2cos2isin2r2，zrcosisinr2，A选项正确；

2对于B选项，当r1，33时，

z3cosisincos3isin3cosisin1，B选项错误；

对于C选项，当r1，项正确；

3时，zcos3isin31313i，C选i，则z2222对于D选项，zcosisincosnisinncosnnnnisin， 44取n4，则n为偶数，则z4cosisin1不是纯虚数，D选项错误. 故选：AC. 【点睛】

本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.

2．给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A．纯虚数z的共轭复数是z

B．若z1z20，则z1z2

C．若z1z2R，则z1与z2互为共轭复数 D．若z1z20，则z1与z2互为共轭复数

答案：AD 【分析】

A．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D. 根据，得到，再用共轭复数的定义判断. 【详解】 A．根据共轭

解析：AD 【分析】

A．根据共轭复数的定义判断.B.若z1z20，则z1z2，z1与z2关系分实数和虚数判

断.C.若z1z2R，分z1,z2可能均为实数和z1与z2的虚部互为相反数分析判断.D. 根据

z1z20，得到z1z2，再用共轭复数的定义判断.

【详解】

A．根据共轭复数的定义，显然是真命题； B．若z1z20，则z1z2，当z1,z2均为实数时，则有z1z2，当z1，z2是虚数

时，z1z2，所以B是假命题；

C．若z1z2R，则z1,z2可能均为实数，但不一定相等，或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C是假命题； D. 若z1z20，则z1故选：AD 【点睛】

本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 3．对于复数zabi(a,bR)，下列结论错误的是（ ）. ．．A．若a0，则abi为纯虚数 C．若b0，则abi为实数

B．若abi32i，则a3,b2 D．纯虚数z的共轭复数是z

z2，所以z1与z2互为共轭复数，故D是真命题.

答案：AB 【分析】

由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得． 【详解】 解：因为

当且时复数为纯虚数，此时，故A错误，D正确； 当时，复数为实数，故C正确； 对于B：，则即，故B错误； 故错误的有AB

解析：AB 【分析】

由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得． 【详解】

解：因为zabi(a,bR)

当a0且b≠0时复数为纯虚数，此时zbiz，故A错误，D正确； 当b0时，复数为实数，故C正确；

a3a3对于B：abi32i，则即，故B错误；

b2b2故错误的有AB； 故选：AB 【点睛】

本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．

4．已知复数za3i在复平面内对应的点位于第二象限，且z2 则下列结论正确的是（ ）． A．z38

C．z的共轭复数为13i

B．z的虚部为3 D．z24

答案：AB 【分析】

利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解. 【详解】 解：，且，

复数在复平面内对应的点位于第二象限 选项A:

选项B: 的虚部是

选项C:

解析：AB 【分析】

利用复数z2的模长运算及za3i在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解. 【详解】 解：

za3i，且z2a2(3)24，a=1

复数za3i在复平面内对应的点位于第二象限a1 选项A: (13i)3(1)3+3(1)23i+3(1)(3i)2(3i)38 选项B: z13i的虚部是3

选项C: z13i的共轭复数为z13i

选项D: (13i)2(1)2+2(1)3i+(3i)2223i 故选：AB． 【点睛】

本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力. 求解与复数概念相关问题的技巧:

复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a+bi(a，bR)的形式，再根据题意求解．

5．已知复数z的共轭复数为z，且zi1i，则下列结论正确的是（ ） A．z15 B．z虚部为i

C．z202021010

D．z2zz

答案：ACD 【分析】

先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假． 【详解】

由可得，，所以，虚部为； 因为，所以，． 故选：ACD． 【

解析：ACD 【分析】

先利用题目条件可求得z，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假． 【详解】

由zi1i可得，z1i21i，所以z12i2215，z虚部为i20201；

因为z2i,z2，所以z故选：ACD． 【点睛】

本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数算能力，属于基础题．

136．已知复数i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）

22242z450521010，z2z2i1i1iz．

A．1 C．31

B．2的虚部为D．

3 21在复平面内对应的点在第四象限

答案：AB 【分析】

求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项. 【详解】

依题意，所以A选项正确； ，虚部为，所以B选项正确； ，所以C选项错误；

，对应点为，在第三象限，故D选项错误. 故选

解析：AB 【分析】

求得、2的虚部、3、【详解】

12对应点所在的象限，由此判断正确选项.

13依题意1，所以A选项正确； 22131331332iii，虚部为，所以B选项正确； 222424222131313321，所以C选项错误； 22i22i222221313ii11132222i，对应点为222211331313iii22222222132,2，在第三象限，故D选项错误. 故选：AB 【点睛】

本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题. 7．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i，则下列关于复数z的结论正确的是（ ） A．|z|2 B．复数z的共轭复数为z＝﹣1﹣i C．复平面内表示复数z的点位于第二象限 D．复数z是方程x2+2x+2＝0的一个根

答案：ABCD 【分析】

利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确. 【详解】 因为（1﹣i）z＝

解析：ABCD 【分析】

利用复数的除法运算求出z1i，再根据复数的模长公式求出|z|，可知A正确；根据共轭复数的概念求出z，可知B正确；根据复数的几何意义可知C正确；将z代入方程成立，可知D正确. 【详解】

因为（1﹣i）z＝2i，所以z2i(1i)22i2i1i，所以(1i)(1i)21i|z|112，故A正确；

所以z1i，故B正确；

由z1i知，复数z对应的点为(1,1)，它在第二象限，故C正确； 因为(1i)2(1i)22i22i20，所以D正确. 故选：ABCD. 【点睛】

本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础

2题.

8．已知复数z，下列结论正确的是（ ） A．“zz0”是“z为纯虚数”的充分不必要条件 B．“zz0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件 C．“zz”是“z为实数”的充要条件 D．“zzR”是“z为实数”的充分不必要条件

答案：BC 【分析】

设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论. 【详解】 设，则，

则，若，则，，若，则不为纯虚数， 所以，“”是“为纯虚数”必要不充分

解析：BC 【分析】

设zabia,bR，可得出zabi，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论. 【详解】

设zabia,bR，则zabi，

则zz2a，若zz0，则a0，bR，若b0，则z不为纯虚数， 所以，“zz0”是“z为纯虚数”必要不充分条件；

若zz，即abiabi，可得b0，则z为实数，“zz”是“z为实数”的充要条件；

zza2b2R，z为虚数或实数，“zzR”是“z为实数”的必要不充分条件.

故选：BC. 【点睛】

本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.

139．已知复数zi（其中i为虚数单位），则以下结论正确的是（ ）

22A．z20

B．z2z C．z31

D．z1

答案：BCD 【分析】

利用复数的运算法则直接求解． 【详解】

解：复数（其中为虚数单位）， ，故错误； ，故正确； ，故正确； ．故正确． 故选：． 【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则

解析：BCD 【分析】

利用复数的运算法则直接求解． 【详解】 解：z213复数zi（其中i为虚数单位），

2213313ii，故A错误； 42422z2z，故B正确；

131313z3(i)(i)1，故C正确；

222244|z|131．故D正确． 44故选：BCD． 【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

10．i是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A．若复数z满足zz0，则z0

B．若复数z1，z2满足z1z2z1z2，则z1z20 C．若复数zaai(aR)，则z可能是纯虚数

D．若复数z满足z234i，则z对应的点在第一象限或第三象限

答案：AD 【分析】

A选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果； B选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；

C选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果； D选项，设出复数，根据题

解析：AD 【分析】

A选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果； B选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果； C选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；

D选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果. 【详解】

A选项，设zabia,bR，则其共轭复数为zabia,bR， 则zza2b20，所以ab0，即z0；A正确；

B选项，若z11，z2i，满足z1z2z1z2，但z1z2i不为0；B错； C选项，若复数zaai(aR)表示纯虚数，需要实部为0，即a0，但此时复数

z0表示实数，故C错；

D选项，设zabia,bR，则z2abia22abib234i，

2a2b23a2a2所以，解得或，则z2i或z2i，

b1b12ab4所以其对应的点分别为2,1或2,1，所以对应点的在第一象限或第三象限；D正确. 故选：AD.

11．已知复数z12i,z22i则（ ） A．z2是纯虚数 C．z1z23

B．z1z2对应的点位于第二象限 D．z1z225 答案：AD 【分析】

利用复数的概念及几何有意义判断A、B选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C、D是否正确. 【详解】

利用复数的相关概念可判断A正确； 对于B选项，对应的

解析：AD 【分析】

利用复数的概念及几何有意义判断A、B选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算z1z2及z1z2，并计算出模长，判断C、D是否正确. 【详解】

利用复数的相关概念可判断A正确；

对于B选项，z1z223i对应的点位于第四象限，故B错； 对于C选项，z1z22i，则z1z222125，故C错；

对于D选项，z1z22i2i24i，则z1z2故选：AD 【点睛】

本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单. 12．已知z1，z2为复数，下列命题不正确的是（ ） A．若z1224225，故D正确.

z2，则z1z2 B．若z1z2，则z1z2

C．若z1z2则z1z2 D．若z1z2，则z1z2

答案：BCD 【分析】

根据两个复数之间不能比较大小，得到C、D两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A项正确，B项错误，从而得到答案. 【详解】

因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小

解析：BCD 【分析】

根据两个复数之间不能比较大小，得到C、D两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A项正确，B项错误，从而得到答案. 【详解】

因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C、D两项都不正确； 当两个复数的模相等时，复数不一定相等，

比如1i1i，但是1i1i，所以B项是错误的； 因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A项正确； 故选：BCD. 【点睛】

该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.

13．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ） A．复数zabia,bR是实数的充要条件是b0 B．复数zabia,bR是纯虚数的充要条件是b≠0 C．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2是实数

D．若z1，z2互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y轴对称

答案：AC

【分析】

根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】

解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确； 对于：若复数是纯虚数则且，故错误； 对于：若，互为共轭复数

解析：AC 【分析】

根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】

解：对于A：复数zabia,bR是实数的充要条件是b0，显然成立，故A正确；

对于B：若复数zabia,bR是纯虚数则a0且b≠0，故B错误；

对于C：若z1，z2互为共轭复数，设z1abia,bR，则z2abia,bR，所以z1z2abiabiabiab是实数，故C正确；

22222对于D：若z1，z2互为共轭复数，设z1abia,bR，则z2abia,bR，所对应的坐标分别为a,b，a,b，这两点关于x轴对称，故D错误； 故选：AC 【点睛】

本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．

14．已知复数z13i(i为虚数单位)，z为z的共轭复数，若复数w论正确的有（ ）

A．w在复平面内对应的点位于第二象限 C．w的实部为B．w1 D．w的虚部为z，则下列结z1 23i 2答案：ABC 【分析】

对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解. 【详解】 对选项由题得 .

所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确

解析：ABC 【分析】

对选项A,求出w=13i，再判断得解；对选项B，求出w1再判断得解；对选项2213,判断得解. ，判断得解；对选项D,w的虚部为

22C,复数w的实部为【详解】

对选项A,由题得z13i,

13i(13i)2223i13w=i.

42213i(13i)(13i)所以复数w对应的点为(对选项B，因为w13,)，在第二象限，所以选项A正确； 22131，所以选项B正确； 441，所以选项C正确； 2对选项C,复数w的实部为对选项D,w的虚部为故选：ABC 【点睛】

3,所以选项D错误. 2本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．已知复数z满足z2z0，则z可能为（ ） A．0

B．2

C．2i

D．2i

2答案：ACD 【分析】

令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值. 【详解】 令代入，得：， ∴，解得或或 ∴或或． 故选：ACD 【点睛】

本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.

解析：ACD

【分析】

令zabi代入已知等式，列方程组求解即可知z的可能值. 【详解】

令zabi代入z2|z|0，得：a2b22a2b22abi0，

2a0,a0,a0,a2b22a2b20∴，解得或或

b0b2b2,2ab0∴z0或z2i或z2i． 故选：ACD 【点睛】

本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题. 16．已知复数z满足z2z0，则z可能为（ ）. A．0

B．2

C．2i

D．2i+1

2答案：AC 【分析】

令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案． 【详解】 令，代入， 得，

解得，或，或， 所以，或，或. 故选：AC 【点睛】

本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．

解析：AC 【分析】

令zabia,bR，代入原式，解出a,b的值，结合选项得出答案． 【详解】

令zabia,bR，代入z2z0，

2得a2b22a2b22abi0，

a0a0a0解得，或，或，

b0b2b2所以z0，或z2i，或z2i. 故选：AC 【点睛】

本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．

17．已知复数zA．zz1

13i，则下列结论正确的有（ ） 22B．z2z

C．z31

D．z202013i 22答案：ACD 【分析】

分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D选项的时候注意利用复数乘方的性质. 【详解】

因为，所以A正确； 因为，，所以，所以B错误； 因为，所以C正确； 因为，所以，所以D正确

解析：ACD 【分析】

分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D选项的时候注意利用复数乘方的性质. 【详解】

131313因为zz22i22i441，所以A正确；

1313132ii因为z，zi，所以z2z，所以B错误； 222222131332zzzi因为2222i1，所以C正确；

因为zzz1，所以z63320202z633641313zzz1ii，222243所以D正确， 故选：ACD. 【点睛】

本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易. 18．设复数z满足A．z为纯虚数

C．在复平面内，z对应的点位于第三象限

z1i，则下列说法错误的是（ ） zB．z的虚部为i D．z122 2答案：AB 【分析】

先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】 由题意得：，即，

所以z不是纯虚数，故A错误； 复数z的虚部为，故B错误；

在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C正确

解析：AB 【分析】

先由复数除法运算可得z【详解】

11i，再逐一分析选项，即可得答案. 22111i， 1i22所以z不是纯虚数，故A错误；

1复数z的虚部为，故B错误；

2由题意得：z1zi，即z在复平面内，z对应的点为(,)，在第三象限，故C正确；

1212112，故D正确. z()2()2222故选：AB 【点睛】

本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.

19．若复数z满足(1i)z3i（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为z，则（ ） A．|z|5 C．z的虚部是1

B．z的实部是2

D．复数z在复平面内对应的点在第一象限

答案：ABD 【分析】

把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断. 【详解】 ，

，

，故选项正确，

的实部是，故选项正确， 的虚部是，故选项错误， 复

解析：ABD 【分析】

把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z，根据共轭复数概念得到z，即可判断. 【详解】

(1i)z3i，

z3i3i1i42i2i， 1i1i1i2z2215，故选项A正确，

z的实部是2，故选项B正确， z的虚部是1，故选项C错误，

复数z2i在复平面内对应的点为2,1，在第一象限，故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】

本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.

20．下列命题中，正确的是（ ） A．复数的模总是非负数

B．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应

C．如果复数z对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限 D．相等的向量对应着相等的复数

答案：ABD 【分析】

根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项． 【详解】 设复数，

对于A，，故A正确． 对于B，复数对应的向量为，

且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为， 故复数集与

解析：ABD

【分析】

根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项． 【详解】

设复数zabia,bR， 对于A，za2b20，故A正确．

对于B，复数z对应的向量为OZa,b，

且对于平面内以原点为起点的任一向量m,n，其对应的复数为mni， 故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B正确． 对于B，复数z对应的向量为OZa,b，

且对于平面内的任一向量m,n，其对应的复数为mni，

故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B正确．

对于C，如果复数z对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限， 故C错．

对于D，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】

本题考查复数的几何意义，注意复数zabia,bR对应的向量的坐标为a,b，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题． 21．已知i为虚数单位，下列说法正确的是( ) A．若x,yR，且xyi1i，则xy1 B．任意两个虚数都不能比较大小

20，则z1z20 C．若复数z1，z2满足z12z2D．i的平方等于1

答案：AB 【分析】

利用复数相等可选A，利用虚数不能比较大小可选B，利用特值法可判断C错误，利用复数的运算性质可判断D错误． 【详解】

对于选项A，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确； 对于选项B，

解析：AB 【分析】

利用复数相等可选A，利用虚数不能比较大小可选B，利用特值法可判断C错误，利用复

数的运算性质可判断D错误． 【详解】

对于选项A，∵x,yR，且xyi1i，根据复数相等的性质，则xy1，故正确；

对于选项B，∵虚数不能比较大小，故正确；

20，则z1z20，故不正确； 对于选项C，∵若复数z1=i，z2=1满足z12z2对于选项D，∵复数i=1，故不正确； 故选：AB． 【点睛】

本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题. 22．已知复数z满足zz2iz3ai，aR，则实数a的值可能是（ ） A．1

B．4

C．0

D．5

2答案：ABC 【分析】

设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a的范围，即可得答案. 【详解】 设，∴， ∴，

∴，解得：， ∴实数的值可能是. 故选：ABC. 【点

解析：ABC 【分析】

22设zxyi，从而有xy2i(xyi)3ai，利用消元法得到关于y的一元二次方

程，利用判别式大于等于0，从而求得a的范围，即可得答案. 【详解】

22设zxyi，∴xy2i(xyi)3ai，

x2y22y3,a22y2y30， ∴42xa,a2∴44(3)0，解得：4a4，

4∴实数a的值可能是1,4,0.

故选：ABC. 【点睛】

本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求

解能力.