江苏省南京市2018-2019学年高一上学期期末调研数学试题(含精品解析)

2018-2019学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷

一、填空题（本大题共10小题，共50.0分）

1. 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，3}，B={1，3}，则∁U（A∪B）=______． 2. 函数f（x）= 的定义域为______． 3. 4. 5. 6.

已知角α的终边经过点P（-5，12），则 的值为______．

=（4，-3）， ∥ 已知向量 =（x，6），且 ，则实数x的值为______．

x

已知x=log612-log63，则6的值为______．

的值如图，在直角三角形ABC中，AB=2，∠B=60°，AD⊥BC，垂足为D，则 • 为______．

7. 8. 9.

将函数f（x）=2sin2x的图象向左平移 个单位后，得到函数g（x）的图象，则g （0）的值为______． 已知a＞0且a≠1，若函数f（x）= 的值域为[1，+∞），则a的取值范围是______．

满足| |=2，| |=1．又 =t ， =（1-t） ，且| |在t=时取到最小值，则已知向量 与 的夹角的值为______． 向量 与

2

10. 已知函数f（x）=kx-x，g（x）=sin ．若使不等式f（x）＜g（x）成立的整数x恰有1个，则实数k

的取值范围是______．

二、选择题（本大题共4小题，共20.0分）

0.71.4

11. 已知a=log1.40.7，b=1.4，c=0.7，则a，b，c的大小关系是（ ）

A. B. C. D. 12. 函数f（x）=xsinx，x∈[-π，π]的大致图象是（ ）

A.

B.

C.

D.

• =11，则 • 13. 在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，若 的值是（ ）

A. 10 B. 14 C. 18 D. 22

14. 已知函数f（x）=2cosx（x∈[0，π]）的图象与函数g（x）=3tanx的图象交于A，B两点，则△OAB（O

为坐标原点）的面积为（ ）

A.

B.

C.

D.

三、解答题（本大题共6小题，共90.0分）

15. 已知向量 =（2，1）， =（1，-2），向量 满足 • = • =5． （1）求向量 的坐标； （2）求向量

与 的夹角θ． 16. 已知α是第二象限角，且sinα=

．

（1）求tanα的值；

（2）求

的值．

17. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

）的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）的单调增区间； （3）若x∈[-

，0]，求函数f（x）的值域．

18. 某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行

精加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P（万元）与精加工的

， ． 蔬菜量x（吨）有如下关系：P=

， ＜

设该农业合作社将x（吨）蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润（扣除加工费）

为y（万元）．

（1）写出y关于x的函数表达式；

（2）当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．

=2 AB=2，AC=5，cos∠CAB= ，D是边BC上一点，19. 如图，在△ABC中，且

=x ，求实数x，y的值； （1）设 +y

共线， ⊥ ，求的值． 与 （2）若点P满足

20. 给定区间I，集合M是满足下列性质的函数f（x）的集合：任意x∈I，f（x+1）＞2f（x）．

x

（1）已知I=R，f（x）=3，求证：f（x）∈M；

（2）已知I=（0，1]，g（x）=a+log2x．若g（x）∈M，求实数a的取值范围；

2

（3）已知I=[-1，1]，h（x）=-x+ax+a-5（a∈R），讨论函数h（x）与集合M的关系．

1.{2，4}

解：A∪B={0，1，3}； ∴∁U（A∪B）={2，4}． 故答案为：{2，4}．

进行并集、补集的运算即可．

考查列举法的定义，以及并集、补集的运算． 2.[2，+∞）

解：由题意得：2x-4≥0，解得：x≥2， 故函数的定义域是[2，+∞）， 故答案为：[2，+∞）．

根据二次根式的性质得到关于x的不等式，解出即可．

本题考查了函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题． 3.-

解：∵角α的终边经过点P（-5，12），∴sinα=则

=

=-．

，

=，tanα==-，

故答案为：-

利用任意角的三角函数的定义，求得sinα、tanα的值，可得本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 4.-8

的值．

解：∵量=（4，-3），=（x，6），且∥，

则4×6-（-3）x=0． 解得：x=-8．

故答案为：-8．

直接由向量共线的坐标运算得答案．

平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若∥5.4

=（a1，a2），=（b1，b2），则

⊥

⇔a1a2+b1b2=0，

⇔a1b2-a2b1=0，是基础题．

解：x=log612-log63=log，

x

∴6=4，

故答案为：4．

根据对数的运算性质和对数式和指数式的互化即可求出．

本题考查了对数的运算性质和对数式和指数式的互化，属于基础题． 6.3

=1 解：在直角三角形ABD中，BD=ABcos60°

•

=

•（

+

）=

+

•

=4+2×1×cos120°=3．

故答案为：3． 把

=

+

代入化简通过向量的数量积的定义求解即可．

本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力 7.

解：将函数f（x）=2sin2x的图象向左平移则g （0）=2sin故答案为：

=．

，

个单位后，得到函数g（x）=2sin（2x+）的图象，

根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，可得g （0）的值． 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

8.（1，2]

解：a＞0且a≠1，若函数f（x）=当x≤2时，y=3-x≥1， 所以

，可得1＜a≤2．

的值域为[1，+∞），

故答案为：（1，2]．

利用分段函数的表达式，结合函数的值域，列出不等式求解a的范围即可． 本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力． 9.

解：设向量由

=|

=t-，

与的夹角的值为θ，

=（1-t）， =（1-t）-t， -t

]2，

|2=[（1-t）

=（1-t）2+4t2-4t（1-t）cosθ =（5+4cosθ）t2-2（1+2cosθ）t+1， 又5+4cosθ＞0， 所以当t=解得：cosθ=， 又θ∈[0，π]， 所以θ=， 故答案为：

|2=[（1-t）

-t

]2=（5+4cosθ）t2-2（1+2cosθ）t+1，由二次函数的最

=，

由向量的模的运算得：|值用配方法可得解．

本题考查了平面向量的数量积及二次函数的最值问题，属中档题．

10.[ ，2）

解：g（x）=sin的周期为4，作出y=g（x）的图象，

当k=0时，f（x）=-x，不等式f（x）＜g（x）成立的整数x有无数个； 当k＜0时，f（x）的图象为抛物线，且开口向下，恒过原点， 不等式f（x）＜g（x）成立的整数x有无数个；

当k＞0，可得不等式f（x）＜g（x）成立的整数x=1， 当f（x）的图象经过（1，1），可得k-1=1，即k=2； f（x）的图象经过（2，0），即4k-2=0，解得k=． 由题意可得≤k＜2． 故答案为：[，2）．

作出y=g（x）的图象，讨论k=0，k＜0，k＞0，结合抛物线开口方向和整数解的情况，即可得到所求范围．

本题考查函数方程的转化思想和数形结合思想，考查正弦函数的周期性和分类讨论思想方法，属于中档题． 11.B

解：∵a=log1.40.7＜log1.41=0， b=1.40.7＞1.40=1， 0＜c=0.71.4＜0.70=1，

∴a，b，c的大小关系是a＜c＜b． 故选：B．

利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．

本题考查三个数的大小的求法，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

12.A

解：f（-x）=（-x）sin（-x）=xsinx=f（x），

所以f（x）为偶函数，即图象关于y轴对称，则排除B，C， 当x=时，f（故选：A．

判断函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊点的位置判断即可．

本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的特殊点的位置的应用，考查计算能力． 13.C

）=sin=＞0，故排除D，

解：平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3， 又∵∴∴则

•=2， =（

）

=

=16+2=18．

•

=11， =

=

+9=11，

故选：C． 由

••

=11，结合向量加法的平行四边形法则及向量数量积的运算可求=（

）

即可求解．

，然后代入，

本题主要考查了向量加法的 平行四边形法则及向量数量积的基本运算，属于基础试题． 14.D

解：函数y=2cosx（x∈[0，π]）和函数y=3tanx的图象相交于A、B两点，O为坐标原点，

22

由2cosx=3tanx，可得2cos=3sinx，即2sinx+3sinx-2=0，

求得sinx=，或sinx=-2（舍去），结合x∈[0，π]， ∴x=，或x=∴A（

，

；

，-），画出图象如图所示；

）、B（

根据函数图象的对称性可得AB的中点C（，0），

∴△OAB的面积等于△OAC的面积加上△OCB的面积， 等于•QC•|yA|+OC•|yC|=•OC•|yA-yC|=••2故选：D．

由题意利用三角函数的图象，求得A、B的坐标，用分割法求△OAB的面积． 本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．

=（x，y）， 15.解：（1）设

=（2，1）， • = =5， 因为 =（1，-2）， • 所以 解得 =（3，-1）； 所以

=（2，1）， =（3，-1）， （2）因为 |= ，| |= ， 所以|

3+1× • =2×又 （-1）=5，

==所以cosθ= ，

=π，

又 θ∈[0，π]，所以θ= ．

（1）设（2）由

=（x，y），由=（2，1），

•=

•

=5，得

|，|

|，

•，得

=（3，-1）；

，又 θ∈[0，π]，可得θ=

=（3，-1），可得|，进一步得cosθ=

．

本题考查向量的数量积的应用及坐标运算，考查计算能力． 16.（本小题满分14分）

解：（1）因为α是第二象限角，且sinα= ，

所以cosα=- =- ，……………………（4分）

所以tanα= =-2． ……………………（7分） （2）

==

……………………（11分）

= =

= ． ……………………（14分）

（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求值得解；

（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求值得解．

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

17.解：（1）由函数的图象可得A=2， T= • = - ，求得ω=2．

再根据五点法作图可得2× +φ= ，∴φ= ，故f（x）=2sin（2x+ ）． （2）令2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈z，求得kπ- ≤x≤kπ+ ， 故函数的增区间为[kπ- ，kπ+ ]，k∈z．

（3）若x∈[- ，0]，则2x+ ∈[- ， ]，∴sin（2x+ ）∈[-1， ]，

故f（x）∈[-2，1]．

（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式． （2）令2kπ-≤2x+≤2kπ+

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．

（3）由x∈[-，0]，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．

本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的增区间、正弦函数的定义域和值值域，属于基础题． 18.（本小题满分16分）

解：（1）由题意知，当0≤x≤8时，

y=0.6x+0.2（14-x）-x2=-x2+x+，……………………（3分）

当8＜x≤14时， y=0.6x+0.2（14-x）-

=x+2，……………………（5分）

，

……………………（7分） 即y=

， ＜

22

（2）当0≤x≤8时，y=- x+ x+ =- （x-4）+ ，

所以 当x=4时，ymax= ． ……………………（10分） 当8＜x≤14时，y= x+2，

所以当x=14时，ymax= ．……………………（12分） 因为 ＞ ，所以当x=4时，ymax= ．

答：当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为 万元．…………………（16分）

（1）利用已知条件求出函数的解析式．

（2）利用二次函数的性质，转化求解函数的最值．

本题考查实际问题的应用，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．

19.解：（1） ， ， ∴

， ∴

∴x= ，y= ；

共线， （2）∵ 与

，λ∈R， ∴可设

∵

， ∴

∴

=-

， =

， =

，…① = ∴

∵ ， ， ∠ ，

，…② ∴ ， ，

把②代入①并整理得： ， ∴ ⊥ ， ∵

， ∴ ∴

，

解得： ， ， ∴ = 或 ． 故 的值为 或 ．

（1）把

两边用

，

表示即可得解；

之间的数乘关系，进而结合（1）把

用

表示，利用

（2）利用共线向量建立

垂直向量点积为零可得解．

此题考查了平面向量基本定理，向量加减法，数量积等，难度适中． 20.（本小题满分16分）

xx+1

3x=3x＞0，即f （x+1）＞2f （x）， 解：（1）证明：因为f （x）=3，所以f （x+1）-2f （x）=3-2×

所以f （x）∈M． ……………………（2分） （2）因为g （x）=a+log2x，x∈（0，1]，且g （x）∈M，

所以 当x∈（0，1]时，g （x+1）＞2g （x）恒成立，即a+log2（x+1）＞2a+2log2x恒成立，

所以a＜log2（x+1）-2log2x=log2（ + ）恒成立． ……………………（4分） 因为函数y=log2（ + ） 在区间（0，1]上单调递减，所以当x=1时，ymin=1． 所以a＜1． ……………………（7分）

2

（3）h （x）=-x+ax+a-5，x∈（0，1]．

若h （x）∈M，则当x∈[-1，1]，h（x+1）＞2h （x）恒成立，

22

即-（x+1）+a（x+1）+a-5＞-2x+2ax+2a-10恒成立

2

即x-（a+2）x+4＞0恒成立． ……………………（9分）

2

记H（x）=x-（a+2）x+4，x∈[-1，1]． ①当

≤-1，即a≤-4时，H（x）min=H （-1）=a+7＞0，即a＞-7．

又因为a≤-4，所以-7＜a≤-4； ……………………（11分） ②当-1＜

＜1，即-4＜a＜0时，

H （x）min=H （

）=

＞0，恒成立，

所以-4＜a＜0； ……………………（12分） ③当

≥1，即a≥0时，H （x）min=H （1）=3-a＞0，即a＜3．

又a≥0，所以0≤a＜3．

综上所得-7＜a＜3． ……………………（14分） 所以 当-7＜a＜3时，h （x）∈M；

当a≤-7或a≥3时，h（x）∈M． ……………………（16分）

（1）通过f （x+1）-2f （x）=3

x+1

-2×3x=3x＞0，验证即可．

+

）恒成立，通过最值求解即可．

（2）通过g （x）∈M，得到a＜log2（x+1）-2log2x=log2（

22

（3）h （x）=-x+ax+a-5，x∈（0，1]．若h （x）∈M，则当x∈[-1，1]，h（x+1）＞2h （x）恒成立，即x-2

（a+2）x+4＞0恒成立．记H（x）=x-（a+2）x+4，x∈[-1，1]．通过a≤-4时，-4＜a＜0时，a≥0时，求出

函数的最值求解即可．

本题考查函数的最值的求法，考查转化思想、分类讨论思想以及计算能力．