史上最全初中几何模型汇总

全等变换

平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转

对称全等模型

角分线模型

说明：以角平分线为轴在角两边逬行截长补短或者作边的垂线■形成对称全等。两边进行边

或者角的等呈代换,产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型

说明：上图依次是45= 30。、22.5\\ 15。及有一个角是30。直角三角形的对称（翻 折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

旋转全等模型

半角：有一个角含1/2角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

旋转半角模型

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外 两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型

构造方法：

遇60度旋60度，造等边三角形 遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等 遇中点旋180度，造中心对称

共旋转模型

说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过 \"8\"字模型可以证明。

模型变形

。旺唳szt

如HIP当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点， 围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

中点旋转：

说明「两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及 两个图形顶点连线的中点，证明列外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角 形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直 角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全 等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。

中点模型

连中点鮭中位贱 fStL血肉造中碎 梅谕三歸一

几何最值模型

对称最值（两点间线段最短）

差模型

■■

NR

Hb ftt

同侧.异侧两线段之和銀知模型

同侧.异侧两线段之珞掖小模型

轴对称模型

三线段之和 址知模型

过桥検型

四边形周长 热小模型

三角形周长 瑕小模型

对称最值（点到直线垂线段最短）

说明：通过对称逬行等呈代换,转换成两点间距离及点到直线距离。

旋转最值（共线有最值）

说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值, 定长线段的差为最小值。

剪拼模型 三角形T四边形

Fill

说明：剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状。

矩形-正方形

H

L

说明：通过射影走理找到正方形的边长,通过平移与旋转完成形状改变

正方形+等腰直角三角形T正方形

说明：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是300角的直角三角形成旋转相似。

推广：两个任意相似三角形旋转成一走角度r成旋转相似。第三边所成夹角符合旋转

\"8”字的规律。

相皿模塑

说E月：注意边和角的对应.相等线段或者相等比值在证明相似中起到通过等屋代换来构這相1 以三角形的作用.

说明： ⑴ 三垂直到」线三等毎的演变，三等角以30笈、45鼠60長形式出现的居臥

(2)内外角平分戋走理到射彩走理的游变•注息之间的相同与不同之处。臭外，相似、射彫走理 怕交 弦走理(可以准广到画磊走磴)之间的比值可以转涣成乘枳，通过等綾段、等比值、等乘积进行代涣.进 行证明得到需要的结论。

说明：相似证明中最竜用的辅助线是做平行.根据岂目的条件或者结论的比值来傲相应的平行绘

A模型一：手拉手模型-族转型全等

A杀件：怖等边三角彫

a 箔论：①AO4C• hOBD、②厶4EB・60°； ®OE平分 LAID.

(2)劄”九

＞条件：山以从“小加和扈角三角形 a 皓论：d)A(^C •

AOHI) , (SfLAEB ・ 90% ＞③O£平分\"EQ.

＜5)任爲尊B?三角形

A时：°°初笳钾形

a 结论：① »②OF平分\"肋。

■ 'OBD .② LAEB •厶AOB .

A 模型二 手拉手模型-旋转型相似

＞条件：CD//M,将&XQ战转至右阿位賈 A结论：

a 右图中① hOCWAOAB a hOAC HOBO, a ②逵长

局交 3Q于,$.£• .j^LBEC^LBOA

＜2＞删曲况

＞糸件：CDf/AB LAOB^ 将“疋。路专至右團 位IS f9

＞ 拮论:右图中①\\OC2bOAB q AOJC \\OBD ｝② 延长/C交BD

干点E溯厶BEC •厶BOA、

BD OD OB t 心八

:④ BDLAC t ③彳 C OC OA

©il接Q・BC,龙有4D—■血令W；⑥SE・JCXBD

A摸型三：对角互补模型

C平分\"OB a 结论， a 条件：①\"OB ・LDCE・90%②°

®CD=CZ ②OD^OE ■ 42OC 丿③

SOME - SB ♦ S* - ^OC3

A证喷和

①作垂言.如眇证明ACDM ・A「£N,

②过点C作CF丄OC•如上囲（右），证明AODC・MEC ＞ 当 的一边交加的廷絶好点D时： 以±£他论：＜DCD=C£ （不变）J &）E・OD・

yfiOC$ Js \" 5mw/，\" 2＜X 11惴论阿方法与昴-删况-勉可自行訓.

<2)全等显即 A : (D LAOH - 1LIK E - 120* J

a ®OC3^LAOBl

a结论：①(D・C巧②O»OE・OC$

I)

h

（对角线互相垂宜的四边

形）

O)

a 条件：①上DC£>l80・2u ；②CD・C®

a 结论：①伙、平分 L.AOB 9 Q ()1)^ OE • 20( ' • cow f

A ©5- « : • sina • cosa

a当SCE的一边交\"的延长趺于煜D时(如右上團)：

原结论变成：① _______________________________________________ > ② ______________________________________________________ I ③ ________________________________ >

可繆宥上述第©种万圧逬厅证明。诅!B宵礙条fl皈化对議空痕响・

A对角酎伽总结：

① 常见初始条件：四边彤对甬互汁；注意两点：四点井圆及宜角三角形斜边中细 ② 初冶杂件“角平分纣T与“阿边相等”的区制 ③ 两见&W殴作凸

④ 注怎伙 平分3叫,乙5 - 2LCED - LCOA -厶CO相竽如何推导？

A模型四：角含半角模型90。

a条fh①正方形彳弘卩②乙以尸・45。)

>结论：①\"• \" ♦ BE ,②\\CEF的周长为正方形MS周长的一半I

也可血佯：

a条ft： (D正方形肋「6②刖・d处 a 结论：LEAF - 45°

2“角含半繪缠»• -2

>条件:①正方形ABCD,②LEAF - 45° > a结论：EF •

DF・BE

A W^rFSHpr：

<3）角含半角«3?90--S

A条件：①灯②SE・45°； » 结论：BD YE： - DE

若••站御&4%•外講b结论BIX^CE2 • DF仍約5竝.

（4>角含半角刘! 90•姗

i**lt 444 .4C (♦dbr-t-)

D * F

V za« -Z£4A -4$ • ••• ZA\"/・ZX：牯 V SMf ■厶《 &.Z. \\・$» •；• \\mWE

a条件:①正方形4BCD,②乙£\"・45° ； a结论：仏为等踐直甬三甬形。

士A模型五：倍长中线类模型

⑴鮒咤施-1

a条件：①^形ABCD ‘②BD • BE③DF・EF\\ > 结论：AFICF

模型IS取:①n平行线4D BE.饵行线间线段有中点DF・EF\\ 可以构迭 W 字全等MDF ■ A//A7-.

<2）倍长中彩测H

祭件:①行四边形ABCD j © 5C - 2AB,③AM・DM “⑥CE丄AD. 结论：LEMI) - 3LMEA 出助心育半片•仍〃（R. A XW-/JA/ 4徒EM .恂it AJA於P2八仔•卍輪C l/曲

A£AX . 2做下

通过的适8字仝葺爪&負*系，爲的大 小转化

产模型六二相似三角形360。旋转模型

更空、：* K />F Ff A <3 f gFG.M , 4

A条件；①AJJ）.山必均 为爹艘扈角

三角形；② EF・CF

a结论：①“尸・3F j② I沖丄HK

（1）相«匚角形 倦角｝逊雜超嫩型筍沖瞬

⑴相心形〈等腰朋I》36犷齢删Hb全法

、 条件：①4”）取 心阳均为等踱直角三角盼②肋・5 a结论,①DF

• ” ；②DF k BF

仙劝线：梢it早咬直向442TC7、

耨/>/•与Bi钟化列CI；与EH

竺生J4M ft4 MAG. ft Mi ・JB • 乂

<2）任謝耐角三角形3»・症转镇炉*陞法

£ <7> >1A H 化 £¥/- . •卜仝

・“化 J£ ij b£ M (xi

a 聚件：① MMRsgDc）② giR -厶ODC ■ 9（尸； ③BE・CE。 SIMiii . ex If a 结论：① AE - DE ,②“扭）• 2 LA BO

7H ・ aA/LU^Za 条件,Q A()AB<^AODC ,(2>Z6^-Z/?/X^-90c RE・CE © a 结论；Q^/?- />£ , (5) LAF.t) - 1LABO

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A模型七：最短路程模型

总Mb以上®

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A条件；①饭•平分厶4叫 @ M为M上一定点.③P为X上一动点J @。为上一动点」 >求‘〃\"0最小时'只°的垃韵

（S）（懸M^2）

>勵：术0Q. 〃卜2 0）\"（0・町

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> 1^1®：刃为何值时，

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a求解方法二①丫轴上取S2.0）,快

g伽P作丄心交$轴于总5即为所求3

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42底1«为“・卜“”・外w欣annul

,A 模型九二相似三角形樓型

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中点模型

【模型1】倍

长 k信式中线,2.信K类中线,3.中点遇平行延长相交

【模型2】遇多个中点，枸造中位线 1、直按槪中点；2、连对角线取中点再相连

【例】在菱形MQfME三角形％/中，厶1殳>60笃G1D/茁中点，连接GG G1 (1〉妇額，当点確力卫上时，若恥=10, Bf 求GF的长文

(2)如創2,当点尸在仏殆过长线上时，线段GG G弟怎祥的数蚩和位冨关系，写出你的猜想；并给予 证明， <3)如那，当点確倔加长线上时，(2)问中关系还成立吗2写出悅的猜想，并给予证明.

二角平分线模型

【模型1】构造轴对称

【模型2】角平分线隅平行构造等腰三角形

【例】如图，平行四边形ABCD中，A^ABAD^BCsh.于& EFLA^CC^｝于C交初边于卩迢 长少到点⑦使&G二CF，连接少・若BC3 DF® EH二 3AE,则G酬长为—.

三于拉于模型

LWI-] OA =OB・ OC= OD. /AOB = ZCOD

［结论土防DZJ£5 = ZQ45 = ZCOZ）（即角）:OE平分厶应

【例】如虱 正方形皿呦边长为6,点宠对毎线々；肌胡交点，点脈09上 且Q&2U5过点C 作CFLBE,垂足为・连接O&则O啲长为—・

四 邻边相等的对角互补模型

【模型1】

【条件】如画 四边形肿CD中…4局6 /BAD_ZBCD = SC_ZADC MIW 【结论】2C平分4CQ

A

C

D

【媲2】

【条件】如團，四边形加仞中，AB-AD, ZBAD = ZBCD = W 【结论】&A4CB=Z.4CD = 459 ②BC + CD 二近AC 【模型2】 【条件】如虱 四边形丄BCD中宀民4Q, ZR4Z)= /3CD = 00* 【结论】OZ.4C6=Z.4CZ)= 45②BC+CD = ®C

E

D

C

【例】如图，袒形ABCD^, AB=6, AD^S,励阿点，DE=DG, FGLB手F,则QF为

［例】如图，正方形/CD的边长为3,延长CB至点M, BSM,连播过点巧作

,垂足为V, O是对角线」C\\加的交点，连接Q口则0・V肘长为 _______________ .

【例订如團，正方形肋CD的面积为,屈CE是等边三角形，F是CF的中臥AE. 貯交于点6则

DG的快为 _________________________ .

五半角模型

【卿1】

【条件】如图〉四边形QCQ中八乙BAD池BCD = WSDC = \\&f ,

【翹2】

【条件】在正方形岛CD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且海足上瓦0=4宁，AE. M分别与对角线血交于点％ N.

【结论】

⑴ £E・DF=EF;⑵ S』^S』)r=SjEF； (3)HHT4B; (4) C^ECF=14B }

(6) 卜DNFsME\\3AAE2、BN4bDg

(S A0\\ AH^AOx AB^iz忑可得到和ZE尸的相似比为1: J2);

⑺ SUdSgAA砂(8〉d4OWA4DF” 厶40ASZL4蹈

(9) ZL4EV为等腰直角三角形，Z，E\\M5Oj 2FM対等腰直角三角形，厶尸.245。

(1・血4帀45©)2A£: A^-l: 72 );

(10站、M、F・D四点共臥A. B、E、\"四点共朝 M M F、C\\ E五点共圆

【卿2翹】

【条件】在正方形肋3中，已知E、F分别是边CB、D?延长线上的点，且満足ZZdF=45。 ［结论］B E-EFQF

【魁2

【条件】在正方形ABCD中，已知迟、尸分别是边CB、DC延长翌上的点，且满足ZE4FT5。

【结论】 DF・EF・BE

【例】如图〉亠抠C和AD防是两个全等的等腰直角三角形〉乙乩乂=乙EDF = 9Q。, ADEF的顶点

E与边眈的中点重合•将ADEF绕点E旋转，症转过程中' 线段DE与线段Q相交于点乙射线处与线段初相交于点6与射线口相交于点？若 JO=12, 5P=3,则 PG=.

【例】如團，在菱形ABCD中点迟、尸分别在初、3上，且血・DF.连接貯 与DE交于点G连接CG与

贝•J^tSa^BCDG = -----------

BD交于点若CG-1,

六一线三角模型

【条件】ZEDF = £B =ZC,且DE = DF 【结论】ABDE^CFD

【例】如图，正方形・坊8中，点乩F、G分别为/乩BC、CD边上的点，EA3, GC=4, 连接励\\ FG、GE恰好掏成一个等边三角形，则正方形的边长为 ______________ -

七弦图模型

【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段

【结论】新构成了同 '的正方形

【例】如團，点』为正方形QCD边佃上一鼠点F在班的延长线上，\"乞⑹ 血与

M交于点G, \"AB的平分线交FG于点H,过点D作HA的垂线交HA的延长线于点I.

若 AH 二 3如，FH=2/ ,则 DG ___________.

【例】如團，\"BC中，Z5JC=90* , AB-AC, AD丄BC于点D,点E是必靈点，连 结恥，作上G丄旋于几交肚于点G，连接另G,求证：AG-EG^BE.

八最短路径模型

【两点之间线段最短】

1 V将军饺日

B

2.费马点

【垂线段最短】

【两边之差小于第三边】

【例】如图，E.尸是正方形&CQ的边Q上两个动点'満足3QF,连接CF交妙于

G,连接BE交/G于点H,若正方形的边长为2；则线段M长度的最小值是 __________________ -

【例】如图所示，在矩形肋CD中，皿百，E是线段肋的中点，F是线段BC

上的动点，ABEF沿吉线EF貓折到少瓯，连接D3,仍最矩为 __________________ ・